Dichte < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $B:=\{(x,y) \in \IR^2\;| \;\;\;|x| + |y| \le 1\}$, [/mm] dann ist B eine Borelmenge.
Sei weiter [mm] $f(x,y):=\begin{cases} c *(x^2 + y^2), & \mbox{für } (x,y)\in B \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$ [/mm] mit $c > 0$.
Bestimmen Sie c, sodass f eine Dichte ist. |
Hallo,
ich bin hier ein bisschen verwirrt, soweit ich das überblicke, ist f für jedes $c>0$ eine nicht negative, meßbare Abb mit [mm] $f:\IR^2\to\IR$, [/mm] denn:
Ich muss ja für jedes $c>0$ zeigen:
f messbar bzgl. irgendeiner [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] $\IR^2$ [/mm] und der [mm] Borelschen-$\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] $\IR$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] alle Urbilder eines Erzeugers der [mm] Borelschen-$\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] $\IR$ [/mm] aus irgendeiner [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] $\IR^2$ [/mm] ist
[mm] $\gdw \forall a\in\IR: f^{-1}([-\infty, a])\in [/mm] A$ mit A irgendeine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] $\IR^2$
[/mm]
(1) Nehmen wir die A = "Potenzmenge über [mm] $\IR^2$" [/mm] als [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] so ist f immer eine meßbare Abb und für c>0 positiv
(2) Selbst wenn man A = [mm] "Borelsche-$\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] \IR" [/mm] wählt, ist f für jedes c>0 eine meßbare, nicht negative Abb., denn:
Für [mm] $a\ge [/mm] 0$: [mm] $f^{-1}([-\infty, [/mm] a]) = [mm] \{(x,y)\in \IR^2| \;\;f(x,y) \le a\} [/mm] = [mm] \IR^2\backslash B\cup \{(x,y)\in B| c *(x^2 + y^2) \le a\} =\IR^2\backslash B\cup B\cap K_{a/c}(0,0)$ [/mm] mit [mm] $K_{a/c}(0,0)$ [/mm] als Kreis mit Mittelpunkt(0,0) und Radius a/c und Kreise und B sind in der [mm] Borelsche-$\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] \IR [/mm] und somit auch ihre Vereinigungen, Schnitte und Abzüge.
Für [mm] $a<0\,$: $f^{-1}([-\infty, [/mm] a]) = [mm] \emptyset$
[/mm]
hmm, somit müsste f für jedes c>0 mit Potenzmenge und Borel eine Dichte für irgendwelche Maße sein. Dann kommt mir die Aufgabe aber komisch vor.
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]B:=\{(x,y) \in \IR^2\;| \;\;\;|x| + |y| \le 1\}[/mm], dann
> ist B eine Borelmenge.
> Sei weiter [mm]f(x,y):=\begin{cases} c *(x^2 + y^2), & \mbox{für } (x,y)\in B \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
> mit [mm]c > 0[/mm].
>
> Bestimmen Sie c, sodass f eine Dichte ist.
wie wurde bei Euch der Begriff der Dichte(funktion) eingeführt? Welche Charakterisierungen habt ihr bzw. welche Sätze, die hinreichende Bedingungen geben, kennt ihr denn? Ich bin ein wenig aus der Wahrscheinlichkeitstheorie raus - aber reicht denn die Messbarkeit und Nichtnegativheit einer Funktion dafür aus, dass sie eine Dichtefunktion ist?
Schlag' das bitte nochmal nach!
edit: Hat sich erledigt, habe das im Elstrodt gefunden!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]B:=\{(x,y) \in \IR^2\;| \;\;\;|x| + |y| \le 1\}[/mm], dann
> ist B eine Borelmenge.
> Sei weiter [mm]f(x,y):=\begin{cases} c *(x^2 + y^2), & \mbox{für } (x,y)\in B \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
> mit [mm]c > 0[/mm].
>
> Bestimmen Sie c, sodass f eine Dichte ist.
>
>
>
> Hallo,
> ich bin hier ein bisschen verwirrt, soweit ich das
> überblicke, ist f für jedes [mm]c>0[/mm] eine nicht negative,
> meßbare Abb mit [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm], denn:
> Ich muss ja für jedes [mm]c>0[/mm] zeigen:
> f messbar bzgl. irgendeiner [mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\IR^2[/mm] und
> der Borelschen-[mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\IR[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] alle Urbilder eines Erzeugers der
> Borelschen-[mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\IR[/mm] aus irgendeiner
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\IR^2[/mm] ist
> [mm]\gdw \forall a\in\IR: f^{-1}([-\infty, a])\in A[/mm] mit A
> irgendeine [mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\IR^2[/mm]
>
> (1) Nehmen wir die A = "Potenzmenge über [mm]\IR^2[/mm]" als
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra, so ist f immer eine meßbare Abb und für
> c>0 positiv
>
> (2) Selbst wenn man A = "Borelsche-[mm]\sigma[/mm]-Algebra über
> [mm]\IR"[/mm] wählt, ist f für jedes c>0 eine meßbare, nicht
> negative Abb., denn:
> Für [mm]a\ge 0[/mm]: [mm]f^{-1}([-\infty, a]) = \{(x,y)\in \IR^2| \;\;f(x,y) \le a\} = \IR^2\backslash B\cup \{(x,y)\in B| c *(x^2 + y^2) \le a\} =\IR^2\backslash B\cup B\cap K_{a/c}(0,0)[/mm]
> mit [mm]K_{a/c}(0,0)[/mm]
sollte da nicht eher $B [mm] \cap K_{\red{\sqrt{a/c}}}(0,0)$ [/mm] stehen? Es ist ja
[mm] $$c*(x^2+y^2) \le [/mm] a$$
[mm] $$\gdw \sqrt{x^2+y^2}=\|(x,y)\|_2 \le \sqrt{a/c}\,.$$
[/mm]
Das ändert aber natürlich gar nichts an Deinen Argumenten...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Mi 04.01.2012 | | Autor: | diddy449 |
stimmt, es muss [mm] $\sqrt{a/c} [/mm] sein.
Wir haben die Dichte genau wie im Elstrodt definiert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> stimmt, es muss [mm]$\sqrt{a/c}[/mm] sein.
>
> Wir haben die Dichte genau wie im Elstrodt definiert.
naja, ich hab's jetzt mehrmals durchgelesen.
