Diagonalmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Di 03.01.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Bei Diagonalmatrixen ist die Determinante gleich die Multiplikation der Diagonalelemente ( j=i). |
Kann man die Aussage beweisen? Mit den Laplaceschen Entwicklungssatz oder wie?
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> Bei Diagonalmatrixen ist die Determinante gleich die
> Multiplikation der Diagonalelemente ( j=i).
gleich dem Produkt der Diagonalelemente
oder: gleich dem Ergebnis ihrer Multiplikation
> Kann man die Aussage beweisen? Mit dem Laplaceschen
> Entwicklungssatz oder wie?
Natürlich - und das geht ganz leicht wegen der vielen Nullen !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Di 03.01.2012 | | Autor: | quasimo |
det $ [mm] \pmat{ a_{11} & 0 & 0& ... &0 \\ 0& a_{22}&0&...&0\\0&0&a_{33}&\ddots&\vdots \\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&0&...&0&a_{nn}} $=a_{11} [/mm] * [mm] \vmat{ a_{22}&0&...&0\\0&a_{33}&\ddots&\vdots \\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&...&0&a_{nn}} [/mm] = [mm] a_{11}*a_{22}...*a_{n-2.n-2}*\vmat{ a_{n-1.n-1} & 0 \\ 0 & a_{nn} }=a_{11}*a_{22}...*a_{n-2.n-2}*a_{n-1.n-1}* a_{nn}
[/mm]
so?
LG
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Hallo quasimo,
> det [mm]\pmat{ a_{11} & 0 & 0& ... &0 \\
0& a_{22}&0&...&0\\
0&0&a_{33}&\ddots&\vdots \\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\
0&0&...&0&a_{nn}}[/mm][mm] =a_{11}[/mm] * [mm]\vmat{ a_{22}&0&...&0\\
0&a_{33}&\ddots&\vdots \\
\vdots&\ddots&\ddots&0\\
0&...&0&a_{nn}}[/mm]
>
= ......
> = [mm]a_{11}*a_{22}...*a_{n-2.n-2}*\vmat{ a_{n-1.n-1} & 0 \\
0 & a_{nn} }=a_{11}*a_{22}...*a_{n-2.n-2}*a_{n-1.n-1}* a_{nn}[/mm]
>
> so?
> LG
Ja, darauf läuft es hinaus.
Du könntest es schön formal machen mit einer Induktion über die Größe der Matrix (bzw. über die Zeilen-/Spaltenzahl)
Gruß
schachuzipus
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