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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Diagonlaisierbarkeit
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Diagonlaisierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Mi 15.02.2012
Autor: MissPocahontas

Aufgabe
A [mm] \in [/mm] Mat(n,K) ist genau dann diagonalisierbar, wenn A transponiert diagonalisierbar ist.

hey ;)
Ich hab zu obiger Aufgabe absolut keine Idee...Reicht es denn, wenn ich beweise, dass die Eigenwerte die gleichen sind?

        
Bezug
Diagonlaisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Mi 15.02.2012
Autor: schachuzipus

Hallo MissPocahontas,


> A [mm]\in[/mm] Mat(n,K) ist genau dann diagonalisierbar, wenn A
> transponiert diagonalisierbar ist.
>  hey ;)
>  Ich hab zu obiger Aufgabe absolut keine Idee...Reicht es
> denn, wenn ich beweise, dass die Eigenwerte die gleichen
> sind?  

Nutze die Definition:

[mm]A[/mm] diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix [mm]D[/mm] gibt, zu der [mm]A[/mm] ähnlich ist.

Dh. es gibt eine invertierbare Matrix [mm]T[/mm] mit [mm]A=TDT^{-1}[/mm]

Was heißt das für [mm]A^t[/mm] ?

Andersherum genauso ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Diagonlaisierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Mi 15.02.2012
Autor: MissPocahontas

Dann ist doch A transponiert = T transponiert mal A D transponiert mal T transponiert. Aber warum hilft das?

Bezug
                        
Bezug
Diagonlaisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Mi 15.02.2012
Autor: fred97


> Dann ist doch A transponiert = T transponiert mal A D
> transponiert mal T transponiert.

Unfug !

> Aber warum hilft das?



Wir haben: $ [mm] A=TDT^{-1} [/mm] $

Dann ist     $ [mm] A^t=(T^{-1})^tD^tT^t$ [/mm]

Das hilft ? (hoffentlich !)

FRED


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