(Nebenbei: Ich habe Deinen Beitrag ein wenig editiert: Du hattest mal [mm] $\le$ [/mm] anstatt [mm] $\ge$ [/mm] geschrieben, dann ein [mm] $<\,$ [/mm] aber [mm] $\le$ [/mm] gemeint und manche "Unschönheiten in Latex" - kannst Du Dir gerne mal in der History angucken - damit ich da nicht irgendwo noch was falsches zusätzlich reingebaut habe. Eigentlich ändere ich inhaltlich nichts, aber hier warens offensichtliche Kleinigkeiten! Ich hoffe, das war okay!)
Ich finde jedenfalls keine Fehler in Deiner Argumentation. Vielleicht ändert sich doch etwas, wenn der Aufgabensteller ein ganz spezielle [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] $\IR^2$ [/mm] meinte, aber vergessen hatte, diese mitanzugeben? Sofern niemand anderem da ein Fehler auffällt, würde ich an Deiner Stelle ggf. mal nachfragen gehen.
Gruß,
Marcel
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> Sei [mm]B:=\{(x,y) \in \IR^2\;| \;\;\;|x| + |y| \le 1\}[/mm], dann
> ist B eine Borelmenge.
> Sei weiter [mm]f(x,y):=\begin{cases} c *(x^2 + y^2), & \mbox{für } (x,y)\in B \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
> mit [mm]c > 0[/mm].
>
> Bestimmen Sie c, sodass f eine Dichte ist.
>
>
>
> Hallo,
> ich bin hier ein bisschen verwirrt, soweit ich das
> überblicke, ist f für jedes [mm]c>0[/mm] eine nicht negative,
> meßbare Abb mit [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm], denn:
> Ich muss ja für jedes [mm]c>0[/mm] zeigen:
> f messbar bzgl. irgendeiner [mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\IR^2[/mm] und
> der Borelschen-[mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\IR[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] alle Urbilder eines Erzeugers der
> Borelschen-[mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\IR[/mm] aus irgendeiner
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\IR^2[/mm] ist
> [mm]\gdw \forall a\in\IR: f^{-1}([-\infty, a])\in A[/mm] mit A
> irgendeine [mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\IR^2[/mm]
>
> (1) Nehmen wir die A = "Potenzmenge über [mm]\IR^2[/mm]" als
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra, so ist f immer eine meßbare Abb und für
> c>0 positiv
>
> (2) Selbst wenn man A = "Borelsche-[mm]\sigma[/mm]-Algebra über
> [mm]\IR"[/mm] wählt, ist f für jedes c>0 eine meßbare, nicht
> negative Abb., denn:
> Für [mm]a\ge 0[/mm]: [mm]f^{-1}([-\infty, a]) = \{(x,y)\in \IR^2| \;\;f(x,y) \le a\} = \IR^2\backslash B\cup \{(x,y)\in B| c *(x^2 + y^2) \le a\} =\IR^2\backslash B\cup B\cap K_{a/c}(0,0)[/mm]
> mit [mm]K_{a/c}(0,0)[/mm] als Kreis mit Mittelpunkt(0,0) und Radius
> a/c und Kreise und B sind in der Borelsche-[mm]\sigma[/mm]-Algebra
> über [mm]\IR[/mm] und somit auch ihre Vereinigungen, Schnitte und
> Abzüge.
> Für [mm]a<0\,[/mm]: [mm]f^{-1}([-\infty, a]) = \emptyset[/mm]
>
> hmm, somit müsste f für jedes c>0 mit Potenzmenge und
> Borel eine Dichte für irgendwelche Maße sein. Dann kommt
> mir die Aufgabe aber komisch vor.
>
> gruß
Hallo diddy449,
irre ich mich mit der Annahme, dass dies eine ziemlich
einfache Integrationsaufgabe ist ?
Kann man da nicht einfach einmal den Wert I des Integrals
$\ I\ =\ [mm] \integral_B (x^2+y^2)\,dx\,dy$
[/mm]
berechnen und dann $\ c:=\ [mm] \frac{1}{I}$ [/mm] setzen ?
Dann würde doch
[mm] $\integral_B f(x,y)\,dx\,dy\ [/mm] =\ 1$
Oder verwechsle ich da gewisse Dinge ?
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Do 05.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Hallo diddy449,
>
> irre ich mich mit der Annahme, dass dies eine ziemlich
> einfache Integrationsaufgabe ist ?
> Kann man da nicht einfach einmal den Wert I des Integrals
>
> [mm]\ I\ =\ \integral_B (x^2+y^2)\,dx\,dy[/mm]
>
> berechnen und dann [mm]\ c:=\ \frac{1}{I}[/mm] setzen ?
> Dann würde doch
>
> [mm]\integral_B f(x,y)\,dx\,dy\ =\ 1[/mm]
>
> Oder verwechsle ich da gewisse Dinge ?
ich denke, dass der Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichte, den Du hier quasi ansprichst, ein Spezialfall der Dichte ist (ich kenne die Begriffe "mit dem Anhang '-Funktion'"). Kann aber sein, dass der Aufgabensteller hier wirklich sowas gemeint hat.
(Ich muss mich eh demnächst nochmal ein wenig einlesen, was es da allesfür Begriffe gibt: Endliche Maße, Sigma-endliche Maße, und und und ... Wenn ich denn irgendwann nochmal die Zeit dafür finde ^^)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Do 05.01.2012 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Die Nachfolgeaufgabe ist:
Es seien X und Y reellwertige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega,A,P)$ [/mm] mit gemeinsamer Dichte f.
(2) Bestimmen Sie die zugehörigen Rand-Dichten [mm] f_X [/mm] und [mm] f_Y [/mm]
(3) und untersuchen Sie, ob X und Y stochastisch unabhängig sind.
(4) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit [mm] P(\parallel Z\parallel \le [/mm] r) mit Z=(X,Y) und [mm] 0\le r\le [/mm] 1/2. |
> > Hallo diddy449,
> >
> > irre ich mich mit der Annahme, dass dies eine ziemlich
> > einfache Integrationsaufgabe ist ?
> > Kann man da nicht einfach einmal den Wert I des
> Integrals
> >
> > [mm]\ I\ =\ \integral_B (x^2+y^2)\,dx\,dy[/mm]
> >
> > berechnen und dann [mm]\ c:=\ \frac{1}{I}[/mm] setzen ?
