Diagonalisierung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Linda89 |
| Aufgabe | | Finde ein Beispiel für die Polarzerlegung einer Matrix |
Hallo,
ich muss morgen ein Vortrag über Polarzerlegung halten und mir fehlen noch Beispiele. Ich bin gerade dabei, welche zu suchen und dabei muss ich eine Matrix AA* diagonalisieren. Dazu erfinde ich eine Matrix A, rechne AA* aus, dann die Eigenwerte und -vektoren und die Matrix aus den Eigenvektoren ist dann meine Matrix S mit SAA*S^-1 = diagonalmatrix. Aber irgendwie ist meine Matrix A immer so, dass bei der Diagonalmatrix eine Nullzeile rauskommt. Kann mir da jemand helfen, also entweder mir ein Beispiel sagen, mit dem ich gut rechnen kann, oder mir Tips geben könnte, was ich falsch mache?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mo 27.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Was verstehst Du denn Unter "Polarzerlegung" ?
Üblicherweise ist es das Folgende: Gegeben ist eine Matrix A. Die Pularzerlegung von A ist
A = UP,
wobei P = (A^* [mm] A)^{1/2} [/mm] und U eine partielle Isometrie mit kern(P) = kern (U)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Linda89 |
Ja, das ist schon richtig, das ist die Polarzerlegung, aber ich suche jetzt eine schöne Matrix, die ich gut diagonalisieren kann. Ich habe eben zwei Stunden rumgerechnet und es ist immer eine Nullzeile in der Diagonalmatrix, die rauskommt und das kann ja irgendwie nicht sein, oder!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mo 27.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das ist schon richtig, das ist die Polarzerlegung, aber
> ich suche jetzt eine schöne Matrix, die ich gut
> diagonalisieren kann. Ich habe eben zwei Stunden
> rumgerechnet und es ist immer eine Nullzeile in der
> Diagonalmatrix, die rauskommt und das kann ja irgendwie
> nicht sein, oder!?
Warum denn nicht ? Wenn eine gegebene Matrix diagonalisierbar und nicht invertierbar ist, so hat sie also den Eigenwert 0, der taucht also auch in der Diagonalmatrix auf, somit hat diese eine Nullzeile.
Wieso willst Du eigentlich auf Biegen und Brechen diagonalisieren ?
Nimm mal ein invertierbares A. Berechne P von oben. Dann ist
U* = [mm] PA^{-1} [/mm]
und U kannst Du daraus berechnen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Linda89 |
Aber P ist doch die Wurzel aus AA* oder? Dann muss ich AA* doch diagonalisieren, um die Wurzel zu ziehen, wie kann ich sonst P berechnen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mo 27.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Aber P ist doch die Wurzel aus AA* oder?
Nein , die Wurzel aus A*A
Wenn A normal ist , so ist A*A = AA*
>Dann muss ich AA*
> doch diagonalisieren, um die Wurzel zu ziehen, wie kann ich
> sonst P berechnen???
Wenn du nur ein einfache Beispeil suchst, kannst Du das auch zu Fuß machen.
FRED
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