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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Jordanform J folgender Matrix: [mm] A=\pmat{ -2 & 5 \\ -1 & 2 }
[/mm]
und die Matrix W, für die gilt: [mm] WJW^{-1}=A [/mm] |
Ich habe die Eigenvektoren bestimmt mit det [mm] \pmat{ -2-\lambda & 5 \\ -1 & 2-\lambda } [/mm] = 0
Da bekomme ich:
[mm] \lambda_{1/2}= \pm [/mm] i
[mm] \Rightarrow [/mm] J= [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i}
[/mm]
Daraufhin habe ich versucht die Eigenvektoren [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] zu bestimmen für W= [mm] \pmat{ e_{1} & e_{2} }
[/mm]
und komme auf: [mm] e_{1} [/mm] = [mm] \vektor{(2-i) \\ 1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] = [mm] \vektor{(2+i) \\ 1}
[/mm]
W ist also [mm] \pmat{ (2-i) & 1 \\ (2+i) & 1 } [/mm] und [mm] W^{-1}= \bruch{1}{(2-i)-(2+i)}*\pmat{ 1 & -1 \\ (-2-i) & (2-i) }
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] WJW^{-1} [/mm] berechne (als Probe), dann kommt aber [mm] -\bruch{1}{2i} [/mm] * [mm] \pmat{ -3i+1 & i+3 \\ 3i+1 & -3i-1 } [/mm] raus.
Wo liegt der Fehler?
Und als Neukunde:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Jordanform J folgender Matrix: [mm]A=\pmat{ -2 & 5 \\ -1 & 2 }[/mm]
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> und die Matrix W, für die gilt: [mm]WJW^{-1}=A[/mm]
> Ich habe die Eigenvektoren bestimmt mit det [mm]\pmat{ -2-\lambda & 5 \\ -1 & 2-\lambda }[/mm]
> = 0
> Da bekomme ich:
> [mm]\lambda_{1/2}= \pm[/mm] i
> [mm]\Rightarrow[/mm] J= [mm]\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i}[/mm]
> Daraufhin habe ich
> versucht die Eigenvektoren [mm]e_{1}[/mm] und [mm]e_{2}[/mm] zu bestimmen
> für W= [mm]\pmat{ e_{1} & e_{2} }[/mm]
> und komme auf: [mm]e_{1}[/mm] =
> [mm]\vektor{(2-i) \\ 1}[/mm] und [mm]e_{2}[/mm] = [mm]\vektor{(2+i) \\ 1}[/mm]
> W ist
> also [mm]\pmat{ (2-i) & 1 \\ (2+i) & 1 }[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du mußt die beiden Eigenvektoren Vektoren als Spalten in W stellen, nicht als Zeilen hineinlegen.
Gruß v. Angela
und [mm]W^{-1}= \bruch{1}{(2-i)-(2+i)}*\pmat{ 1 & -1 \\ (-2-i) & (2-i) }[/mm]
>
> Wenn ich jetzt [mm]WJW^{-1}[/mm] berechne (als Probe), dann kommt
> aber [mm]-\bruch{1}{2i}[/mm] * [mm]\pmat{ -3i+1 & i+3 \\ 3i+1 & -3i-1 }[/mm]
> raus.
> Wo liegt der Fehler?
> Und als Neukunde:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > Bestimmen Sie die Jordanform J folgender Matrix: [mm]A=\pmat{ -2 & 5 \\ -1 & 2 }[/mm]
>
> >
> > und die Matrix W, für die gilt: [mm]WJW^{-1}=A[/mm]
> > Ich habe die Eigenvektoren bestimmt mit det [mm]\pmat{ -2-\lambda & 5 \\ -1 & 2-\lambda }[/mm]
> > = 0
> > Da bekomme ich:
> > [mm]\lambda_{1/2}= \pm[/mm] i
> > [mm]\Rightarrow[/mm] J= [mm]\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i}[/mm]
> > Daraufhin
> habe ich
> > versucht die Eigenvektoren [mm]e_{1}[/mm] und [mm]e_{2}[/mm] zu bestimmen
> > für W= [mm]\pmat{ e_{1} & e_{2} }[/mm]
> > und komme auf: [mm]e_{1}[/mm] =
> > [mm]\vektor{(2-i) \\ 1}[/mm] und [mm]e_{2}[/mm] = [mm]\vektor{(2+i) \\ 1}[/mm]
> > W
> ist
> > also [mm]\pmat{ (2-i) & 1 \\ (2+i) & 1 }[/mm]
>
> Hallo,
>
> .
>
> Du mußt die beiden Eigenvektoren Vektoren als Spalten in W
> stellen, nicht als Zeilen hineinlegen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Das ist richtig, da habe ich mich aber einfach nur verschrieben. Ansonsten ergäber auch [mm] W^{-1}, [/mm] das ich unter ausgerechnet habe. keinen Sinn.
W = [mm]\pmat{ (2-i) & (2+i) \\ 1 & 1 }[/mm] habe ich schon verwendet. das Ergebnis stimmt trotzdem nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mi 22.07.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich denke, es liegt an deinen Eigenvektoren. Ich habe folgende Eigenvektoren:
Zu EW i: [mm] \vektor{5 \\ 2+i} [/mm] und zu EW (-i): [mm] \vektor{5 \\ 2-i}
[/mm]
Rechne deine Eigenvektoren einmal nach.
Gruß barsch
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Hallo barsch,
> Hi,
>
> ich denke, es liegt an deinen Eigenvektoren. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Ich habe
> folgende Eigenvektoren:
>
> Zu EW i: [mm]\vektor{5 \\ 2+i}[/mm] und zu EW (-i): [mm]\vektor{5 \\ 2-i}[/mm]
Das sind lediglich Vielfache der Eigenvektoren, die der Aufgabensteller berechnet hat
>
> Rechne deine Eigenvektoren einmal nach.
