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Dichte-/Verteilungsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Fr 14.10.2016
Autor: Sogge93

Aufgabe
Berechne Dichte- und Verteilungsfunktion von M=x*y+x*(1-y)*c mit [mm] x,y\sim [/mm] U(0,1) unabhängig und c [mm] \in [/mm] (0,1).



Hallo zusammen.

Bisher habe ich folgendes:

Dichtefunktion [mm] f(z_{1}) [/mm] von x*y = [mm] -log(z_{1}) [/mm]
Verteilungsfunktion [mm] F(z_1) [/mm] von x*y = [mm] z_{1}- z_{1}*log(z_{1}) [/mm]

Dichtefunktion [mm] f(z_{2}) [/mm] von x*(1-y)*c = [mm] \bruch{-log(z_{2}}{c}) [/mm]
Verteilungsfunktion [mm] F(z_{1}) [/mm] von x*(1-y)*c [mm] =\bruch{z_{2}- z_{2}*log(z_{2})}{c} [/mm]

Nun könnte man bei Unabhängigkeit dieser beiden Teile die Faltung verwenden, um die Gesamtdichte herauszubekommen. Die beiden Teilvariablen hier sind aber wohl nicht unabhängig, also was tun?

Edit: Bin mir gerade nicht mal sicher, ob die beiden Teile nicht doch unbhängig sind, da nur immer einer der beiden Fälle eintritt... bin verwirrt. :D

        
Bezug
Dichte-/Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Fr 14.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Bisher habe ich folgendes:
>  
> Dichtefunktion [mm]f(z_{1})[/mm] von x*y = [mm]-log(z_{1})[/mm]
>  Verteilungsfunktion [mm]F(z_1)[/mm] von x*y = [mm]z_{1}- z_{1}*log(z_{1})[/mm]

wie kommst du darauf?
Ich bekomme da etwas anderes!

Aber du brauchst deine Einzelschritte gar nicht.
Mach dir erstmal klar, dass $M = [mm] x\left((1-c)y + c\right)$. [/mm]
Dann hast du schon mal zwei unabhängige Faktoren.
Sei [mm] $f_{(x,y)}$ [/mm] die gemeinsame Dichte von x und y, dann ist doch die Verteilungsfunktion gegeben durch

[mm] $F_M(m) [/mm] = P( M [mm] \le [/mm] m ) = [mm] E[1_{\{M \le m\}}] [/mm] = [mm] \int_{M \le m} [/mm] f_(x,y) d(x,y)$

Wie sieht die gemeinsame Dichte von x und y aus, wenn x und y unabhängig sind?
Der Rest ist einsetzen…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Dichte-/Verteilungsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Sa 15.10.2016
Autor: Sogge93

Gut, diese Zerlegung scheint schon mal sinnvoller zu sein.

Also: [mm] M=X\cdot [/mm] [(1-c)Y+c]

Dichtefunktion von X: [mm] f_X(x)=1 [/mm] für x [mm] \in(0,1). [/mm]
Dichtefunktion von Y: [mm] f_Y(y)=1 [/mm] für y [mm] \in(0,1). [/mm]
Dichtefunktion von (1-c)Y+c: [mm] f_{(1-c)Y+c}=\bruch{1}{1-c} [/mm] für y [mm] \in [/mm] (0,1), der Ausdruck an sich verteilt sich auf (c,1).

Da die beiden unabhängig sind, ist die gemeinsame Dichtefunktion das Produkt der einzelnen Dichtefunktionen:

[mm] f_{X,Y}=\bruch{1}{1-c}. [/mm] Hier ist mir der Definitionsbereich nicht ganz klar (x,y [mm] \in [/mm] (0,1) ?)

Nun weiß aber nicht genau, wie das mit den Integrationsgrenzen ist, wenn wir über [mm] 1_{M<=m} [/mm] integrieren. Hier meine Überlegung dazu:

[mm] \{M
Wird dann auch über diese Bereiche integriert? Oder bin ich vollkommen auf dem Holzweg?

Bezug
                        
Bezug
Dichte-/Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Sa 15.10.2016
Autor: luis52


>  
> Da die beiden unabhängig sind, ist die gemeinsame
> Dichtefunktion das Produkt der einzelnen Dichtefunktionen:
>  
> [mm]f_{X,Y}=\bruch{1}{1-c}.[/mm] Hier ist mir der Definitionsbereich
> nicht ganz klar (x,y [mm]\in[/mm] (0,1) ?)

Moin, [notok]  [mm]f_{X,Y}(x,y)=\bruch{1}{1-c}[/mm] fuer $0<x<1$ und $c<y<1$, $0$ sonst.



Bezug
                        
Bezug
Dichte-/Verteilungsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Sa 15.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]f_{X,Y}=\bruch{1}{1-c}.[/mm]

Das finde ich ungünstig aufgeschrieben.
Sauberer wäre:
[mm]f_{X,(1-c)Y + c}=\bruch{1}{1-c}.[/mm]

Das brauchst du aber gar nicht!
Du kannst direkt mit [mm] $f_{X,Y} [/mm] = 1$ arbeiten für $x,y [mm] \in [/mm] [0,1]$ und das über [mm] $\{M \le m\}$ [/mm] integrieren.

Mach dir klar, dass die gemeinsame Dichte korrekterweise so lautet:

[mm] $f_{X,Y}(x,y) [/mm] = [mm] 1_{(x,y) \in [0,1]^2}$ [/mm]

Und damit ergibt sich für den Integrationsbereich:

[mm] $\{M \le m\} [/mm] = [mm] \{X\left((1-c)Y + c)\right) \le m, X\in [0,1], Y\in [0,1]\} [/mm] = [mm] \{ Y \le \frac{m + c(1-c)}{X(1-c)}, X\in (0,1], Y \in [0,1]\} [/mm] =   [mm] \{ Y \le \frac{m + c(1-c)}{X(1-c)} \wedge 1, X\in (0,1] \}$ [/mm]

Gruß,
Gono

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