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Dichte-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Mi 09.12.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Ic habe eine frage zur folgenden Definition:

Es sei X eine diskrete Zufallsvariable, d.h. [mm] P(X=x_i)\not=0 [/mm] nur für endlich viele oder abzählbar unendlich viele [mm] xin\IR. [/mm]

[mm] f:\IR\to\IR, x\to\begin{cases} P(X=x_i), & \mbox{falls } x=x_i \mbox{ für ein} i=1,2,3,... \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]

heißt Dichte der diskreten Zufallsvariable X

Dann gilt: Für jedes [mm] x\in\IR [/mm] existiert genau ein k mit [mm] x_k\le{x}
[mm] F(x)=P(X\le{x})=P(X=x_1\cup...\cup{X}=x_k)=P(X=x_1)+...+P(X=x_k)=\summe_{i=1}^{k}f(x_i)=\summe_{x_i\le{x}}f(x_i) [/mm]

ich verstehe diesen Ausdruck nicht ganz:


[mm] f:\IR\to\IR, x\to\begin{cases} P(X=x_i), & \mbox{falls } x=x_i \mbox{ für ein} i=1,2,3,... \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]

für [mm] x=x_i [/mm] mit i=1,2,3,.. wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Was meint man jetzt mit sonst Null?

Kann mir das jemand anhand eines Beispiels erklären?

        
Bezug
Dichte-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Mi 09.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

nimm beispielsweise eine Zufallsvariable, die mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{2^n}$ [/mm] die natürliche Zahl n liefert, also:

X=1 mit Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{1}{2} [/mm]

X=2 mit Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{1}{4} [/mm]

X=3 mit Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{1}{8} [/mm]
[mm] \vdots [/mm]

dann ist die beschriebene Dichtefunktion Null für [mm] $x\in\IR\setminus\IN$ [/mm] und $f(n) = [mm] \frac{1}{2^n}$ [/mm]

Oder in Worten: Für jede nicht natürliche Zahl ist f identisch Null, an jeder natürlichen Zahl n springt sie kurz nach oben auf den Wert [mm] $\frac{1}{2^n}$ [/mm]

Gruß,
Gono


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Dichte-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Mi 09.12.2015
Autor: Rebellismus

hallo,

> Hiho,
>  
> nimm beispielsweise eine Zufallsvariable, die mit
> Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{2^n}[/mm] die natürliche Zahl n
> liefert, also:
>  
> X=1 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{2}[/mm]
>
> X=2 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{4}[/mm]
>
> X=3 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{8}[/mm]
>  [mm]\vdots[/mm]
>  
> dann ist die beschriebene Dichtefunktion Null für
> [mm]x\in\IR\setminus\IN[/mm] und [mm]f(n) = \frac{1}{2^n}[/mm]
>  
> Oder in Worten: Für jede nicht natürliche Zahl ist f
> identisch Null, an jeder natürlichen Zahl n springt sie
> kurz nach oben auf den Wert [mm]\frac{1}{2^n}[/mm]

>

aber für die nicht natürliche Zahl X=0,5 ist die Wahrscheinlichkeit nicht Null: [mm] f(0,5)=\frac{1}{2^{0,5}}=0,707 [/mm]

Oder ist es einfach so definiert, dass für nicht natürliche Zahlen die Wahrscheinlichkeit Null ist ?

Bezug
                        
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Dichte-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mi 09.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> hallo,

>

> > Hiho,
> >
> > nimm beispielsweise eine Zufallsvariable, die mit
> > Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{2^n}[/mm] die natürliche Zahl n
> > liefert, also:
> >
> > X=1 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> >
> > X=2 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{4}[/mm]
> >
> > X=3 mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{8}[/mm]
> > [mm]\vdots[/mm]
> >
> > dann ist die beschriebene Dichtefunktion Null für
> > [mm]x\in\IR\setminus\IN[/mm] und [mm]f(n) = \frac{1}{2^n}[/mm]
> >
> > Oder in Worten: Für jede nicht natürliche Zahl ist f
> > identisch Null, an jeder natürlichen Zahl n springt sie
> > kurz nach oben auf den Wert [mm]\frac{1}{2^n}[/mm]
> >

>

> aber für die nicht natürliche Zahl X=0,5 ist die
> Wahrscheinlichkeit nicht Null:
> [mm]f(0,5)=\frac{1}{2^{0,5}}=0,707[/mm]

>

> Oder ist es einfach so definiert, dass für nicht
> natürliche Zahlen die Wahrscheinlichkeit Null ist ?

