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| Aufgabe | Gegeben seen zwei Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer Dichte
[mm] f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0
mit [mm] \lambda [/mm] > 0
Berechnen Sie
a) Die Randdichten von X und Y.
b) Die bedingte Dichte [mm] f_{Y}(y|X=x) [/mm]
c) Den bedingten Erwartungswert [mm] E[Y|X=x] [/mm] |
Hallo!
Die generelle Berechnung ist eigentlich nicht das Problem,
ich habe nur ein Problem mit dem Berechnen des unendlichen Integrals.
Bspw. bei der a)
Die Rechnung wäre für 0<x<y folgende:
[mm] f_{X}(x)= \integral_{- \infty}^{\infty}{\lambda^{3}xe^{-\lambda y} dy}
= \lambda^{3} x \integral_{- \infty}^{\infty}{e^{-\lambda y} dy}
= \lambda^{3} x [- \bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda y}]_{- \infty}^{\infty}
= \lambda^{2}xe^{-\lambda x} [/mm]
Den letzten Schritt verstehe ich einfach nicht!
Wie gehe ich mit den Grenzen - [mm] \infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] hier um?
Warum setze ich auf einmal x für y ein?
Kann mir hier bitte jemand helfen? Das wäre klasse!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Sa 19.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Gegeben seen zwei Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer
> Dichte
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0
>
> mit [mm]\lambda[/mm] > 0
> Berechnen Sie
> a) Die Randdichten von X und Y.
> b) Die bedingte Dichte [mm]f_{Y}(y|X=x)[/mm]
> c) Den bedingten Erwartungswert [mm]E[Y|X=x][/mm]
> Hallo!
> Die generelle Berechnung ist eigentlich nicht das
> Problem,
> ich habe nur ein Problem mit dem Berechnen des unendlichen
> Integrals.
> Bspw. bei der a)
> Die Rechnung wäre für 0<x<y folgende:
>
> [mm]f_{X}(x)= \integral_{- \infty}^{\infty}{\lambda^{3}xe^{-\lambda y} dy}
= \lambda^{3} x \integral_{- \infty}^{\infty}{e^{-\lambda y} dy}
= \lambda^{3} x [- \bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda y}]_{- \infty}^{\infty}
= \lambda^{2}xe^{-\lambda x}[/mm]
>
> Den letzten Schritt verstehe ich einfach nicht!
> Wie gehe ich mit den Grenzen - [mm]\infty[/mm] und [mm]\infty[/mm] hier um?
> Warum setze ich auf einmal x für y ein?
Das ist auf jeden Fall falsch. Bist Du denn sicher, dass Du die Randdichte so richtig bestimmst? Schau Dir doch nocheinmal die Definition an und genau die Definition von $f$.
>
> Kann mir hier bitte jemand helfen? Das wäre klasse!
>
> Grüßle, Lily
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> Das ist auf jeden Fall falsch. Bist Du denn sicher, dass
> Du die Randdichte so richtig bestimmst? Schau Dir doch
> nocheinmal die Definition an und genau die Definition von
> [mm]f[/mm].
Was genau ist denn falsch?
Ich bin mir sicher, was die Definition von Randdichte [mm] f_{X}(x)= \integral_{- \infty}^{\infty}{f(x,y) dy} [/mm] und die Definition von [mm] f(x,y)= \lambda^{3} x e^{- \lambda y} [/mm] für 0<x<y betrifft.
f(x,y) eingesetzt in die Randdichte ergibt:
[mm] f_{X}(x)= \lambda^{3} x \integral_{- \infty}^{\infty}{e^{- \lambda y} dy} [/mm]
Also bis dahin sollte es auf jeden Fall richtig sein!
Und herauskommen soll:
[mm] f_{X}(x)= \lambda^{2} x e^{- \lambda y} [/mm]
Nur den Schritt dahin verstehe ich nicht.
Oder vertue ich mich gerade ganz gehörig?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Sa 19.07.2014 | | Autor: | Fry |
Huhu,
du hast aber vergessen, die Bedingung 0<x<y unterzubringen (in deiner ursprünglichen Definition galt hier übrigens noch f(x,y)=0)
Wenn du also die Dichte mit Indikatorfunktionen schreiben würdest,
wäre das z.B. dann [mm]f(x,y)=\lambda^3 x*e^{-\lambda y}*1_{[0,y]}(x)*1_{\mathbb R}(y)[/mm]
also [mm]f_X(x)=\int_{x}^{\infty}\lambda^3 x*e^{-\lambda y}dy[/mm]
und [mm]f_Y(y)=\int_{0}^{y}\lambda^3x*e^{-\lambda y}dx[/mm]
LG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Sa 19.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Vielen Dank!
So klappt dann alles!! 
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