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| Aufgabe | Chris, einem Fallschirmspringer, steht als Landegebiet für seine Trainingssprünge eine rechteckige Wiese von 100m x 50m Länge zur Verfügung.
a) Wenn es windstill ist, landet Chris mit gleicher Wahrscheinlichkeit in gleichgroßen Teilstücken der Wiese. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Chris an einem windstillen Tag einen Trainingssprung im Dreieck A mit den Eckpukten (0,0), (0,0.5), (0.2,0.5) landet. (Die Koordinaten sind auf eine Zeichnung bezogen, bei der das Landegebiet mit den Angaben in 100 m abgebildet ist)
b) Es kommt Wind auf, und Chris wird in die nordöstliche Richtung abgetrieben. Die Dichte, die angbit, mit welcher Wahrscheinlichkeit er jetzt in Teilgebieten der Wiese landet, sei nun gegeben durch [mm] f(x,y)dxdy [/mm] mit [mm] f(x,y)=\begin{cases} c*x*y, & \mbox{für } 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 0.5 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
Berechnen Sie zunächst die Konstante c. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Chris im Dreieck A wie oben landet? |
Hallo!
Für die a) habe ich mir überlegt, dass es dieses Dreieck ja genau 10 Mal in diesem Feld gibt, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass Chris dort landet ist [mm] \bruch{1}{10}.
[/mm]
Bei der b) habe ich die Formel [mm] P(X \in I_{1}, Y \in I_{2})= \integral_{I_{1}} \integral_{I_{2}}{f(x,y) dydx} [/mm] und [mm] P(X \in (0,1), Y \in (0;0.5))=1 [/mm] verwendet:
[mm] P(X \in (0,1), Y \in (0,0.5))= \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{0.5}{cxy dydx} = c \integral_{0}^{1} x \integral_{0}^{0.5}{y dydx} = \bruch {1}{8} c \integral_{0}^{1} x dx} = \bruch {1}{8} c \bruch{1}{2} = \bruch{1}{16} c [/mm]
Wegen [mm] P(X \in (0,1), Y \in (0;0.5))=1 [/mm] gilt [mm]1= \bruch{1}{16} c [/mm] und daher [mm] c=16 [/mm]
Stimmt das? Habe ich richtig gedacht?
Dann müsste man für den zweiten Teil wieder die Formel [mm] P(X \in I_{1}, Y \in I_{2})= \integral_{I_{1}} \integral_{I_{2}}{f(x,y) dydx} [/mm] verwenden, diesmal mit eingesetztem c und den neuen Intervallen.
ABER wenn ich nur die Intervalle (0,0.2) und (0,0.5) einsetze, dann bekomme ich ja ein Rechteck und kein Dreieck!
Wie bekomme ich das Dreieck?
Kann mir hier jemand helfen?
Grüßle, Lily
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Hallo Lily,
ich erinnere mich, diese Aufgabe schon einmal gesehen zu
haben. Ich weiß nicht, ob dir ein Blick auf den damaligen
Thread etwas bringt, aber schau da mal hin:
früherer Thread
LG
Al-Chwarizmi
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> Chris, einem Fallschirmspringer, steht als Landegebiet für
> seine Trainingssprünge eine rechteckige Wiese von 100m x
> 50m Länge zur Verfügung.
> a) Wenn es windstill ist, landet Chris mit gleicher
> Wahrscheinlichkeit in gleichgroßen Teilstücken der Wiese.
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Chris an
> einem windstillen Tag einen Trainingssprung im Dreieck A
> mit den Eckpukten (0,0), (0,0.5), (0.2,0.5) landet. (Die
> Koordinaten sind auf eine Zeichnung bezogen, bei der das
> Landegebiet mit den Angaben in 100 m abgebildet ist)
> b) Es kommt Wind auf, und Chris wird in die nordöstliche
> Richtung abgetrieben. Die Dichte, die angbit, mit welcher
> Wahrscheinlichkeit er jetzt in Teilgebieten der Wiese
> landet, sei nun gegeben durch [mm]f(x,y)dxdy[/mm] mit
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} c*x*y, & \mbox{für } 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 0.5 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Berechnen Sie zunächst die Konstante c. Wie groß ist nun
> die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Chris im Dreieck A wie
> oben landet?
> Hallo!
> Für die a) habe ich mir überlegt, dass es dieses Dreieck
> ja genau 10 Mal in diesem Feld gibt, d.h. die
> Wahrscheinlichkeit, dass Chris dort landet ist
> [mm]\bruch{1}{10}.[/mm]
>
> Bei der b) habe ich die Formel [mm]P(X \in I_{1}, Y \in I_{2})= \integral_{I_{1}} \integral_{I_{2}}{f(x,y) dydx}[/mm]
> und [mm]P(X \in (0,1), Y \in (0;0.5))=1[/mm] verwendet:
> [mm]P(X \in (0,1), Y \in (0,0.5))= \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{0.5}{cxy dydx} = c \integral_{0}^{1} x \integral_{0}^{0.5}{y dydx} = \bruch {1}{8} c \integral_{0}^{1} x dx} = \bruch {1}{8} c \bruch{1}{2} = \bruch{1}{16} c[/mm]
>
> Wegen [mm]P(X \in (0,1), Y \in (0;0.5))=1[/mm] gilt [mm]1= \bruch{1}{16} c[/mm]
> und daher [mm]c=16[/mm]
>
> Stimmt das? Habe ich richtig gedacht?