Nein, rechne du mal beim ersten [mm] $\cdot{}\frac{1}{2+i}$ [/mm] bzw. [mm] $\cdot{}\frac{2-i}{5}$ [/mm] ... und beim zweiten analog [mm] $\cdot{}\frac{2+i}{5}$
[/mm]
>
> Gruß barsch
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Mi 22.07.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo schachuzipus,
du hast Recht. Soweit habe ich gar nicht gedacht. Bei komplexen Zahlen ist mir das leider nie so offensichtlich. Danke also, dass du meinen Artikel gelesen und auf den Fehler hingewiesen hast.
Sorry, duke !
Gruß barsch
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> > Du mußt die beiden Eigenvektoren Vektoren als Spalten in W
> > stellen, nicht als Zeilen hineinlegen.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
>
> Das ist richtig, da habe ich mich aber einfach nur
> verschrieben. Ansonsten ergäber auch [mm]W^{-1},[/mm] das ich unter
> ausgerechnet habe. keinen Sinn.
Hallo,
das [mm] W^{-1} [/mm] welches Du postest, ist nicht die inverse Matrix zu
> W = [mm]\pmat{ (2-i) & (2+i) \\ 1 & 1 }[/mm].
Transponiere ich allerdings Dein [mm] W^{-1}, [/mm] so erhalte ich die Inverse zu W = [mm][mm] \pmat{ (2-i) & (2+i) \\ 1 & 1 }.
[/mm]
(Du kannst das ja sicherheitshalber nochmal prüfen. Wenn's dann immer noch nicht funktioniert, kann's nur daran liegen, daß Du am Ende einen Rechenfehler beim Multiplizieren machst.)
Deine Eigenvektoren sind richtig.
Gruß v. Angela
habe ich schon
> verwendet. das Ergebnis stimmt trotzdem nicht.
> > > Bestimmen Sie die Jordanform J folgender Matrix: [mm]A=\pmat{ -2 & 5 \\ -1 & 2 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > und die Matrix W, für die gilt: [mm]WJW^{-1}=A[/mm]
> > > Ich habe die Eigenvektoren bestimmt mit det [mm]\pmat{ -2-\lambda & 5 \\ -1 & 2-\lambda }[/mm]
> > > = 0
> > > Da bekomme ich:
> > > [mm]\lambda_{1/2}= \pm[/mm] i
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] J= [mm]\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i}[/mm]
> > >
> Daraufhin
> > habe ich
> > > versucht die Eigenvektoren [mm]e_{1}[/mm] und [mm]e_{2}[/mm] zu bestimmen
> > > für W= [mm]\pmat{ e_{1} & e_{2} }[/mm]
> > > und komme auf:
> [mm]e_{1}[/mm] =
> > > [mm]\vektor{(2-i) \\ 1}[/mm] und [mm]e_{2}[/mm] = [mm]\vektor{(2+i) \\ 1}[/mm]
> >
> > W
> > ist
> > > also [mm]\pmat{ (2-i) & 1 \\ (2+i) & 1 }[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > .
> >
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für W = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] ist [mm] W^{-1} [/mm] doch [mm] \bruck{1}{det (W)}*\pmat{ d & -c \\ -b & a } [/mm] oder?
Dann ist für W = [mm] \pmat{ (2-i) & (2+i) \\ 1 & 1 } W^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ -(2+i) & (2-i) } [/mm] oder?
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Hallo,
> für W = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] ist [mm]W^{-1}[/mm] doch
> [mm]\bruck{1}{det (W)}*\pmat{ d & -c \\ -b & a }[/mm] oder?
Nee, das ist [mm] $\frac{1}{\det(W)}\cdot{}\pmat{d&-b\\-c&a}$
[/mm]
> Dann ist für W = [mm]\pmat{ (2-i) & (2+i) \\ 1 & 1 } W^{-1}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ -(2+i) & (2-i) }[/mm] oder?
Nee ... das ist ein Dreher drin und wo ist der Vorfaktor hin?
LG
schachuzipus
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Mein Fehler
für W = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] ist [mm]W^{-1}[/mm] doch
[mm]\bruch{1}{det (W)}*\pmat{ d & -c \\ -b & a }[/mm] oder?
Dann ist für W = [mm]\pmat{ (2-i) & (2+i) \\ 1 & 1 } W^{-1}[/mm] =
[mm] \bruch{1}{(2-i)-(2+i)}[/mm] [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ -(2+i) & (2-i) }[/mm] oder?
Stimmt's denn jetzt?
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> Mein Fehler
> für W = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] ist [mm]W^{-1}[/mm] doch
> [mm]\bruch{1}{det (W)}*\pmat{ d & -c \\ -b & a }[/mm] oder?
Neiiiiiin!
Multiplizier die beiden doch mal, damm merkst Du doch, daß das nicht stimmt.
Gruß v. Angela
>
> Dann ist für W = [mm]\pmat{ (2-i) & (2+i) \\ 1 & 1 } W^{-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(2-i)-(2+i)}[/mm] [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ -(2+i) & (2-i) }[/mm]
> oder?
>
> Stimmt's denn jetzt?
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Hallo nochmal,
> Mein Fehler
> für W = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] ist [mm]W^{-1}[/mm] doch
> [mm]\bruch{1}{det (W)}*\pmat{ d & -c \\ -b & a }[/mm] oder?
Nein, was habe ich denn oben dazu geschrieben? ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
Du hast immer noch denselben Dreher drin ...
LG
schachuzipus
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