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Forum "Uni-Stochastik" - Dichte
Dichte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:54 Sa 19.07.2014
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Gegeben seen zwei Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer Dichte
[mm] f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0 mit [mm] \lambda [/mm] > 0
Berechnen Sie
a) Die Randdichten von X und Y.
b) Die bedingte Dichte [mm] f_{Y}(y|X=x) [/mm]
c) Den bedingten Erwartungswert [mm] E[Y|X=x] [/mm]

Hallo!
Die generelle Berechnung ist eigentlich nicht das Problem,
ich habe nur ein Problem mit dem Berechnen des unendlichen Integrals.
Bspw. bei der a)
Die Rechnung wäre für 0<x<y folgende:

[mm] f_{X}(x)= \integral_{- \infty}^{\infty}{\lambda^{3}xe^{-\lambda y} dy} = \lambda^{3} x \integral_{- \infty}^{\infty}{e^{-\lambda y} dy} = \lambda^{3} x [- \bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda y}]_{- \infty}^{\infty} = \lambda^{2}xe^{-\lambda x} [/mm]

Den letzten Schritt verstehe ich einfach nicht!
Wie gehe ich mit den Grenzen - [mm] \infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] hier um?
Warum setze ich auf einmal x für y ein?

Kann mir hier bitte jemand helfen? Das wäre klasse!

Grüßle, Lily

        
Bezug
Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Sa 19.07.2014
Autor: hippias


> Gegeben seen zwei Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer
> Dichte
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0
>  
> mit [mm]\lambda[/mm] > 0
>  Berechnen Sie
>  a) Die Randdichten von X und Y.
>  b) Die bedingte Dichte [mm]f_{Y}(y|X=x)[/mm]
>  c) Den bedingten Erwartungswert [mm]E[Y|X=x][/mm]
>  Hallo!
>  Die generelle Berechnung ist eigentlich nicht das
> Problem,
>  ich habe nur ein Problem mit dem Berechnen des unendlichen
> Integrals.
>  Bspw. bei der a)
>  Die Rechnung wäre für 0<x<y folgende:
>  
> [mm]f_{X}(x)= \integral_{- \infty}^{\infty}{\lambda^{3}xe^{-\lambda y} dy} = \lambda^{3} x \integral_{- \infty}^{\infty}{e^{-\lambda y} dy} = \lambda^{3} x [- \bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda y}]_{- \infty}^{\infty} = \lambda^{2}xe^{-\lambda x}[/mm]
>  
> Den letzten Schritt verstehe ich einfach nicht!
>  Wie gehe ich mit den Grenzen - [mm]\infty[/mm] und [mm]\infty[/mm] hier um?
>  Warum setze ich auf einmal x für y ein?

Das ist auf jeden Fall falsch. Bist Du denn sicher, dass Du die Randdichte so richtig bestimmst? Schau Dir doch nocheinmal die Definition an und genau die Definition von $f$.

>  
> Kann mir hier bitte jemand helfen? Das wäre klasse!
>  
> Grüßle, Lily


Bezug
                
Bezug
Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Sa 19.07.2014
Autor: Mathe-Lily


>  Das ist auf jeden Fall falsch. Bist Du denn sicher, dass
> Du die Randdichte so richtig bestimmst? Schau Dir doch
> nocheinmal die Definition an und genau die Definition von
> [mm]f[/mm].

Was genau ist denn falsch?
Ich bin mir sicher, was die Definition von Randdichte [mm] f_{X}(x)= \integral_{- \infty}^{\infty}{f(x,y) dy} [/mm] und die Definition von [mm] f(x,y)= \lambda^{3} x e^{- \lambda y} [/mm] für 0<x<y betrifft.
f(x,y) eingesetzt in die Randdichte ergibt:
[mm] f_{X}(x)= \lambda^{3} x \integral_{- \infty}^{\infty}{e^{- \lambda y} dy} [/mm]

Also bis dahin sollte es auf jeden Fall richtig sein!
Und herauskommen soll:
[mm] f_{X}(x)= \lambda^{2} x e^{- \lambda y} [/mm]

Nur den Schritt dahin verstehe ich nicht.

Oder vertue ich mich gerade ganz gehörig?

Grüßle, Lily

Bezug
                        
Bezug
Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Sa 19.07.2014
Autor: Fry

Huhu,

du hast aber vergessen, die Bedingung 0<x<y unterzubringen (in deiner ursprünglichen Definition galt hier übrigens noch f(x,y)=0)
Wenn du also die Dichte mit Indikatorfunktionen schreiben würdest,

wäre das z.B. dann [mm]f(x,y)=\lambda^3 x*e^{-\lambda y}*1_{[0,y]}(x)*1_{\mathbb R}(y)[/mm]

also [mm]f_X(x)=\int_{x}^{\infty}\lambda^3 x*e^{-\lambda y}dy[/mm]
und [mm]f_Y(y)=\int_{0}^{y}\lambda^3x*e^{-\lambda y}dx[/mm]

LG
Fry

Bezug
                                
Bezug
Dichte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:07 Sa 19.07.2014
Autor: Mathe-Lily

Vielen Dank!
So klappt dann alles!! :-)

Bezug
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