Diagonalisierung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:32 So 11.07.2010 | | Autor: | newneo |
Ich frag mich gerade wie man die Diagonalisierbarkeit grafisch darstellen könnte bzw. wie könnte man grafisch feststellen, ob eine Matrix diagonalisierbar ist?
Kann man sich sowas grafisch vorstellen?
Danke!
Lg
Neo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:20 Mi 14.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Neo,
(zuviel Matrix geguckt? ;) )
> Ich frag mich gerade wie man die Diagonalisierbarkeit
> grafisch darstellen könnte bzw. wie könnte man grafisch
> feststellen, ob eine Matrix diagonalisierbar ist?
>
> Kann man sich sowas grafisch vorstellen?
du kannst dir eine Matrix $A [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] als ![[]](/images/popup.gif) Vektorfeld [mm] $\IR^n \to \IR^n$ [/mm] vorstellen, per $v [mm] \mapsto [/mm] A v$. An der Stelle $v$ des Raumes legst du also einen Vektor $A v$ an.
(Einfach vorstellen kann man sich das nur fuer $n = 2$ oder hoechstens noch 3. Versuch sowas doch mal fuer $n = 2$ aufzuzeichnen, oder schau hier; alle dort aufgezeigten Vektorfelder, ausser das allererste, kommen von Matrizen.)
Einen von einem Eigenvektor $v$ aufgestellten Unterraum $V := [mm] \IR [/mm] v$ kannst du jetzt erkennen als eine Gerade durch den Ursprung, auf dem die eingezeichneten Vektoren die Gerade nicht "verlassen". In dem 3-dimensionalen Beispiel aus dem Link (ganz unten auf der Seite, ein Java-Plugin) gibt es einen solchen, naemlich die $z$-Achse (musst ein wenig drehen um sie zu finden). Die Matrix zu diesem Vektorfeld ist uebrigens [mm] $\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$, [/mm] und wie du schnell siehst ist sie nicht diagonalisierbar ueber [mm] $\IR$ [/mm] (wegen den Eigenwerten $1, i, -i$), und es gibt ueber [mm] $\IR$ [/mm] genau einen Eigenraum, naemlich den zum Eigenwert 1; dieser ist eindimensional und wird von $(0, 0, 1)$ erzeugt -- ist also gerade die $z$-Achse.
Dass die Matrix diagonalisierbar ist, bedeutet ja, dass es eine Basis aus Eigenvektoren gibt -- d.h. du kannst $n$ solche Geraden finden, die linear unabhaengig sind, also nicht alle in einer Hyperebene liegen.
Vielleicht hilft dir das weiter... Um eine Aufgabe in der Klausur zu loesen, bringt es wohl nicht sehr viel 
LG Felix
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