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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Sa 28.11.2009 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | Es sei X eine exponentiell verteilte Zufannsvariable und [mm] \varepsilon [/mm] eine von X unabhängige Zufallsvariable mit [mm] P(\varepsilon [/mm] =1) [mm] =P(\varepsilon [/mm] =-1) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] . Bestimme die Dichte von [mm] \varepsilon [/mm] X.
(Die zu [mm] \varepsilon [/mm] X gehörige Verteilung heißt in der Statistik auch Laplace-Verteilung, da Laplace sie als Verteilung von Messfehlern postuliert hat. Man beachte, dass es keinen Zusammenhang zu der diskreten Laplace-Verteilung gibt.) |
Hallo!
Habe mir zu dieser Aufgabe überlegt, dass
P(a< X [mm] \le [/mm] b) = [mm] \integral_{a}^{b}{ \lambda e^{- \lambda x} * 1_{[0, \infty )} (x) dx}
[/mm]
[mm] P(\varepsilon [/mm] =k)= [mm] \begin{cases} 1/2, & \mbox{für } k \mbox{ gleich -1 oder 1} \\ 0, & \mbox{für } k \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Nun müsste ich P(a< [mm] \varepsilon [/mm] X [mm] \le [/mm] b) berechnen.
Ich weiß, dass sowas wie [mm] \integral_{a}^{b}{\lambda /2 *e^{- \lambda |x- \mu |}dx} [/mm] rauskommen muss.
Kann ich sagen, dass P(a< [mm] \varepsilon [/mm] X [mm] \le [/mm] b) = P(a< [mm] \varepsilon [/mm] X [mm] \le [/mm] b | [mm] \varepsilon [/mm] =1) + P(a< [mm] \varepsilon [/mm] X [mm] \le [/mm] b | [mm] \varepsilon [/mm] =-1) + P(a< [mm] \varepsilon [/mm] X [mm] \le [/mm] b | [mm] \varepsilon \in \IR [/mm] ohne{-1, 1} )?
Und bringt es mit überhaupt was, es so zu schreiben?
Liebe Grüße Julsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 So 29.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin julsch,
ich schlage folgende Vorgehensweise vor:
1) Bestimme den Wertebereich von [mm] $\varepsilon [/mm] X$ (Es ist [mm] $\IR$).
[/mm]
2) Bestimme die Verteilungsfunktion $F_$ von [mm] $\varepsilon [/mm] X$: Waehle [mm] $z\in\IR$. [/mm] Dann ist
[mm] $F(z)=P(\varepsilon X\le z)=P(X/2\le z)+P(-X/2\le z)=\ldots$
[/mm]
3) Leite $F_$ nach $z_$ ab.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 So 29.11.2009 | | Autor: | julsch |
Hallo luis52,
kann ich dann einfach schreiben:
F(z)= [mm] P(\varepsilon [/mm] X [mm] \le [/mm] z) = P(X/2 [mm] \le [/mm] z) + P(-X/2 [mm] \le [/mm] z) = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{- \infty }^{z}{\lambda e^{- \lambda x} dx} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \integral_{- \infty }^{z}{\lambda e^{- \lambda y} dy}
[/mm]
Dann bilde ich davon die Ableitung:
f(z) = F'(z) = [mm] \bruch{1}{2} \lambda e^{- \lambda x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \lambda e^{- \lambda y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \lambda e^{- \lambda |x-y|}
[/mm]
Dann setzte ich noch |x-y|auf z und habe es?
Ich bin mir bei manchen schritten nicht wirklich sicher, ob ich die so sagen kann.
LG Julsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 So 29.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
entschuldige, ich habe mich in meiner ersten Antwort vertan. Hier die Korrektur:
Fuer [mm] $z\in\IR$ [/mm] ist
[mm] $P(\varepsilon X\le z)=P(\varepsilon X\le z\cap\varepsilon=-1)+P(\varepsilon X\le z\cap\varepsilon=+1)$
[/mm]
[mm] $=P(\varepsilon X\le z\mid\varepsilon=-1)P(\varepsilon=-1)+P(\varepsilon X\le z\mid\varepsilon=+1)P(\varepsilon=-1)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}P(-X\le z)+\frac{1}{2}P(X\le [/mm] z)$.
