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| Aufgabe | Sei [mm] \IK=\IF_{4} [/mm] der Körper mit 4 Elementen und [mm] \IF_2 [/mm] Basis [mm] 1_{\IF4},\alpha [/mm] wie in der Vorlesung.
Setze [mm] M:=\pmat{1_{\IF4}&\alpha{} \\ \alpha{}& 1_{\IF4}}
[/mm]
Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von M und untersuchen Sie M auf Diagonalisierbarkeit. |
Guten Tag,
der Körper besteht aus (0,0),(0,1),(1,0),(1,1).
Dabei ist [mm] 1_{\IF4}=(1,0) [/mm] und [mm] \alpha{}=(0,1)
[/mm]
Wie man das charakteristische Polynom, Eigenwerte usw. bei reellen/komplexen Matrizen ausrechnet ist mir klar,
hier bin ich aber total verwirrt das es sich nun um 2-er Tupel statt Zahlen handelt.
Ich hab sogar schon beim charakteristischen Polynom bedenken, es ist ja [mm] $P(\lambda{})=det(M-\lambda{}I)$, [/mm] aber
wie sieht die Einheitsmatrix aus? ich habe das Gefühl das es nicht [mm] \pmat{1&0\\0&1} [/mm] ist.
Könnte mir bitte jemand helfen?
Vielen Dank.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Mi 24.04.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
ich habe es mit dem Ansatz ausprobiert das die Einheitsmatrix die Gestalt [mm] \pmat{(1,1)&0\\0&(1,1)} [/mm] hat,
dann komme ich auf [mm] P(\lambda)=(1-\lambda{})^{2},\lambda{})-(0,1) [/mm] und damit auf die Nullstellen [mm] \lambda_{1,2}=1
[/mm]
ist das ok?
Zumindest passt es wenn man es einsetzt.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Mi 24.04.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo helicopter,
bist du auch der Meinung, dass (1,1)=1+i das multiplikativ neutrale Element der komplexen Zahlen ist?
Ums kurz zu machen:
Hier passt gar nichts.
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Hallo helicopter,
> Sei [mm]\IK=\IF_{4}[/mm] der Körper mit 4 Elementen und [mm]\IF_2[/mm] Basis
> [mm]1_{\IF4},\alpha[/mm] wie in der Vorlesung.
> Setze [mm]M:=\pmat{1_{\IF4}&\alpha{} \\ \alpha{}& 1_{\IF4}}[/mm]
>
> Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und die
> Eigenwerte von M und untersuchen Sie M auf
> Diagonalisierbarkeit.
> Guten Tag,
>
> der Körper besteht aus (0,0),(0,1),(1,0),(1,1).
Nein das tut er nicht. Ein Körper ist ein Tripel (K,+,*) mit bestimmten Eigenschaften. Du hast hier nur K geschrieben. Das wesentliche, wie + und * aussehen hast du nicht geschrieben. Bitte recherchiere in deinem Skript wie diese aussehen.
> Dabei ist [mm]1_{\IF4}=(1,0)[/mm] und [mm]\alpha{}=(0,1)[/mm]
>
> Wie man das charakteristische Polynom, Eigenwerte usw. bei
> reellen/komplexen Matrizen ausrechnet ist mir klar,
> hier bin ich aber total verwirrt das es sich nun um 2-er
> Tupel statt Zahlen handelt.
Wenn ich + und * nicht kennen würde wär ich auch verwirrt.
> Ich hab sogar schon beim charakteristischen Polynom
> bedenken, es ist ja [mm]P(\lambda{})=det(M-\lambda{}I)[/mm], aber
> wie sieht die Einheitsmatrix aus? ich habe das Gefühl das
> es nicht [mm]\pmat{1&0\\0&1}[/mm] ist.
Dein Gefühl trügt dich massiv.
Das ist immer die Einheitsmatrix.
Was verstehst du denn allgemein unter dem Begriff Einheitsmatrix?
> Könnte mir bitte jemand helfen?