So ist die ZV gemeint, ja

Gruß

schachuzipus

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Dichte-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Mi 09.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> aber für die nicht natürliche Zahl X=0,5 ist die
> Wahrscheinlichkeit nicht Null:
> [mm]f(0,5)=\frac{1}{2^{0,5}}=0,707[/mm]
>  
> Oder ist es einfach so definiert, dass für nicht
> natürliche Zahlen die Wahrscheinlichkeit Null ist ?

naja, es gibt eben Zufallsvariablen, die als Ergebnis nur eine natürliche Zahl haben können.

z.B. nimm, weil viel naheliegender, die Zufallsvariable die dir die Augenzahl eines Würfelwurfs wiedergibt.

Dort ist natürlich $P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = P(X=6) = [mm] \frac{1}{6}$ [/mm]

Die Frage nach: Wie wahrscheinlich ist, dass eine 0.5 gewürfelt wird?
Kann natürlich nur lauten: Die Wahrscheinlichkeit ist Null.

Gruß,
Gono

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Dichte-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Mi 09.12.2015
Autor: Rebellismus

Ich verstehe nun das folgende nicht:

> Dann gilt: Für jedes [mm]x\in\IR[/mm] existiert genau ein k mit
> [mm]x_k\le{x}
> für alle i), so dass
>  
> [mm]F(x)=P(X\le{x})=P(X=x_1\cup...\cup{X}=x_k)=P(X=x_1)+...+P(X=x_k)=\summe_{i=1}^{k}f(x_i)=\summe_{x_i\le{x}}f(x_i)[/mm]


Vor allem verwirrt mich das Ausdruck innerhalb der Klammer:  (oder [mm]x
das eine [mm] x_i [/mm] ist größer als x und das andere [mm] x_i [/mm] ist kleiner gleich. Ich verstehe diese Information nicht. Kann jemand erklären was mir die Information sagen soll?

Ich verstehe die letzte gleichung so: für [mm] x_k=3 [/mm]

[mm] F(x)=P(X\le{x})=P(X=x_1\cup{x_2}\cup{x_3})=P(X=x_1)+P(X=x_2)+P(X=x_3) [/mm]

Ich verstehe die letzten Terme nicht: [mm] \summe_{i=1}^{k}f(x_i)=\summe_{x_i\le{x}}f(x_i)[/mm] [/mm]

vorallem das letzte Term verstehe ich nicht

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Dichte-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 Do 10.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ok, wir hatten das mit dem Beispiel der natürlichen Zahlen ja schon erklärt. Bleiben wir mal dabei, dass X also nur natürliche Zahlen als Wertebereich hat.
Die obige Ausführung sagt nun einfach nur folgendes aus:

Für jedes [mm] $x\in\IR$, [/mm] also jedes reelle und nicht mehr natürliche x, gilt nun genau einer der drei Fälle:

> > Dann gilt: Für jedes [mm]x\in\IR[/mm] existiert genau ein k mit [mm]x_k\le{x}

1.) x liegt zwischen zwei natürlichen Zahlen (z.B [mm] $\sqrt{2}$) [/mm]

>oder [mm]x 2.) x ist kleiner als jede natürliche Zahl

> oder [mm]x\ge{x_i}[/mm]

3.) x ist größer als jede natürliche Zahl

Der letzte Fall kann bei den natürlichen Zahlen natürlich nicht auftreten, aber wenn man als diskreten Wertebereich bspw. mal alle rationalen Zahlen in [0,1] betrachtet, dann schon.

Hast du das soweit verstanden?

