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Dichte- und Verteilungsfunktio: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Mi 01.02.2017
Autor: pc_doctor

Hallo,

folgende Aufgabe:

Finden Sie für eine Zufallsvariable X mit der folgenden Verteilungsfunktion die zugehörige Dichte, falls sie existiert."

Dieses "falls sie existiert", was soll das bedeuten?

Die Verteilungsfunktion sieht so aus:

[mm] F_X(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{2(1+x^2)} & \mbox{für } - \infty < x \le 0 \mbox{ } \\ \bruch{1+2x^2}{2(1+x^2)} & \mbox{für } 0 < x < \infty \mbox{ } \end{cases} [/mm]

Ich muss hier doch einfach die beiden Funktionen ableiten. Dann bin ich fertig. Was soll aber der Nebensatz "falls sie existiert" beduten? Gibt es Verteilungsfunktionen, aus denen man die Dichtefunktion nicht bestimmen kann? Oder umgekehrt? Wie sieht es mit der Existenz der beiden aus? Eine Erklärung wäre sehr nett.

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Dichte- und Verteilungsfunktio: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Mi 01.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> folgende Aufgabe:

>

> Finden Sie für eine Zufallsvariable X mit der folgenden
> Verteilungsfunktion die zugehörige Dichte, falls sie
> existiert."

>

> Dieses "falls sie existiert", was soll das bedeuten?

>

Ja nun, das ist in meinen Augen eine verunglückte Formulierung, denn wenn die Funktion [mm] F_X(x) [/mm] wirklich eine Verteilungsfunktion ist, dann gibt es auch eine Dichte.

Das war falsch. Siehe dazu die Antwort von DieAcht. Ich bin hier von einer differenzierbaren Verteilungsfunktion ausgegangen und hätte meine Antwort demenentsprechend einschränken müssen (was ich hiermit nachhole).

> Die Verteilungsfunktion sieht so aus:

>

> [mm]F_X(x)[/mm] = [mm]\begin{cases} \bruch{1}{2(1+x^2)} & \mbox{für } - \infty < x \le 0 \mbox{ } \\ \bruch{1+2x^2}{2(1+x^2)} & \mbox{für } 0 < x < \infty \mbox{ } \end{cases}[/mm]

>

> Ich muss hier doch einfach die beiden Funktionen ableiten.
> Dann bin ich fertig. Was soll aber der Nebensatz "falls sie
> existiert" beduten?

Ich verstehe es so, dass man prüfen soll, ob [mm] F_X [/mm] eine differenzierbare Verteilung ist. Die Grenzwerte passen, aber für die Monotonie brauchst du die Ableitung und vor allem den Nachweis, dass [mm] f(x)=\left(F_X(x)\right)'\ge{0} [/mm] auf ganz [mm] \IR. [/mm]

> Gibt es Verteilungsfunktionen, aus
> denen man die Dichtefunktion nicht bestimmen kann? Oder
> umgekehrt? Wie sieht es mit der Existenz der beiden aus?
> Eine Erklärung wäre sehr nett.

Also wenn die Verteilungsfunktion per Funktionsterm bekannt ist, dann sollte sich - unter der oben genannten Einschränkun - auch die Dichte angeben lassen. Umgekehrt ist es schon schwieriger (denke an die Normalverteilung). Dann kann man die Verteilungsfunktion oft nicht integralfrei schreiben, zumindest nicht mit Hilfe elementarer Funktionen.


Gruß, Diophant

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Bezug
Dichte- und Verteilungsfunktio: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:59 Mi 01.02.2017
Autor: pc_doctor

Hallo,

ah ich verstehe, stimmt, für ne Verteilungsfunktion müssen diese 3 Bedingungen erfüllt sein. Alles klar, vielen Dank.

Bezug
                
Bezug
Dichte- und Verteilungsfunktio: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:33 Mi 01.02.2017
Autor: DieAcht

Hallo Diophant!


> Ja nun, das ist in meinen Augen eine verunglückte
> Formulierung, denn wenn die Funktion [mm]F_X(x)[/mm] wirklich eine
> Verteilungsfunktion ist, dann gibt es auch eine Dichte.

Falsch.

