Diagonalisieren einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 So 23.07.2006 | | Autor: | sign |
| Aufgabe | Ist diese Matrix diagonalisierbar?
D = [mm] \pmat{ 2 & -1 & -5 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 4 } [/mm] |
Hi,
habe schon in mehreren Beiträgen hier nachgelesen und irgendwie hat es mir nicht weitergeholfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Auf der Lösung meines Aufgabenblatte steht, sie sei NICHT diagonalisierbar.
Hab folgendes selber rausbekommen:
Eigenwert 2 hat allg. Vielfachheit 2
Eigenwert 4 hat allg. Vielfachheit 1
für geom. Vielfachheit hab ich 3 raus.
allg Vielfachheit (2+1)= geom. Vielfachheit (3)--> also diagonalisierbar..
Mir ist irgendwie noch nicht richtig klar, wann eine Matrix diag.bar ist und wann nicht, sonst wäre ich wohl zu der richtigen Entscheidung gekommen - wäre nett, wenn mir jemand das bitte nochmal erklären könnte anhand dieser Aufgabe.
Danke,
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Mo 24.07.2006 | | Autor: | Fulla |
hi sign!
deine matrix ist wirklich nicht diag.bar!
aber zuerst:
eine matrix ist diagonalisierbar,
- wenn sie lauter verschiedene eigenwerte hat oder
- wenn für alle eigenwerte gilt: geom. vielfachheit = algebr. vielfachheit.
ersteres trifft auf deine matrix schon mal nicht zu...
wie du richtig sagst, ist die algebraische VF von [mm] \lambda=2 [/mm] zwei.
die geometrische VF zum EW [mm] \lambda=2 [/mm] ist aber
[mm]Dim Ker(D-2)=Dim Ker\pmat{ 0 &-1&-5 \\ 0&0 & -2\\0&0&2 }=Dim\left<\vektor{1 \\ 0\\0}\right>=1[/mm]
also [mm] 2\not=1.
[/mm]
also ist die matrix nicht diagonalisierbar!
ich hoffe, das hilft dir weiter...
lieben gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mo 24.07.2006 | | Autor: | sign |
Erstmal Vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Habe aber nochmal 2 Fragen zu 2 Sachen:
> eine matrix ist diagonalisierbar,
> - wenn sie lauter verschiedene eigenwerte hat oder
> - wenn für alle eigenwerte gilt: geom. vielfachheit =
> algebr. vielfachheit.
Das heisst doch dann, um es genau zu nehmen:
Der alg. VF EINES Eigenwertes (z.B. 4) muss gleich dem geom. VF DIESES Eigenwertes (in dem Fall 4) sein.
(..und das natürlich für jeden Eigewert gesehen in der Matrix)
Sehe ich das richtig?
> [mm]Dim Ker(D-2)=Dim Ker\pmat{ 0 &-1&-5 \\ 0&0 & -2\\0&0&2 }=Dim\left<\vektor{1 \\ 0\\0}\right>=1[/mm]
>
> also [mm]2\not=1.[/mm]
> also ist die matrix nicht diagonalisierbar!
Da bin ich noch bischen verwirrt: Wie kommt man auf dieses [mm] Dim\left<\vektor{1 \\ 0\\0}\right>=1
[/mm]
Man stellt ein LGS auf, aber wie löst man das, das man auf 1 dann kommt..
Vielen Dank,
Lars
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mo 24.07.2006 | | Autor: | Fulla |
hi Lars!
> Das heisst doch dann, um es genau zu nehmen:
> Der alg. VF EINES Eigenwertes (z.B. 4) muss gleich dem geom. VF DIESES
> Eigenwertes (in dem Fall 4) sein.
> (..und das natürlich für jeden Eigewert gesehen in der Matrix)
> Sehe ich das richtig?
ja, für den Eigenwert [mm] \lambda=4 [/mm] muss natürlich auch alg. VF = geom. VF gelten! aber wenn die algebr. VF = 1 ist, ist auch die geom. VF = 1, denn es gilt immer [mm]geom. VF \le algebr. VF[/mm].
> Da bin ich noch bischen verwirrt: Wie kommt man auf dieses
> $ [mm] Dim\left<\vektor{1 \\ 0\\0}\right>=1 [/mm] $
nun ja... die geometrische Vielfachheit ist definiert als die Dimension des Kerns von [mm](A-\lambda)[/mm]...
oder anders: die geom. VF ist die anzahl der eigenvektoren zu diesem eigenwert.
es gilt ja: [mm]Av=\lambda v \gdw (A-\lambda)v=0[/mm] (wobei [mm]v[/mm] der eigenvektor zum eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist)
jetzt musst du ein gleichungssystem lösen:
[mm](A-\lambda)v=(A-2)v=\pmat{0&-1&-5\\0&0&-2\\0&0&2}*\vektor{v_1\\v_2\\v_3}=0[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]-v_2-5*v_3=0[/mm]
[mm]-2*v_3=0[/mm]
[mm]2*v_3=0[/mm]
[mm] \Rightarrow v_3=0, v_2=0, v_1=beliebig
[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]v=\vektor{1\\0\\0}[/mm], das heißt [mm]Ker(A-2)=\left<\vektor{1\\0\\0}\right>[/mm],
also ist die Dimension des Kerns = 1.
soweit alles klar?
gruß,
Flo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Mo 24.07.2006 | | Autor: | sign |
Super!
Jetzt habe ich einen Durchblick. Ich danke Dir für Deine Bemühungen!
Respekt und Anerkennung ;)
Lars
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