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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Do 02.02.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Berechne Sie das charaktristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenvektoren von [mm] A=\pmat{ 2 & 2&3 \\ 1 & 2&1\\2&-2&1 }. [/mm] Ist A Diagonalisierbar? |
Hallo, also mir gehts auch um die Schreibweisen. Ich rechne mal vor:
[mm] det(A-\lambda)=\pmat{ 2-\lambda & 2&3 \\ 1 & 2-\lambda&1\\2&-2&1-\lambda }=\lambda^3-5\lambda^2+2\lambda+8
[/mm]
Was ist eigendlich mein Charakteristisches Polynom?
So jetzt will ich die 0-Stellen herausbekommen, also das ganze=0 und Polynomdivision benutzen:
Durch ausprobieren [mm] \lambda_1=2
[/mm]
Dann bekomme ich durch die P-Q-Formel: [mm] \lambda_2=4 [/mm] und [mm] \lambda_3=-1
[/mm]
So das waren die Eigenwerte oder? Eigenvektoren berechne ich gleich noch. Jetzt hab ich noch eine Frage zur Diagonalisierbarkeit.
Ich habe gelernt, notwendige Bedingung: Die Funktion lässt sich vollständig in Linearfaktoren zerlegen. So und da hab ich mir einfach die Nullstellen genommen und multipliziert: [mm] (\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+1) [/mm] und ausmultipliziert, also klappt das, kann ich es so machen?
Hinreichende Bedingung: Die LF müssen paarweise verschieden sein. Jo und das klappt auch...
Wenn ich die Polynomdivision berechnet habe und die P-Q-Formel benutzt habe, bekomme ich [mm] \lambda_2=4 [/mm] und [mm] \lambda_3=-1
[/mm]
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Hallo durden88,
> Berechne Sie das charaktristische Polynom, die Eigenwerte
> und die Eigenvektoren von [mm]A=\pmat{ 2 & 2&3 \\
1 & 2&1\\
2&-2&1 }.[/mm]
> Ist A Diagonalisierbar?
> Hallo, also mir gehts auch um die Schreibweisen. Ich
> rechne mal vor:
>
> [mm]det(A-\lambda)=\pmat{ 2-\lambda & 2&3 \\
1 & 2-\lambda&1\\
2&-2&1-\lambda }=\lambda^3-5\lambda^2+2\lambda+8[/mm]
Mag sein ...
>
> Was ist eigendlich mein Charakteristisches Polynom?
Na, das, was oben steht: [mm] $\chi(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+2\lambda+8$
[/mm]
>
> So jetzt will ich die 0-Stellen herausbekommen, also das
> ganze=0 und Polynomdivision benutzen:
>
> Durch ausprobieren [mm]\lambda_1=2[/mm]
>
> Dann bekomme ich durch die P-Q-Formel: [mm]\lambda_2=4[/mm] und
> [mm]\lambda_3=-1[/mm]
>
> So das waren die Eigenwerte oder?
Jo, wenn's stimmt, sind das die Eigenwerte
> Eigenvektoren berechne
> ich gleich noch. Jetzt hab ich noch eine Frage zur
> Diagonalisierbarkeit.
>
> Ich habe gelernt, notwendige Bedingung: Die Funktion lässt
> sich vollständig in Linearfaktoren zerlegen. So und da hab
> ich mir einfach die Nullstellen genommen und multipliziert:
> [mm](\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+1)[/mm] und ausmultipliziert,
> also klappt das, kann ich es so machen?
Jo, hier hast du (zum Glück) 3 verschiedene Nullstellen, das Polynom zerfällt vollst. in (paarweise verschiedene) Linearfaktoren, damit ist für jeden Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, damit auch die geometrische Vielfachheit (denn geom. VFH [mm] $\le$ [/mm] algebr. VFH und alg. VFH mind. 1)
Damit kannst du sicher sein, dass die Matrix diagonalisierbar ist.
Krit.: Für jeden Eigenwert muss die algebraische VFH (also die VFH als Nullstelle im char. Polynom) gleich der geometr. VFH (=Dimension des zugeh. Eigenraumes) sein.
>
> Hinreichende Bedingung: Die LF müssen paarweise
> verschieden sein. Jo und das klappt auch...
>
> Wenn ich die Polynomdivision berechnet habe und die
> P-Q-Formel benutzt habe, bekomme ich [mm]\lambda_2=4[/mm] und
> [mm]\lambda_3=-1[/mm]
Das mag stimmen, aber ohne die Rechnung zu sehen, kann man das schlecht beurteilen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Do 02.02.2012 | | Autor: | durden88 |
Ok, vielen dank. Vor jedem Rechenschritt muss ich ja eine Bedinungung hinschreiben.
Also zum ausrechnen des Charakteristischen Polynoms reicht es wenn ich schreibe: [mm] \chi(\lambda)= [/mm] Dann meine Matrix [mm] mit-\lambda [/mm] in der Diagonalen und dann die Determinante davon ausrechnen?
Dann bekomm ich ja meine Eigenwerte. Wie ist es bei den Eigenvektoren? Gibt es da auch was, was ich hinschreiben kann, ich möchte nicht nur einfach [mm] \vec{x}= [/mm] hinschreiben...
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Hallo nochmal,
> Ok, vielen dank. Vor jedem Rechenschritt muss ich ja eine
> Bedinungung hinschreiben.
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> Also zum ausrechnen des Charakteristischen Polynoms reicht
> es wenn ich schreibe: [mm]\chi(\lambda)=[/mm] Dann meine Matrix
> [mm]mit-\lambda[/mm] in der Diagonalen und dann die Determinante
> davon ausrechnen?
Jo, etwa so:
[mm]\chi(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda\mathbb{E}_3)=\operatorname{det\left[ \ \pmat{...} \ \right]=...=\lambda^3...[/mm]
>
> Dann bekomm ich ja meine Eigenwerte. Wie ist es bei den
> Eigenvektoren? Gibt es da auch was, was ich hinschreiben
> kann, ich möchte nicht nur einfach [mm]\vec{x}=[/mm]
> hinschreiben...
Irgendwie so:
1) Berechne zu [mm]\lambda_1=...[/mm] den [mm]\operatorname{ker(A-\lambda_1\mathbb{E}_3)[/mm]:
Dann die Matrix hinschreiben und in ZSF bringen und so eine Basis des Kernes bestimmen.
Dann "Ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda_1=..[/mm] ist [mm]\vec{x}=...[/mm]"
Dann genauso für die anderen beiden Eigenwerte [mm]\lambda_{2,3}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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