>
>
> Vielen Dank.
>
>
> Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Mi 24.04.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
Danke für die Antwort.
> Nein das tut er nicht. Ein Körper ist ein Tripel (K,+,*)
> mit bestimmten Eigenschaften. Du hast hier nur K
> geschrieben. Das wesentliche, wie + und * aussehen hast du
> nicht geschrieben. Bitte recherchiere in deinem Skript wie
> diese aussehen.
Ich habe leider keine Mitschrift von dem Tag wo der Körper definiert wurde, ich
versuche mal jemanden zu erreichen der Sie mir geben kann.
> Dein Gefühl trügt dich massiv.
> Das ist immer die Einheitsmatrix.
> Was verstehst du denn allgemein unter dem Begriff
> Einheitsmatrix?
Einheitsmatrix ist das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Mi 24.04.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo,
> Hallo,
>
> Danke für die Antwort.
>
> > Nein das tut er nicht. Ein Körper ist ein Tripel (K,+,*)
> > mit bestimmten Eigenschaften. Du hast hier nur K
> > geschrieben. Das wesentliche, wie + und * aussehen hast du
> > nicht geschrieben. Bitte recherchiere in deinem Skript wie
> > diese aussehen.
>
> Ich habe leider keine Mitschrift von dem Tag wo der Körper
> definiert wurde, ich
> versuche mal jemanden zu erreichen der Sie mir geben
> kann.
Ein allgemeiner Tipp:
Erst Skript mit den Definitionen besorgen, dann Aufgaben beantworten.
Andersrum ist es Raten.
Die Definition ist hier übrigens identisch mit der für komplexe Zahlen als Elemente von [mm] $\mathbb [/mm] R ^2$.
> > Dein Gefühl trügt dich massiv.
> > Das ist immer die Einheitsmatrix.
> > Was verstehst du denn allgemein unter dem Begriff
> > Einheitsmatrix?
>
> Einheitsmatrix ist das neutrale Element bezüglich der
> Matrixmultiplikation.
Und das äquivalent dazu, dass es die Matrix mit Einsen in der Diagonale ist. Da [mm] $\mathbb F_4 \supseteq \mathbb F_2$ [/mm] müssen beide Körper die selbe 1 haben (warum ist dem so?)
> Gruß helicopter
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Mi 24.04.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
> Und das äquivalent dazu, dass es die Matrix mit Einsen in
> der Diagonale ist. Da [mm]\mathbb F_4 \supseteq \mathbb F_2[/mm]
> müssen beide Körper die selbe 1 haben (warum ist dem
> so?)
Da kann ich nur raten, wenn [mm] F_2 [/mm] ein Teilkörper von [mm] F_4 [/mm] wäre, dann ist
das 1-Element das selbe, ich weiß jetz aber nicht ob das auch wirklich ein
Teilkörper ist.
EDIT: Nein das geht garnicht, dazu müsste [mm] F_2 [/mm] ja die gleichen Operationen haben
wie [mm] F_4.
[/mm]
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Mi 24.04.2013 | | Autor: | sometree |
Mit der standardmäßigen Identifikation [mm] $1_{\mathbb F_2}=1_{\mathbb F_4}$ [/mm] ist es ein Teilkörper.
Wieder genauso wie man [mm] $\mathbb [/mm] R$ als Teilkörper von [mm] $\mathbb [/mm] C$ auffasst, mittels [mm] $\mathbb F_2 \to \mathbb F_4$, $x\mapsto [/mm] (x,0)$
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Mi 24.04.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
ich blick nicht ganz durch wie dann die Verknüpfungen vererbt werden, die Addition ist ja Komponentenweise aber die Multiplikation ist anders als im [mm] \IF_2 [/mm] oder nicht?
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mi 24.04.2013 | | Autor: | sometree |
Definitionenraten ist ein Spiel das ich nicht spiele.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Mi 24.04.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
ich werde mich melden wenn ich die Definition habe, Danke.
Gruß helicopter
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