Diagonalmatrix Beweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Do 20.09.2007 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Man beweise, dass für eine Diagonalmatrix [mm] D=diag\{d_{1},...,d_{n}\} \in \IC^{2,2} [/mm] gilt:
[mm] e^{D} [/mm] = [mm] \pmat{e^{d_{1}} &0& \ldots& 0 \\ 0 &e^{d_{2}}& \ldots &0 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0 &0 &\ldots &e^{d_{n}}}
[/mm]
Hierzu erinnern wir uns, dass dasd Restglied [mm] R_{n}(x) [/mm] für die Taylorentwicklung der Exponentialfunktion gegen 0 geht und somit gilt:
[mm] e^{x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}\bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
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Zu meinem eigenen großen Bedauern, stehe ich vor der Aufgabe und weiß wirklich nicht wie ich sie anpacken soll, vor allem kann ich keine Verbindung zu der Taylorentwicklung und der Definition von [mm] e^{x} [/mm] herstellen.
Anstatt von x kann ich nicht einfach D in die Definition einsetzen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Do 20.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Man beweise, dass für eine Diagonalmatrix
> [mm]D=diag\{d_{1},...,d_{n}\} \in \IC^{2,2}[/mm] gilt:
>
> [mm]e^{D}[/mm] = [mm]\pmat{e^{d_{1}} &0& \ldots& 0 \\ 0 &e^{d_{2}}& \ldots &0 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0 &0 &\ldots &e^{d_{n}}}[/mm]
>
> Hierzu erinnern wir uns, dass dasd Restglied [mm]R_{n}(x)[/mm] für
> die Taylorentwicklung der Exponentialfunktion gegen 0 geht
> und somit gilt:
>
> [mm]e^{x}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}\bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
>
>
>
>
>
> Zu meinem eigenen großen Bedauern, stehe ich vor der
> Aufgabe und weiß wirklich nicht wie ich sie anpacken soll,
> vor allem kann ich keine Verbindung zu der
> Taylorentwicklung und der Definition von [mm]e^{x}[/mm] herstellen.
> Anstatt von x kann ich nicht einfach D in die Definition
> einsetzen, oder?
>
Doch.
Feinheiten hängen davon ab, wir ihr die verschiedenen Sachen nun definiert und bewiesen habt und wie formal perfekt der Beweis werden soll, aber im Prinzip setzt Du wirklich nur D in die Reihe ein und rechnest das dann aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Do 20.09.2007 | | Autor: | JanJan |
Wenn ich also D in die Definition einsetze, erhalte ich ja:
[mm] \bruch{D^{0}}{0!}+\bruch{D^{1}}{1!}+\bruch{D^{2}}{2!}+\bruch{D^{3}}{3!}+\ldots+\bruch{D^{n}}{n!}
[/mm]
[mm] =I_{n}+D+\bruch{D^{2}}{2}+\bruch{D^{3}}{6}+\ldots+\bruch{D^{n}}{n!}
[/mm]
[mm] =SI_{n}S^{-1}+SDS^{-1}+S\bruch{D^{2}}{2}S^{-1}+S\bruch{D^{3}}{6}S^{-1}+\ldots+S\bruch{D^{n}}{n!}S^{-1}
[/mm]
Aber irgendwie komm ich von da nicht allzu gut weiter :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Do 20.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn ich also D in die Definition einsetze, erhalte ich ja:
>
> [mm]\bruch{D^{0}}{0!}+\bruch{D^{1}}{1!}+\bruch{D^{2}}{2!}+\bruch{D^{3}}{3!}+\ldots+\bruch{D^{n}}{n!}[/mm]
>
> [mm]=I_{n}+D+\bruch{D^{2}}{2}+\bruch{D^{3}}{6}+\ldots+\bruch{D^{n}}{n!}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das sieht doch schon ganz gut aus. Jetzt berechnest du einfach [mm]D^n[/mm]: wie sieht diese Matrix aus?
Und wie sieht dann die Summe der Matrizen aus?
> [mm]=SI_{n}S^{-1}+SDS^{-1}+S\bruch{D^{2}}{2}S^{-1}+S\bruch{D^{3}}{6}S^{-1}+\ldots+S\bruch{D^{n}}{n!}S^{-1}[/mm]
Was bedeutet das S? Davon steht nichts in der Aufgabe.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Do 20.09.2007 | | Autor: | JanJan |
[mm] D^{n} [/mm] = [mm] \pmat{d_{1}^{n} & 0 &\ldots& 0 \\ 0 &d_{2}^{n}& \ldots &0 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0& 0 &\ldots &d_{n}^{n}}
[/mm]
Die Summe aller Matrizen hätte folglich die Form:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}D^{i} [/mm] = [mm] \pmat{\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{d_{1}^{i}}{i!} & 0 &\ldots& 0 \\ 0 &\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{d_{2}^{i}}{i!}& \ldots &0 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0& 0 &\ldots &\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{d_{n}^{i}}{i!}} [/mm] = [mm] \pmat{e^{d_{1}} & 0 &\ldots& 0 \\ 0 &e^{d_{2}}& \ldots &0 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0& 0 &\ldots &e^{d_{n}}}
[/mm]
q.e.d. ? :P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Do 20.09.2007 | | Autor: | rainerS |
QED ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Do 20.09.2007 | | Autor: | JanJan |
*verbeug* vielen Dank *freu* :D (aber ohne eure Hilfe würden über meinem Kopf immer noch nen Schwung Fragezeichen schweben ;)
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