>
> Dann müsste man für den zweiten Teil wieder die Formel
> [mm]P(X \in I_{1}, Y \in I_{2})= \integral_{I_{1}} \integral_{I_{2}}{f(x,y) dydx}[/mm]
> verwenden, diesmal mit eingesetztem c und den neuen
> Intervallen.
> ABER wenn ich nur die Intervalle (0,0.2) und (0,0.5)
> einsetze, dann bekomme ich ja ein Rechteck und kein
> Dreieck!
> Wie bekomme ich das Dreieck?
>
> Kann mir hier jemand helfen?
>
> Grüßle, Lily
Hallo Lily,
Den Wert c=16 hast du richtig berechnet.
Dazu ist es sicher sinnvoll, die Bemerkungen zu beachten, die
ich im alten Thread gemacht habe und die sich damit befassen,
dass man es hier eigentlich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
zu tun hat. Man lässt einfach quasi die Sprünge außer Acht, bei
denen der Fallschirmspringer durch den Wind oder durch eigene
Ungeschicklichkeit so abgetrieben wird, dass er außerhalb der
Wiese zu Boden kommt.
Bei deiner aktuellen Frage geht es aber offenbar nur darum,
welche Integrationsgrenzen du brauchst, um über das Dreieck A
zu integrieren.
Dies geht auf zwei Arten, je nachdem, nach welcher Reihen-
folge du integrieren willst: erst nach x, dann nach y oder
gerade umgekehrt.
Auch diese Frage wurde im früheren Thread schon behandelt.
Vielleicht führt dich die Lektüre jener alten Diskussion
schon zum Ziel.
Andernfalls melde dich bitte einfach wieder, damit wir
deine verbleibenden Fragen klären können.
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo!
>
> Den Wert c=16 hast du richtig berechnet.
> Dazu ist es sicher sinnvoll, die Bemerkungen zu beachten,
> die
> ich im alten Thread gemacht habe und die sich damit
> befassen,
> dass man es hier eigentlich mit bedingten
> Wahrscheinlichkeiten
> zu tun hat. Man lässt einfach quasi die Sprünge außer
> Acht, bei
> denen der Fallschirmspringer durch den Wind oder durch
> eigene
> Ungeschicklichkeit so abgetrieben wird, dass er außerhalb
> der
> Wiese zu Boden kommt.
Das stimmt,
hier ist der Fallschirmspringer einfach perfekt ^^
>
> Bei deiner aktuellen Frage geht es aber offenbar nur darum,
> welche Integrationsgrenzen du brauchst, um über das
> Dreieck A
> zu integrieren.
Genau, oben war die Formel ja so, dass man erst nach y und dann nach x integriert.
Ich habe mir das mal angeschaut, was du im anderen Thread geschrieben hattest:
"Dies erreichst du zum Beispiel so: Das Dreieck A
enthält nur Punkte P(x,y) mit x 0.2
Es genügt also, für das äußere Integral x-Werte
von 0 bis 0.2 zu berücksichtigen.
Für jeden in diesem Intervall liegenden x-Wert
soll y nicht unbedingt das ganze y-Intervall von
0 bis 0.5 durchlaufen, sondern nur genau jene
y-Werte, die tatsächlich zu Punkten im Dreieck A
gehören.
(<-- bis hier ist alles klar!)
Man sieht natürlich sofort, dass der
obere y-Wert immer gleich 0.5 ist (oberer Rand);
(<-- aber was ist hier mit "der obere y-Wert" gemeint? Dass y höchstens 0.5 sein kann? )
der Startwert für das Scannen in y-Richtung ist
aber abhängig vom gerade gewählten x-Wert.
(<-- klar, mit x=0 kann y bei 0 anfangen, bei x=0.2 kann y nur 0.5 sein und zwischendrin ist das Intervall von möglichen y-Werten vom x-Wert abhängig)
Die untere Grenze des inneren Integrals (für
die Integration nach y) ist also als eine geeignete
Funktion von x zu schreiben. "
Das heißt wir haben bisher folgendes:
[mm] P(X \in [0,0.2], Y \in [u,0.5])= 16 \integral_{0}^{0.2}{ x \integral_{u}^{0.5} y dydx} [/mm]
und wir suchen ein passendes u, das die untere Grenze von y angibt und abhängig von x ist.
Hab ich das so weit richtig verstanden?
Suchen wir also ein passendes u:
Die Grenze von A verläuft ja geradlinig von (0,0) zu (0.2,0.5).
Das heißt, wenn [mm] x=0.1=\bruch{0.2}{2}, [/mm] dann ist [mm] y=0.25=\bruch{0.5}{2}.
[/mm]
und so weiter
Jetzt habe ich überlegt, dass der Anfangswert für y =2.5*x ist.
Das stimmt für ein paar Werte, die ich eingesetzt habe.
Kann ich das so sagen?
Dann wäre:
[mm] P(X \in [0,0.2], Y \in [2.5x,0.5])= 16 \integral_{0}^{0.2}{ x \integral_{2.5x}^{0.5} y dydx} = 16 \integral_{0}^{0.2}{ x ( \bruch{1}{8} - 3.12x^2) dx} = 16* ( \bruch{1}{16} x^2 - \bruch{3.125}{5}x^4)|_{0}^{0.2} = 0.02 [/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass Chris bei diesem Wind im Gebiet A landet, wäre also 2%.
Stimmt das? :-D
Grüßle, Lily
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Hallo Lily,
alles korrekt ! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
So hat sich der Rückgriff auf den alten Thread wirklich
gelohnt.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Di 22.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ja, super! Vielen, vielen Dank 
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