> > Dann würde doch
> >
> > [mm]\integral_B f(x,y)\,dx\,dy\ =\ 1[/mm]
> >
> > Oder verwechsle ich da gewisse Dinge ?
Leider steht in der Aufgabe nicht, dass f keine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
Aber aufgrund der Nachfolgeaufgabe liegt das nah und ich geh nun davon aus.
Wenn das in Ordnung ist, stell ich dann einfach noch ein paar Fragen zu Nachfolgeaufgabe. Denn ich bin mir bei Integration mit 2 Variablen, Rand-, Verteilungen und Dichten sehr unsicher.
Mein Ansatz wäre:
(Die Integrationsgrenzen im folgenden werden anhand der Defintion von f auf B bestimmt(oben definiert))
(1) Bestimme das I und berechne dann c:
$I = [mm] \integral_B f(x,y)\,dx\,dy\ [/mm] = [mm] \integral_{-1}^1\integral_{|y|-1}^{1-|y|}x^2+y^2 \,dx\,dy\$, [/mm] darf man hier die Grenzen so bestimmen?
(2) Bestimme die zugehörigen Randdichten nach Satz:
Satz: [mm] $f_X(x) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy [/mm] = [mm] f_X(x) [/mm] = [mm] \integral_{|x|-1}^{1-|x|} c*(x^2+y^2)\,dy$, [/mm] passt das mit den Grenzen und wenn ja, müsste man hier eine Fallunterscheidung für [mm] x\le [/mm] 0 und x>0 machen?
(3) Untersuche auf stoch. Unab. von X,Y nach Satz:
Satz: Falls F(x,y) = [mm] F_X(x) [/mm] * [mm] F_Y(y) [/mm] ist (mit F, [mm] F_X, F_Y [/mm] als (Rand)-Verteilungsfkt), so sind X,Y stoch Unab.
Bestimme F, [mm] F_X, F_Y:
[/mm]
$F(x,y) = [mm] \integral_{-\infty}^y\integral_{-\infty}^{x}f(x,y)\,dx\,dy\ [/mm] = [mm] \integral_{-1}^y\integral_{|y|-1}^{x}c*(s^2+t^2) \,ds\,dt\$, [/mm] passen die Grenzen und brauch ich wieder eine Fallunterscheidung für y?
[mm] F_X(x) [/mm] = [mm] \integral_{-1}^1 f_X(x)\,dx\, [/mm] Grenzen ok?
...
(4) Bestimme [mm] P(\parallel Z\parallel \le [/mm] r) mit Z=(X,Y) und [mm] 0\le r\le [/mm] 1/2:
[mm] P(\parallel Z\parallel \le [/mm] r) = [mm] P(\sqrt{X^2+Y^2} \le [/mm] r) = [mm] P(X^2+Y^2 \le r^2), [/mm] ab hier weiss ich nicht weiter.
Gruß
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> Die Nachfolgeaufgabe ist:
> Es seien X und Y reellwertige Zufallsvariablen auf einem
> Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,A,P)[/mm] mit gemeinsamer Dichte f.
> (2) Bestimmen Sie die zugehörigen Rand-Dichten [mm]f_X[/mm] und [mm]f_Y[/mm]
> (3) und untersuchen Sie, ob X und Y stochastisch
> unabhängig sind.
> (4) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit [mm]P(\parallel Z\parallel \le[/mm]
> r) mit Z=(X,Y) und [mm]0\le r\le[/mm] 1/2.
> > > Hallo diddy449,
> > >
> > > irre ich mich mit der Annahme, dass dies eine ziemlich
> > > einfache Integrationsaufgabe ist ?
> > > Kann man da nicht einfach einmal den Wert I des
> > Integrals
> > >
> > > [mm]\ I\ =\ \integral_B (x^2+y^2)\,dx\,dy[/mm]
> > >
> > > berechnen und dann [mm]\ c:=\ \frac{1}{I}[/mm] setzen ?
> > > Dann würde doch
> > >
> > > [mm]\integral_B f(x,y)\,dx\,dy\ =\ 1[/mm]
> > >
> > > Oder verwechsle ich da gewisse Dinge ?
>
> Leider steht in der Aufgabe nicht, dass f keine
> Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
> Aber aufgrund der Nachfolgeaufgabe liegt das nah und ich
> geh nun davon aus.
Wovon jetzt: dass es eine ist oder dass es keine ist ?
> Wenn das in Ordnung ist, stell ich dann einfach noch ein
> paar Fragen zu Nachfolgeaufgabe. Denn ich bin mir bei
> Integration mit 2 Variablen, Rand-, Verteilungen und
> Dichten sehr unsicher.
>
> Mein Ansatz wäre:
> (Die Integrationsgrenzen im folgenden werden anhand der
> Definition von f auf B bestimmt(oben definiert))
>
> (1) Bestimme das I und berechne dann c:
> [mm]I = \integral_B f(x,y)\,dx\,dy\ = \integral_{-1}^1\integral_{|y|-1}^{1-|y|}(x^2+y^2) \,dx\,dy\[/mm],
> darf man hier die Grenzen so bestimmen?
Stimmt, aber ich würde die Symmetrie nutzen und
zuerst mal nur im ersten Quadranten integrieren.
> (2) Bestimme die zugehörigen Randdichten nach Satz:
> Satz: [mm]f_X(x) = \integral_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy = f_X(x) = \integral_{|x|-1}^{1-|x|} c*(x^2+y^2)\,dy[/mm],
> passt das mit den Grenzen und wenn ja, müsste man hier
> eine Fallunterscheidung für [mm]x\le[/mm] 0 und x>0 machen?
Auch hier: Symmetrie nutzen ! Es ist [mm] f_X(-x)=f_X(x) [/mm] .
Und die Gleichung [mm]f_X(x)\ =\ \integral_{|x|-1}^{1-|x|} c*(x^2+y^2)\,dy[/mm]
gilt natürlich nur für [mm] |x|\le1 [/mm] (außerhalb dieses Intervalls ist [mm] f_X(x)=0).
[/mm]
> (3) Untersuche auf stoch. Unab. von X,Y nach Satz:
> Satz: Falls F(x,y) = [mm]F_X(x)[/mm] * [mm]F_Y(y)[/mm] ist (mit F, [mm]F_X, F_Y[/mm]
> als (Rand)-Verteilungsfkt), so sind X,Y stoch Unab. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Moment ! Jetzt bringst du plötzlich die großen F rein
und sprichst von Verteilungsfunktionen - aber es geht
doch hier immer noch um die Dichtefunktion f und die
"Randdichten" [mm] f_X [/mm] und [mm] f_Y [/mm] !
