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Hey!
Also ich habe eine 3 x 3, [mm] V=R^3 [/mm] Matrix
ME=
( 0 -1 1)
(-3 -2 3)
(-2 -2 3)
Jetzt soll ich eine Basis B von V angeben und eine Matrix A ,so dass
M b =A^-1 * Mv * A
Das soll heißen die Matrix M zur Basis B ist gleich dem inversen der Matrix A multipliziert mit Matrix M zur Basis V, also Standartbasis, multipliziert mit A.
Wie fängt man da an?
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Di 27.01.2004 | | Autor: | Moe_Hammed |
Hier steht noch: Mb soll Diagonalgestalt haben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Di 27.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Moe_Hammed,
zunächst würde ich die Eigenwerte und -räume berechnen. Ist die Summe aller Dimensionen aller Eigenräume gleich [mm] $\dim [/mm] V$, dann ist die Diagonalisierung kein Problem.
Eine ganz ähnliche Frage habe ich vor kurzem in diesem Forum behandelt, vielleicht schaust du da auch mal:
Basen, Matrizen, Eigenwerte
Bis gleich,
Marc.
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Cool, hab ich noch nicht gesehen!
Also seh ich das richtig
Eigentwerte (x,y,z)
Eigenräume zu
x= <(a1, a2, a3)>
y,z=<(b1, b2, b3),(c1,c2,c3)>
M(b)= A^-1 * M(v) *
(x 0 0) (x 0 0) (a1 b1 c1)
(0 y 0) = A^-1 * (0 y 0) * (a2 b2 c2)
(0 0 z) (0 0 z) (a3 b3 c3)
wobei
(a1 b1 c1)
(a2 b2 c2)=A
(a3 b3 c3)
und die Basis von M(b) ist
B=<(a1, a2, a3),(b1, b2, b3),(c1,c2,c3)>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Di 27.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Moe_Hammed,
sorry für die Verzögerungen in meiner Antwort, aber ich bin immer wieder mal dabei, die Nachwirkungen des heutigen Totalausfalls des MatheRaum zu glätten...
Deine Schreibweise ist zwar sehr speziell (für eine Matrix mit zwei Eigenwerten und zwei Eigenräumen, wobei einer 1-dim und der zweite ER 2-dim ist).
Es müßte dann noch gelten, damit es Sinn macht: y=z.
Außerdem ist [mm] $M_V$ [/mm] ja nicht einfach eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten, sondern viel allgemeiner; das ist eben deine Matrix [mm] $M_E [/mm] (= [mm] M_V) [/mm] $.
Kommst du nun klar?
Falls nicht, melde dich einfach wieder.
Alles Gute,
Marc
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Ist Ok, habe vorhin mitbekommen, dass ihr Probleme hatte!
Hab jetzt meine Eigenräume ausgerechnet sind auch je ein und
2 dimensional!
ABer wenn ich die Eigenvektoren in die "Transformationsmatrix" einsetzte,die Inverse ausrechne und mit M(v) das ganze multipliziere, kommt nicht die Diagonalmatrix raus! Sind meine Eigenvektoren falsch??
Ich hab für das charakteristische Polynom [mm] p(x)=-x^3 +x^2+x-1
[/mm]
und als Eigenvektoren
V(1)=<(-1,1,0),(1,0,1)>
V(-1=<(0.5,1.5,1)>
raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Di 27.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Moe_Hammed,
> Hab jetzt meine Eigenräume ausgerechnet sind auch je ein
> und
> 2 dimensional!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ABer wenn ich die Eigenvektoren in die
> "Transformationsmatrix" einsetzte,die Inverse ausrechne
> und mit M(v) das ganze multipliziere, kommt nicht die
> Diagonalmatrix raus! Sind meine Eigenvektoren falsch??
Nein, ich habe es eben (mit deinen Lösungen) überprüft, und bei mir kommt eine Diagonalmatrix raus. Da hast du dich bestimmt bei der Inversen Matrix vertan; poste sie doch mal zum Vergleich.
> Ich hab für das charakteristische Polynom [mm] p(x)=-x^3 [/mm]
> [mm] +x^2+x-1
[/mm]
>
> und als Eigenvektoren
>
> V(1)=<(-1,1,0),(1,0,1)>
> V(-1=<(0.5,1.5,1)>
Bis gleich,
Marc
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A=
(0.5 -1 1)
(1.5 1 0)
(1 0 1)
A^-1=
( 1 1 -1)
(-1.5 -0.5 1.5)
(-1 1 2)
A^-1 * (0 -1 1) * A = (-0.25 -1.5 1.5)
(-3 -2 3) (2.25 -0.5 1.5)
(-2 -2 3) (1.5 -1 2)
keine Diagonalmatrix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Di 27.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Moe_Hammed,
für deine Wahl von A habe ich als Inverse raus:
[mm] $$2*\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ -1.5 & -1 & 1.5 \\ -1 & -1 & 1.5 \end{pmatrix} [/mm] $$
Also an drei Stellen habe ich einen unterschiedlichen Eintrag. Ausserdem müßtest du deine Matrix noch mit 2 multiplizieren.
Hast du den Fehler in deiner Rechnung gefunden?
Alles Gute,
Marc.
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