Mache nun eine die Fallunterscheidung $z<0$ und [mm] $z\ge [/mm] 0$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 29.11.2009 | | Autor: | julsch |
Wie berechne ich denn P(-X [mm] \le [/mm] z)? gilt P(-X [mm] \le [/mm] z) = P( X > -z) ?
LG Julsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 So 29.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Wie berechne ich denn P(-X [mm]\le[/mm] z)? gilt P(-X [mm]\le[/mm] z) = P( X > -z) ?
Fast: [mm] $P(X\ge [/mm] -z)$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 So 29.11.2009 | | Autor: | julsch |
Dann bekomm ich ja
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] P(X [mm] \le [/mm] z) + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] P( X [mm] \ge [/mm] -z)
= [mm] \bruch{1}{2} \integral_{- \infty }^{z}{\lambda e^{- \lambda x} 1_{ [0. \infty) }(x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \integral_{-z}^{ \infty}{\lambda e^{- \lambda x} 1_{ [0. \infty) }(x) dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} \integral_{0 }^{z}{\lambda e^{- \lambda x} dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \integral_{-z}^{ \infty}{\lambda e^{- \lambda x} 1_{ [0. \infty) }(x) dx}
[/mm]
An dem Punkt machen wir dann die Fallunterscheidung z<0 und z [mm] \ge [/mm] 0 :
Sei z<0, dann gilt
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{z}{\lambda e^{- \lambda x}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \integral_{-z}^{ \infty}{\lambda e^{- \lambda x} 1_{ [0. \infty) }(x) dx}
[/mm]
= 0+ [mm] \bruch{1}{2} \integral_{-z}^{ \infty}{\lambda e^{- \lambda x} dx}
[/mm]
Sei z [mm] \ge [/mm] 0, dann gilt:
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{0 }^{z}{\lambda e^{- \lambda x} dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \integral_{-z}^{ \infty}{\lambda e^{- \lambda x} 1_{ [0. \infty) }(x) dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} \integral_{0 }^{z}{\lambda e^{- \lambda x} dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{ \infty }{ \lambda e^{- \lambda x} 1_{ [0. \infty) }(x) dx}
[/mm]
Ist dann meine Dichte, wenn z<0 ist f(x)= [mm] \bruch{1}{2} \lambda e^{- \lambda x} [/mm] und wenn z [mm] \ge [/mm] 0 ist f(x)= [mm] \lambda e^{- \lambda x} [/mm] ?
LG Julsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 29.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Dann bekomm ich ja
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] P(X [mm]\le[/mm] z) + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] P( X [mm]\ge[/mm] -z)
> = [mm]\bruch{1}{2} \integral_{- \infty }^{z}{\lambda e^{- \lambda x} 1_{ [0. \infty) }(x) dx}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2} \integral_{-z}^{ \infty}{\lambda e^{- \lambda x} 1_{ [0. \infty) }(x) dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2} \integral_{0 }^{z}{\lambda e^{- \lambda x} dx}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2} \integral_{-z}^{ \infty}{\lambda e^{- \lambda x} 1_{ [0. \infty) }(x) dx}[/mm]
>
Leider nein. Sei [mm] $z\ge [/mm] 0$:
[mm] \begin{matrix}
\frac{1}{2}P(-X\le z)+\frac{1}{2}P(X\le z)
&=&\frac{1}{2}\left\{P(X\ge -z)+P(X\le z) \right\} \\
&=&\frac{1}{2}\left\{1+(1-\exp[-\lambda z])\right\} \\
&=&1-\frac{1}{2}\exp[-\lambda z]
\end{matrix}
[/mm]
Fuer $z<0$ ist
[mm] \begin{matrix}
\frac{1}{2}P(-X\le z)+\frac{1}{2}P(X\le z)
&=&\frac{1}{2}\left\{P(X\ge -z)+\underbrace{P(X\le z)}_{=0} \right\} \\
&=&\frac{1}{2}P(X\ge -z) \\
&=&\frac{1}{2}\exp[\lambda z]
\end{matrix}
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 So 29.11.2009 | | Autor: | julsch |
Hört sich gut an. Danke. Hatte wohl irgendwie einen kleinen Denkfehler!
LG Julsch
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