Die Bedingung für Unabhängigkeit ist also
$\ f(x,y) = [mm] f_X(x)\ [/mm] *\ [mm] f_Y(y)$
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Unabhängigkeit
Wir brauchen da keine neuen Funktionen und Bezeichnungen !
> Bestimme F, [mm]F_X, F_Y:[/mm]
> [mm]F(x,y) = \integral_{-\infty}^y\integral_{-\infty}^{x}f(x,y)\,dx\,dy\ = \integral_{-1}^y\integral_{|y|-1}^{x}c*(s^2+t^2) \,ds\,dt\[/mm],
> passen die Grenzen und brauch ich wieder eine
> Fallunterscheidung für y?
> [mm]F_X(x)[/mm] = [mm]\integral_{-1}^1 f_X(x)\,dx\,[/mm] Grenzen ok?
Letzteres Integral sollte als Obergrenze nicht 1, sondern x haben.
So wie ich es sehe, waren die Verteilungsfunktionen F, [mm] F_X [/mm] und [mm] F_Y [/mm]
eigentlich in der Aufgabe aber gar nicht gefragt.
> (4) Bestimme [mm]P(\parallel Z\parallel \le[/mm] r) mit Z=(X,Y) und
> [mm]0\le r\le[/mm] 1/2:
> [mm]P(\parallel Z\parallel \le[/mm] r) = [mm]P(\sqrt{X^2+Y^2} \le[/mm] r) =
> [mm]P(X^2+Y^2 \le r^2),[/mm] ab hier weiss ich nicht weiter.
Da kann man nun die Dichtefunktion f(x,y) (mit dem
schon berechneten Wert von c) über die Kreisscheibe
vom Radius r um den Nullpunkt integrieren. Natürlich
wieder Symmetrie nutzen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Do 05.01.2012 | | Autor: | diddy449 |
Ich meinte, ich gehe von einer Wahrscheinlichkeitsdichte aus.
Ich hab jetzt Symmetrie ausgenutzt:
(1) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\,dy [/mm] = [mm] 4*\integral_0^1\integral_0^{1-y}x^2+y^2\,dx\,dy [/mm] = 2/3
(2) [mm] f_X(-x) [/mm] = [mm] f_X(x) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dy [/mm] = 2* [mm] \integral_{0}^{1-x}c(x^2+y^2)\,dy [/mm] = 3* [mm] \integral_{0}^{1-x}x^2+y^2\,dy [/mm] = [mm] 1-3x+6x^2-4x^3 [/mm] für [mm] 0\le x\le [/mm] 1 und für andere x ist [mm] f_X(x) [/mm] = 0
[mm] f_Y(-y) [/mm] = [mm] f_Y(y) [/mm] = [mm] 1-3y+6y^2-4y^3 [/mm] für [mm] 0\le y\le [/mm] 1 und für andere y ist [mm] f_Y(y) [/mm] = 0 (analog)
(3) [mm] f_Y(0)*f_X(1) [/mm] = 1*0= 0 [mm] \not= [/mm] 3/2 = f(1,0)
also sind X,Y stoch. abh.
(4) wird gleich nachgereicht...
Ist das bisher ok so?
gruß
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> Ich meinte, ich gehe von einer Wahrscheinlichkeitsdichte
> aus.
>
> Ich hab jetzt Symmetrie ausgenutzt:
> (1)
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\,dy[/mm]
> = [mm]4*\integral_0^1\integral_0^{1-y}x^2+y^2\,dx\,dy[/mm] = 2/3
>
>
> (2) [mm]f_X(-x)[/mm] = [mm]f_X(x)[/mm] =
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dy[/mm] = 2*
> [mm]\integral_{0}^{1-x}c(x^2+y^2)\,dy[/mm] = 3*
> [mm]\integral_{0}^{1-x}x^2+y^2\,dy[/mm] = [mm]1-3x+6x^2-4x^3[/mm] für [mm]0\le x\le\,1[/mm]
da würde ich schreiben: für [mm] |x|\le1
[/mm]
> und für andere x ist [mm]f_X(x)[/mm] = 0
>
> [mm]f_Y(-y)[/mm] = [mm]f_Y(y)[/mm] = [mm]1-3y+6y^2-4y^3[/mm] für [mm]0\le y\le[/mm] 1 und
> für andere y ist [mm]f_Y(y)[/mm] = 0 (analog)
>
>
> (3) [mm]f_Y(0)*f_X(1)[/mm] = 1*0= 0 [mm]\not=[/mm] 3/2 = f(1,0)
> also sind X,Y stoch. abh.
>
>
> (4) wird gleich nachgereicht...
>
> Ist das bisher ok so?
Ja.
Kleine Nebenfrage: warum lässt du in den Integralen die
Klammern bei [mm] (x^2+y^2) [/mm] weg, wenn da kein Faktor c
dabei steht ?
Auch die Differentiale dx und dy sind Faktoren und gehören
als solche zum gesamten Integranden !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Do 05.01.2012 | | Autor: | diddy449 |
> > Ich meinte, ich gehe von einer Wahrscheinlichkeitsdichte
> > aus.
> >
> > Ich hab jetzt Symmetrie ausgenutzt:
> > (1)
> >
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\,dy[/mm]
> > = [mm]4*\integral_0^1\integral_0^{1-y}x^2+y^2\,dx\,dy[/mm] = 2/3
> >
> >
> > (2) [mm]f_X(-x)[/mm] = [mm]f_X(x)[/mm] =
> > [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dy[/mm] = 2*
> > [mm]\integral_{0}^{1-x}c(x^2+y^2)\,dy[/mm] = 3*
> > [mm]\integral_{0}^{1-x}x^2+y^2\,dy[/mm] = [mm]1-3x+6x^2-4x^3[/mm] für [mm]0\le x\le\,1[/mm]
>
> da würde ich schreiben: für [mm]|x|\le1[/mm]
>
> > und für andere x ist [mm]f_X(x)[/mm] = 0
> >
> > [mm]f_Y(-y)[/mm] = [mm]f_Y(y)[/mm] = [mm]1-3y+6y^2-4y^3[/mm] für [mm]0\le y\le[/mm] 1 und
> > für andere y ist [mm]f_Y(y)[/mm] = 0 (analog)
> >
> >
> > (3) [mm]f_Y(0)*f_X(1)[/mm] = 1*0= 0 [mm]\not=[/mm] 3/2 = f(1,0)
> > also sind X,Y stoch. abh.