Gruß,
Gono

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Dichte-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:53 Do 10.12.2015
Autor: Rebellismus

Ich verstehe foglende Gleichung nicht:

[mm] P(X=x_1)+...+P(X=x_k)=\summe_{i=1}^{k}f(x_i) [/mm]

für k=2 gilt:

[mm] P(X=x_1)+P(X=x_2)=f(x_1)+f(x_2) [/mm]

aber das kann doch nicht sein oder? Laut der gleichung gilt Wahrscheinlichkeit = Dichte

Bezug
                                
Bezug
Dichte-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Fr 11.12.2015
Autor: fred97


> Ich verstehe foglende Gleichung nicht:
>  
> [mm]P(X=x_1)+...+P(X=x_k)=\summe_{i=1}^{k}f(x_i)[/mm]
>  
> für k=2 gilt:
>  
> [mm]P(X=x_1)+P(X=x_2)=f(x_1)+f(x_2)[/mm]
>  
> aber das kann doch nicht sein oder? Laut der gleichung gilt
> Wahrscheinlichkeit = Dichte


Das folgt doch aus der Definition des Begriffs "Dichte" !

Ist X eine diskrete Zuvallsvariable, die die Werte [mm] x_1,x_2,... [/mm] annehmen kann, so gilt für die Dichte f von X:

   [mm] f(x_i)=P(X=x_i) [/mm]

(i=1,2,...).

FRED

Bezug
                                        
Bezug
Dichte-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Fr 11.12.2015
Autor: Rebellismus


> Das folgt doch aus der Definition des Begriffs "Dichte" !
>  
> Ist X eine diskrete Zuvallsvariable, die die Werte
> [mm]x_1,x_2,...[/mm] annehmen kann, so gilt für die Dichte f von
> X:
>  
> [mm]f(x_i)=P(X=x_i)[/mm]
>  
> (i=1,2,...).
>  

Das finde ich merkwürdig, weil die gleichung meines wissens nach unterschiedliche Einheiten haben.

Die dichte [mm] f(x_i) [/mm] hat die Einheit Wahrscheinlichkeit/"länge"  ("Länge" ist bestimmt nicht das richtige wort, aber mir fällt kein besseres wort ein)

und [mm] P(X=x_i) [/mm] hat die Einheit Wahrscheinlichkeit

betrachtet man eine stetige Zufallsvariable, dann gilt:

[mm] P(a\le{X}\le{b})=\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm]

[mm] P(a\le{X}\le{b}) [/mm] hat die Einheit Wahrscheinlichkeit und

[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] hat auch die Einheit Wahrscheinlichkeit, weil f(x) die Einheit Wahrscheinlichkeit /Länge hat und dx die Einheit "länge" hat. Wenn man f(x) mit dx multipliziert, kommt die Einheit Wahrscheinlichkeit raus. Die Einheiten auf beiden Seiten passen also.

aber bei der Gleichung

[mm]f(x_i)=P(X=x_i)[/mm]

passen die Einheiten nicht. Ist gilt die Gleichung trotzdem?



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Bezug
Dichte-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Fr 11.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das finde ich merkwürdig, weil die gleichung meines
> wissens nach unterschiedliche Einheiten haben.

Es gibt keine Einheiten.

> Die dichte [mm]f(x_i)[/mm] hat die Einheit
> Wahrscheinlichkeit/"länge"  ("Länge" ist bestimmt nicht
> das richtige wort, aber mir fällt kein besseres wort ein)
>  
> und [mm]P(X=x_i)[/mm] hat die Einheit Wahrscheinlichkeit

Beides sind nichts anderes als reelle Zahlen. Also nix mit Einheiten.
  

> betrachtet man eine stetige Zufallsvariable, dann gilt:
>  
> [mm]P(a\le{X}\le{b})=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>  
> [mm]P(a\le{X}\le{b})[/mm] hat die Einheit Wahrscheinlichkeit

Wie kommst du auf sowas?
[mm]P(a\le{X}\le{b})[/mm] ist einfach eine reelle Zahl.

> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] hat auch die Einheit
> Wahrscheinlichkeit, weil f(x) die Einheit
> Wahrscheinlichkeit /Länge hat und dx die Einheit "länge"
> hat. Wenn man f(x) mit dx multipliziert, kommt die Einheit
> Wahrscheinlichkeit raus. Die Einheiten auf beiden Seiten
> passen also.

Lass mich raten: Du bist Physiker.
Komm mal weg davon

Gruß,
Gono

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