> > Gibt es Verteilungsfunktionen, aus
> > denen man die Dichtefunktion nicht bestimmen kann? Oder
> > umgekehrt? Wie sieht es mit der Existenz der beiden
> aus?
> > Eine Erklärung wäre sehr nett.
>  
> Also wenn die Verteilungsfunktion per Funktionsterm bekannt
> ist, dann sollte sich auch die Dichte angeben lassen.

Falsch.

> Umgekehrt ist es schon schwieriger (denke an die
> Normalverteilung).

Falsch.


Siehe meine Antwort.


Gruß
DieAcht

Bezug
        
Bezug
Dichte- und Verteilungsfunktio: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Mi 01.02.2017
Autor: DieAcht

Hallo pc_doctor!


Ich muss meinem Vorredner widersprechen!


> Finden Sie für eine Zufallsvariable X mit der folgenden
> Verteilungsfunktion die zugehörige Dichte, falls sie
> existiert."
>  
> Dieses "falls sie existiert", was soll das bedeuten?

Für eine reellwertige Zufallsgröße [mm] $X\$ [/mm] heißt die Abbildung [mm] $F_X\colon\IR\to[0,1]$, [/mm] definiert durch [mm] $F_X(t)=P(X\le [/mm] t)$, die Verteilungsfunktion von [mm] $X\$. [/mm]

Bei der Aufgabe kannst Du davon ausgehen, dass die angegebene Verteilungsfunktion richtig ist.

(Die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion kannst Du nachprüfen, aber das spielt bei dieser Aufgabe keine Rolle.)

Um das "falls sie existiert" zu verstehen gehen wir einen Schritt zurück:

Falls [mm] $f\$ [/mm] eine Dichte ist, so definiert [mm] $F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)\mathrm{d}x$ [/mm] eine Verteilungsfunktion (und sogar eine stetige).
Aber: Nicht jede (stetige) Verteilungsfunktion besitzt eine Dichte!
Wir sagen, die Zufallsgröße [mm] $X\$ [/mm] hat eine Dichte, wenn ihre Verteilungsfunktion [mm] $F_X\$ [/mm] eine hat.

Lies Dir auch mal []das hier durch.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Dichte- und Verteilungsfunktio: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Mi 01.02.2017
Autor: pc_doctor

Hallo,

danke für die Antwort. Ich hatte es genau wie Diophant verstanden, insofern bringen mir beide Antworten etwas.

Ich weiß, dass man zu einer Dichtefunktion nicht immer die Verteilungsfunktion finden kann, da es zu manchen Funktionen keine Stammfunktion gibt.

Aber da war doch noch etwas, dass entweder die Dichtefunktion oder die Verteilungsfunktion immer 1 sein oder ergeben muss. Ich weiß leider nicht mehr so richtig, was das war. Ich hoffe, man weiß, was ich meine.

Bezug
                        
Bezug
Dichte- und Verteilungsfunktio: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Mi 01.02.2017
Autor: DieAcht


> Ich weiß, dass man zu einer Dichtefunktion nicht immer die
> Verteilungsfunktion finden kann, da es zu manchen
> Funktionen keine Stammfunktion gibt.

Das würde ich nicht so formulieren.

> Aber da war doch noch etwas, dass entweder die
> Dichtefunktion oder die Verteilungsfunktion immer 1 sein
> oder ergeben muss. Ich weiß leider nicht mehr so richtig,
> was das war. Ich hoffe, man weiß, was ich meine.  

Ja, eine Abbildung [mm] $f\colon\IR\to[0,\infty)$, [/mm] so dass [mm] \int_{\IR}f\mathrm{d}x [/mm] existiert und den Wert eins hat, heißt Wahrscheinlichkeitsdichte, oder kurz Dichte.

Bezug
                
Bezug
Dichte- und Verteilungsfunktio: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 Mi 01.02.2017
Autor: Diophant

Hallo 8,

danke für deinen Hinweis. Der von dir angesprochene Fall (der hier nicht vorliegt), ist mir irgendwie durchgerutscht.
Ich werde später meinen Artikel noch nacheditieren (jetzt habe ich gerade keine Zeit).

Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Dichte- und Verteilungsfunktio: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 Mi 01.02.2017
Autor: pc_doctor

Super, habs nun gecheckt, vielen Dank für die Antworten von euch.

Bezug
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