> >
> >
> > (4) wird gleich nachgereicht...
(4) [mm] $P(\parallel Z\parallel [/mm] < r) = [mm] P(\sqrt{X^2+Y^2}
Ich habe versucht deinen Hinweis zu benutzen und falls ich ihn richtig benutzt habe, verstehe ich die zweite Gleichheit nicht.
[mm] P(\sqrt{X^2+Y^2} \le [/mm] r) = [mm] P(\sqrt{X^2+Y^2}^{-1}]-\infty,r]), [/mm] weiter ist f die P-Dichte von X,Y, aber was heißt das konkret?
> >
> > Ist das bisher ok so?
>
> Ja.
>
> Kleine Nebenfrage: warum lässt du in den Integralen die
> Klammern bei [mm](x^2+y^2)[/mm] weg, wenn da kein Faktor c
> dabei steht ?
> Auch die Differentiale dx und dy sind Faktoren und
> gehören
> als solche zum gesamten Integranden !
>
Das ist mir noch nicht klar. Muss man also bei Summanden im Integral eine Klammer setzen, da sich die Differentiale wie Faktoren verhalten (oder welche sind)?
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> (4) $\ [mm] P(\parallel Z\parallel [/mm] < r) = [mm] P(\sqrt{X^2+Y^2}
$\ = 4 * [mm] \integral_0^r\integral_{0}^{\red{1-y}}c*(x^2+y^2)\,dx\,dy [/mm] = 6 * [mm] \integral_0^r\integral_{0}^{\red{1-y}}(x^2+y^2)\,dx\,dy [/mm] = 2r - [mm] 3r^2 [/mm] + [mm] 4r^3 [/mm] - [mm] 2r^4$
[/mm]
Die rot markierte Obergrenze ist falsch.
Und das Schlussergebnis ist ein konkreter Zahlenwert, da ja
für r ein konkreter Wert gegeben war.
Für die Integration empfehlen sich Polarkoordinaten.
> Ich habe versucht deinen Hinweis zu benutzen und falls ich
> ihn richtig benutzt habe, verstehe ich die zweite
> Gleichheit nicht.
> $\ [mm] P(\sqrt{X^2+Y^2} \le [/mm] r)\ =\ [mm] P(\sqrt{X^2+Y^2}^{-1}]-\infty,r])$ [/mm]
> weiter ist f die
> P-Dichte von X,Y, aber was heißt das konkret?
das verstehe ich jetzt nicht ganz ...
> > Kleine Nebenfrage: warum lässt du in den Integralen die
> > Klammern bei [mm](x^2+y^2)[/mm] weg, wenn da kein Faktor c
> > dabei steht ?
> > Auch die Differentiale dx und dy sind Faktoren und
> > gehören
> > als solche zum gesamten Integranden !
> Das ist mir noch nicht klar. Muss man also bei Summanden im
> Integral eine Klammer setzen, da sich die Differentiale wie
> Faktoren verhalten (oder welche sind)?
Ja. Das wird aber leider von vielen Leuten übersehen (auch
von Lehrkräften, die Mathearbeiten korrigieren) oder als
nebensächlich betrachtet, weil sie die Differentiale eh nur
als lästige Floskeln betrachten ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 05.01.2012 | | Autor: | diddy449 |
> > (4) [mm]\ P(\parallel Z\parallel < r) = P(\sqrt{X^2+Y^2}
>
> [mm]\ = 4 * \integral_0^r\integral_{0}^{\red{1-y}}c*(x^2+y^2)\,dx\,dy = 6 * \integral_0^r\integral_{0}^{\red{1-y}}(x^2+y^2)\,dx\,dy = 2r - 3r^2 + 4r^3 - 2r^4[/mm]
>
> Die rot markierte Obergrenze ist falsch.
> Und das Schlussergebnis ist ein konkreter Zahlenwert, da
> ja
> für r ein konkreter Wert gegeben war.
> Für die Integration empfehlen sich Polarkoordinaten.
Es galt, dass [mm] 0\le r\le [/mm] 1/2 ist, kommt dann nicht etwas in Abhängigkeit von r heraus?
Hab mir nun Polarkoordinaten angeschaut und erhalte:
[mm] P(\parallel Z\parallel [/mm] < r) = [mm] P(\sqrt{X^2+Y^2}
>
> > Ich habe versucht deinen Hinweis zu benutzen und falls ich
> > ihn richtig benutzt habe, verstehe ich die zweite
> > Gleichheit nicht.
> > [mm]\ P(\sqrt{X^2+Y^2} \le r)\ =\ P(\sqrt{X^2+Y^2}^{-1}]-\infty,r])[/mm]
>
>
Es ist definiert:
P(X < a) := [mm] P(X^{-1}(]-\infty,a]) [/mm] also der Maßwert(P) des Urbilds von [mm] ]-\infty,a]
[/mm]
> > weiter ist f die
> > P-Dichte von X,Y, aber was heißt das konkret?
>
> das verstehe ich jetzt nicht ganz ...
Verzeihung ich meinte einfach nur die Def von "f P-Dichte von X,Y".
Diese lautet: [mm] P^X(]-\infty,a]) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^a f(x,y)\,dx\,dy [/mm] mit [mm] P^X [/mm] Bildmaß oder nicht?
Ich verstehe diese Gleicheit leider nicht: [mm] P(\sqrt{X^2+Y^2}
Könntest du mir hier den Zusammenhand zwischen der Dichte f und den Zufallsvariablen noch einmal erklären.
gruß
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> > > (4) [mm]\ P(\parallel Z\parallel < r) = P(\sqrt{X^2+Y^2}
> > [mm]\ = 4 * \integral_0^r\integral_{0}^{\red{1-y}}c*(x^2+y^2)\,dx\,dy = 6 * \integral_0^r\integral_{0}^{\red{1-y}}(x^2+y^2)\,dx\,dy = 2r - 3r^2 + 4r^3 - 2r^4[/mm]
> > Die rot markierte Obergrenze ist falsch.
> > Und das Schlussergebnis ist ein konkreter Zahlenwert,
> da
> > ja
> > für r ein konkreter Wert gegeben war.
