Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Do 15.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
| Aufgabe | K Körper mit 1+1 [mm] \not= [/mm] 0, V endlich dimensionaler K-Vektorraum und F Endomorphimus über V mit [mm] F^3=4F. [/mm] Zu zeigen: F ist diagonalisierbar.
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So man kommt ja dann darauf, dass das Minimalpolynom p das Polynom [mm] T^3-4T [/mm] teilt: [mm] p|T^3-4T=T(T-2)(T+2), [/mm] so und in meiner Lösung kommt nun ein Schritt den ich nicht verstehe:
Da 1+1 [mm] \not [/mm] = 0 folgt: [mm] p=(T-2)^a (T+2)^b T^c [/mm] mit a,b,c [mm] \in [/mm] {0,1}, somit hat p nur einfach Wurzeln und F ist diagonalisierbar.
Das verstehe ich nicht so ganz, ich weiß ja das die Faktoren in T(T-2)(T+2)alle irreduzibel sind. Hilft mir das was? Kann mir jemand den Schritt erklären wieso p gerade diese Form haben muss, wenn p T(T-2)(T+2) teilt.
Wäre super.
Liebe Grüße.
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Hallo,
mal bespielhaft:
p soll das Polynom T(T-2)(T+2) teilen, also T(T-2)(T+2).
Dann kann ja z.b. (T+3) kein Faktor von p sein, also p=(T+3)*q mit q Polynom, denn sonst würde (T+3) das Polynom T(T-2)(T+2) teilen.
Es kann aber auch nicht [mm] p=(T-2)^2 [/mm] (mit q Polynom) sein, denn s.o.
Also kann p nur die Linearfaktoren T, (T-2), (T+2) enthalten, und diese höchstens in der ersten Potenz.
Also kommen als Minimalpolynom infrage
T
(T-2)
(T+2)
T(T-2)
T(T+2)
(T-2)(T+2)
T(T-2)(T+2).
Dies sagt Dir
> $ [mm] p=(T-2)^a (T+2)^b T^c [/mm] $ mit a,b,c $ [mm] \in [/mm] $ {0,1}
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Do 15.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
Danke für deine Antwort.
Kannst du vielleicht noch sagen wieso (T+3) das besagte Polynom nicht teilt? Weil es Primelemente sind? Eindeutige Primfaktorzerlegung? Also wie kann ich das begründen? Die Begründung, die ich in einer Klausur aufschreiben müsste fehlt mir quasi. Und was hat das jetzt mit 1+1 [mm] \not [/mm] =0 zu tun? Das scheint ja irgendwie wichtig zu sein?
viele grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort.
> Kannst du vielleicht noch sagen wieso (T+3) das besagte
> Polynom nicht teilt?
Anderenfalls wäre -3 ein Eigenwert von F, also gäbe es einen Vektor x [mm] \ne [/mm] 0 mit $Fx=-3x$. Dann würde folgen:
$-12x=4Fx=F^3x=-27x$,
also 12=-27
FRED
> Weil es Primelemente sind? Eindeutige
> Primfaktorzerlegung? Also wie kann ich das begründen? Die
> Begründung, die ich in einer Klausur aufschreiben müsste
> fehlt mir quasi. Und was hat das jetzt mit 1+1 [mm]\not[/mm] =0 zu
> tun? Das scheint ja irgendwie wichtig zu sein?
> viele grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Do 15.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
okay danke, aber das war ja nur ein Beispiel mit dem T+3, wieso kann es allgemeine keine anderern Teiler geben? gibt es da keine erklärung über die primelemente? und was ist mit 1+1 [mm] \not= [/mm] 0 ?
viele grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> okay danke, aber das war ja nur ein Beispiel mit dem T+3,
> wieso kann es allgemeine keine anderern Teiler geben?
Wegen $ [mm] F^3=4F$ [/mm] , gilt für einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von F: [mm] \lambda [/mm] =0 oder [mm] \lambda^2=4
[/mm]
Sei a [mm] \in [/mm] K und T-a ein Teiler von p. Dann ist a ein Eigenwert von F, also a=0 oder [mm] a^2=4
[/mm]
> gibt
> es da keine erklärung über die primelemente? und was ist
> mit 1+1 [mm]\not=[/mm] 0 ?
Der Körper K hat eine Charakteristik [mm] \ne [/mm] 2
FRED
> viele grüße
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