> > Für die Integration empfehlen sich Polarkoordinaten.
>
> Es galt, dass [mm]0\le r\le[/mm] 1/2 ist, kommt dann nicht etwas in
> Abhängigkeit von r heraus?
Aha - die Aufgabe lautete:
(4) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $ [mm] P(\parallel Z\parallel \le [/mm] $ r) mit Z=(X,Y) und $ [mm] 0\le r\le [/mm] $ 1/2.
Dann hast du natürlich Recht. Die entstehende Formel wäre
dann sogar für $ [mm] 0\le r\le 1/\sqrt{2}$ [/mm] gültig (Kreis noch
innerhalb von B).
> Hab mir nun Polarkoordinaten angeschaut und erhalte:
> [mm]P(\parallel Z\parallel[/mm] < r) = [mm]P(\sqrt{X^2+Y^2}
> [mm] = 6 * \integral^r_0\integral_0^{\frac{\pi}{2}} s^3 \,ds\,dt\ =\ \frac{6}{8}\pi r^4[/mm] (kürzen !)
>
> > > Ich habe versucht deinen Hinweis zu benutzen und falls ich
> > > ihn richtig benutzt habe, verstehe ich die zweite
> > > Gleichheit nicht.
> > > [mm]\ P(\sqrt{X^2+Y^2} \le r)\ =\ P(\sqrt{X^2+Y^2}^{-1}]-\infty,r])[/mm]
> >
> >
>
> Es ist definiert:
> P(X < a) := [mm]P(X^{-1}(]-\infty,a])[/mm] also der Maßwert(P) des
> Urbilds von [mm]]-\infty,a][/mm]
>
> > > weiter ist f die
> > > P-Dichte von X,Y, aber was heißt das konkret?
> >
> > das verstehe ich jetzt nicht ganz ...
>
> Verzeihung ich meinte einfach nur die Def von "f P-Dichte
> von X,Y".
> Diese lautet: [mm]P^X(]-\infty,a])[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^a f(x,y)\,dx\,dy[/mm]
> mit [mm]P^X[/mm] Bildmaß oder nicht?
>
> Ich verstehe diese Gleicheit leider nicht:
> [mm]P(\sqrt{X^2+Y^2}
> Könntest du mir hier den Zusammenhand zwischen der Dichte
> f und den Zufallsvariablen noch einmal erklären.
Naja, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt Z in einem Bereich B
liegt, ist eben gerade gleich dem Integral der Wahrscheinlichkeits-
dichte über diesen Bereich B, im hier vorliegenden Beispiel jetzt
eben über eine Kreisscheibe.
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Fr 06.01.2012 | | Autor: | diddy449 |
Hallo, erstmal danke für die Antworten und Geduld.
>
> Naja, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt Z in einem
> Bereich B
> liegt, ist eben gerade gleich dem Integral der
> Wahrscheinlichkeits-
> dichte über diesen Bereich B, im hier vorliegenden
> Beispiel jetzt
> eben über eine Kreisscheibe.
ok, ich glaube das verstanden zu haben.
Wenn wir nun beispielsweise zwei neue Zufallsvariablen X,Y mit gemeinsamer P-Dichte f haben (also: [mm] $P(X\le [/mm] a, [mm] Y\le [/mm] b) = [mm] \integral_{-\infty}^{a}\integral_{-\infty}^{b}f(x,y)\,dx\,dy$ [/mm] mit [mm] $(a,b)\in\IR^2$). [/mm] Weiter wollen wir nun die P-Dichte bzgl $Z:=X+Y$ wissen, dann wäre das gerade $P(Z [mm] \le [/mm] a) = P(X+Y [mm] \le [/mm] a) = [mm] \integral_{(x,y)\in\IR^2:x+y\le a}f(x,y)\,dx\,dy$
[/mm]
Stimmt das?
Gruß
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> Wenn wir nun beispielsweise zwei neue Zufallsvariablen X,Y
> mit gemeinsamer P-Dichte f haben (also: [mm]P(X\le a, Y\le b) = \integral_{-\infty}^{a}\integral_{-\infty}^{b}f(x,y)\,dx\,dy[/mm]
> mit [mm](a,b)\in\IR^2[/mm]). Weiter wollen wir nun die P-Dichte bzgl
> [mm]Z:=X+Y[/mm] wissen, dann wäre das gerade [mm]P(Z \le a) = P(X+Y \le a) = \integral_{(x,y)\in\IR^2:x+y\le a}f(x,y)\,dx\,dy[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Do 05.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > > Auch die Differentiale dx und dy sind Faktoren und
> > > gehören
> > > als solche zum gesamten Integranden !
>
> > Das ist mir noch nicht klar. Muss man also bei Summanden im
> > Integral eine Klammer setzen, da sich die Differentiale wie
> > Faktoren verhalten (oder welche sind)?
>
> Ja. Das wird aber leider von vielen Leuten übersehen
> (auch
> von Lehrkräften, die Mathearbeiten korrigieren) oder als
> nebensächlich betrachtet, weil sie die Differentiale eh
> nur
> als lästige Floskeln betrachten ...
ich kenne es aus der Physik (oder physikalischen Bereichen), dass man etwa $dx dy$ als "infinitesimales Flächenstück" betrachtet und daher auch in der Tat so behandelt, als wenn es sich um ein Produkt in der Integrationsschreibweise handelt.
Rein aus der Mathematik ist für mich
[mm] $$\int [/mm] f(x)dx$$
sozusagen eine Operation (ob das nun das beste Wort ist, weiß ich nicht), um eine Stammfunktion für $f(x)$ zu bestimmen. Manchmal schreibt man da sogar auch einfach
[mm] $$\int f\,,$$
[/mm]
in der Wahrscheinlichkeits- oder Maßtheorie stehen da auch Maße oder was auch immer, bzgl. denen man integriert.
In diesem Sinne bedarf es meiner Interpretation nach bei etwa bei
[mm] $$\int (x^3+2^x+5)dx$$
[/mm]
auch nicht wirklich einer Klammerung. Denn bei der Abbildung
$$f [mm] \mapsto \int f=\int [/mm] f(x)dx$$
ist eigentlich, sofern man die Schreibweise mit dem [mm] $dx\,$ [/mm] nutzt, klar, dass bei der Kurzschreibweise
[mm] $$(\star)\;\;\;\int x^3+2^x+5dx$$
[/mm]
man sich auf die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^3+2^x+5$ [/mm] bezieht: Schließlich steht sie zwischen den Symbolen [mm] $\int$ [/mm] und [mm] $dx\,.$
[/mm]
Ich denke jedenfalls, dass es durchaus teilweise gerechtfertigt und dann auch nicht immer falsch ist, wenn man Klammern wegläßt. Sicherlich ist es dann gerechtfertigt, wenn man halt eine entsprechende Vereinbarung getroffen hat und keine Missverständnisse zu befürchten sind. Ob Du nun darauf hinaus willst, dass man diese Vereinbarung aus irgendeinem Grunde besser gar nicht erst treffen sollte: Weiß ich nicht. Aber ganz unbewährt scheint das ganze ja nicht. (So nebenbei: Ganz sauber sind eh nicht immer alle Schreibweisen. Oft verwenden Leute direkt die Notation [mm] $f(x,y)\,$ [/mm] für den Funktionswert einer Funktion etwa [mm] $\IR^2 \to \IR$ [/mm] an der Stelle [mm] $(x,y)\,,$ [/mm] obwohl sie strenggenommen sowas ja schreiben müßten als [mm] $f((x,y))\,,$ [/mm] oder meinetwegen auch [mm] $f((x,y)^T)\,,$ [/mm] jedenfalls wenn man sich daran hält, was vorher definiert wurde. Da werden dann auch oft ohne diesen Hinweis "Klammern weggelassen, die man strenggenommen hinschreiben müßte". Wenigstens manche Autoren sagen halt, dass sie $f(x,y):=f((x,y))$ schreiben, weil man so "Klammern spart, die eigentlich eh keine wesentliche Information mittransportieren".)
Mir ist hier nicht klar, ob Du da was anderes meinst, oder warum Dich das mit den Klammern stört. Generell würde ich sagen: Weglassen, wenn das Geschriebene klar gedeutet werden kann, und ggf. klammern, falls man eventuelle Missverständnisse vermeiden will. Evtl. hast Du da schon viele Erfahrungen gesammelt, welche Missverständnisse entstehen können, die anderen vll. nicht wirklich bewußt sind... Vll. auch in Bereichen, in denen ich mich nicht wirklich auskenne (etwa Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten oder oder oder ...).
Was formal ja auch nicht so wirklich schön ist, sind auch Notationen wie
[mm] $$(x^3)'=3x^2$$
[/mm]
etc...
Naja, das nur nebenbei. Mich interessiert hier aber vor allem, warum Du sagst, dass die obige Schreibweise in [mm] $(\star)$ [/mm] eigentlich falsch ist. Denn das sehe ich anders, sofern man entsprechende Konventionen hat. Hat man diese nicht, würde ich Dir durchaus recht geben ^^
Gruß,
Marcel
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> Hallo Al,
>
> > > > Auch die Differentiale dx und dy sind Faktoren und
> > > > gehören
> > > > als solche zum gesamten Integranden !
> >
> > > Das ist mir noch nicht klar. Muss man also bei Summanden im
> > > Integral eine Klammer setzen, da sich die Differentiale wie
> > > Faktoren verhalten (oder welche sind)?
> >
> > Ja. Das wird aber leider von vielen Leuten übersehen
> > (auch
> > von Lehrkräften, die Mathearbeiten korrigieren) oder
> als
> > nebensächlich betrachtet, weil sie die Differentiale eh
> > nur
> > als lästige Floskeln betrachten ...
>
> ich kenne es aus der Physik (oder physikalischen
> Bereichen), dass man etwa [mm]dx dy[/mm] als "infinitesimales
> Flächenstück" betrachtet und daher auch in der Tat so
> behandelt, als wenn es sich um ein Produkt in der
> Integrationsschreibweise handelt.
>
> Rein aus der Mathematik ist für mich
> [mm]\int f(x)dx[/mm]
> sozusagen eine Operation (ob das nun das
> beste Wort ist, weiß ich nicht), um eine Stammfunktion
> für [mm]f(x)[/mm] zu bestimmen. Manchmal schreibt man da sogar auch
> einfach
> [mm]\int f\,,[/mm]
> in der Wahrscheinlichkeits- oder Maßtheorie
> stehen da auch Maße oder was auch immer, bzgl. denen man
> integriert.
>
> In diesem Sinne bedarf es meiner Interpretation nach bei
> etwa bei
> [mm]\int (x^3+2^x+5)dx[/mm]
> auch nicht wirklich einer Klammerung.
> Denn bei der Abbildung
> [mm]f \mapsto \int f=\int f(x)dx[/mm]
> ist eigentlich, sofern man
> die Schreibweise mit dem [mm]dx\,[/mm] nutzt, klar, dass bei der
> Kurzschreibweise
> [mm](\star)\;\;\;\int x^3+2^x+5dx[/mm]
> man sich auf die Funktion
> [mm]f\,[/mm] mit [mm]f(x)=x^3+2^x+5[/mm] bezieht: Schließlich steht sie
> zwischen den Symbolen [mm]\int[/mm] und [mm]dx\,.[/mm]
>
> Ich denke jedenfalls, dass es durchaus teilweise
> gerechtfertigt und dann auch nicht immer falsch ist, wenn
> man Klammern wegläßt. Sicherlich ist es dann
> gerechtfertigt, wenn man halt eine entsprechende
> Vereinbarung getroffen hat und keine Missverständnisse zu
> befürchten sind. Ob Du nun darauf hinaus willst, dass man
> diese Vereinbarung aus irgendeinem Grunde besser gar nicht
> erst treffen sollte: Weiß ich nicht. Aber ganz unbewährt
> scheint das ganze ja nicht. (So nebenbei: Ganz sauber sind
> eh nicht immer alle Schreibweisen. Oft verwenden Leute
> direkt die Notation [mm]f(x,y)\,[/mm] für den Funktionswert einer
> Funktion etwa [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] an der Stelle [mm](x,y)\,,[/mm] obwohl
> sie strenggenommen sowas ja schreiben müßten als
> [mm]f((x,y))\,,[/mm] oder meinetwegen auch [mm]f((x,y)^T)\,,[/mm] jedenfalls
> wenn man sich daran hält, was vorher definiert wurde. Da
> werden dann auch oft ohne diesen Hinweis "Klammern
> weggelassen, die man strenggenommen hinschreiben müßte".
> Wenigstens manche Autoren sagen halt, dass sie
> [mm]f(x,y):=f((x,y))[/mm] schreiben, weil man so "Klammern spart,
> die eigentlich eh keine wesentliche Information
> mittransportieren".)
>
> Mir ist hier nicht klar, ob Du da was anderes meinst, oder
> warum Dich das mit den Klammern stört. Generell würde ich
> sagen: Weglassen, wenn das Geschriebene klar gedeutet
> werden kann, und ggf. klammern, falls man eventuelle
> Missverständnisse vermeiden will. Evtl. hast Du da schon
> viele Erfahrungen gesammelt, welche Missverständnisse
> entstehen können, die anderen vll. nicht wirklich bewußt
> sind... Vll. auch in Bereichen, in denen ich mich nicht
> wirklich auskenne (etwa Differentialgeometrie auf
> Mannigfaltigkeiten oder oder oder ...).
>
> Was formal ja auch nicht so wirklich schön ist, sind auch
> Notationen wie
> [mm](x^3)'=3x^2[/mm]
> etc...
>
> Naja, das nur nebenbei. Mich interessiert hier aber vor
> allem, warum Du sagst, dass die obige Schreibweise in
> [mm](\star)[/mm] eigentlich falsch ist. Denn das sehe ich anders,
> sofern man entsprechende Konventionen hat. Hat man diese
> nicht, würde ich Dir durchaus recht geben ^^
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
meine Antwort ist einfach: es stört mich, weil es falsch
ist, auf solche Klammern (um Summen und Differenzen) zu
verzichten.
Funktionen mit mehr als einem Argument z.B. als f(x,y,z)
zu schreiben anstatt f((x,y,z)) , scheint mir weniger problematisch.
Allerdings wäre auch eine Unterscheidung von gewöhnlichen
Klammern, die der Zusammenfassung von Termen dienen und
von "Funktionsklammern" nach meiner Ansicht sinnvoll. In
einer symbolischen Schreibweise wie etwa Mathematica die
für einen Parser eindeutig lesbar sein muss, ist man zu
dieser Unterscheidung sogar gezwungen, woran man sich
beim Erlernen einer solchen Sprache zwar erst einmal gewöh-
nen muss, was aber dann auch für menschliche Leser die
Verständlichkeit erhöht und Klarheit schafft.
In manchen Beiträgen, die hier im Matheraum erscheinen,
ist es wegen fehlender Klammern oft wirklich nicht mehr
möglich, zu erkennen, was denn wirklich gemeint war.
Ein Beispiel zeigt, was ich meine:
Bei einer Funktionsangabe wie etwa f(x)=x+5x-1/2x+1
im Rahmen einer Kurvendiskussion muss man zuallererst
rätseln, um welchen Funktionsterm es denn gehen soll.
Erst nach Rückfragen stellt sich dann vielleicht heraus,
dass [mm] f(x)=(x^2+5x-1)/(2x-1) [/mm] gemeint war, was man natürlich
noch besser so schreiben könnte: $\ f(x)\ =\ [mm] \frac{x^2+5\,x-1}{2\,x-1}$
[/mm]
(ich spreche da auch noch das lästige Thema der Tastatur-
exponenten 2 und 3 an, die hier unter TeX verloren gehen ...)
Richtige Klammersetzung und eine darauf gerichtete Auf-
merksamkeit ist also durchaus wichtig - und durch (allzu)
lockere Klammerweglassungsregeln schafft man keineswegs
immer Übersichtlichkeit.
Die Notation [mm] \integral{f} [/mm] ganz ohne Differential geht für mich im
richtigen Kontext in Ordnung - aber dann nicht daneben auch noch [mm] \integral{f(x)} [/mm] .
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Hallo Marcel,
>
> meine Antwort ist einfach: es stört mich, weil es falsch
> ist, auf solche Klammern (um Summen und Differenzen) zu
> verzichten.
ich sagte ja auch nicht, dass [mm] $x+y*2\,$ [/mm] per Konvention als [mm] $(x+y)*2\,$ [/mm] gelesen werden kann/sollte. Mir geht's nur um die Klammerung bei Integralen? Meiner Ansicht nach ist und bleibt die Schreibweise
[mm] $$\int [/mm] 2x+5-x^3dx$$
klar und eindeutig: [mm] $\int [/mm] f(x)dx$ mit [mm] $f(x)=2x+5-x^3\,.$ [/mm] (Ob man das nun im Stammfunktionensinne einer speziellen Stammfunktion oder als Repräsentant der Klasse der Stammfunktionen... etc. interpretiert, ist nochmal was anderes. Auch, dass ich die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] hier nicht wirklich vollständig angegeben habe, auch diesen Mangel vernachlässigen wir mal...) Das [mm] $dx\,$ [/mm] lese ich darin auch nicht multiplikativ, sondern eher als: "Wonach wird integriert?" (Im maßtheoretischen Sinne kann man das auch noch weiter ausführen - bleiben wir aber doch erstmal bei "elementarster Analysis".)
Dieses multiplikative Lesen stört übrigens mich wiederum: Denn nur durch Bruchrechnung erhält man damit sowas wie [mm] $\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\,.$ [/mm] Natürlich stimmt das, aber das ist kein Beweis der Kettenregel! (Und wo erkennt man an dem Bruchrechnen, welches hinreichende Voraussetzungen für diese Umformung sind etc.?)
> Funktionen mit mehr als einem Argument z.B. als f(x,y,z)
> zu schreiben anstatt f((x,y,z)) , scheint mir weniger
> problematisch.
Ist es auch. Strenggenommen sollte/müßte man es dennoch definieren.
> Allerdings wäre auch eine Unterscheidung von
> gewöhnlichen
> Klammern, die der Zusammenfassung von Termen dienen und
> von "Funktionsklammern" nach meiner Ansicht sinnvoll.
Durchaus. Übrigens war ich anfangs an der Uni verwirrt worden: Ich kannte aus der Schule bei Intervallen nur die eckigen Klammern. Und als ich dann bei einer Aufgabe sowas las wie "Sei $x [mm] \in (1,2)\,$..." [/mm] kapierte ich nicht, wie [mm] $x\,$ [/mm] ein Element dieses Punktes sein sollte? Denn [mm] $(1,2)\,$ [/mm] war für mich $(1,2) [mm] \in \IR^2\,.$...
[/mm]
> In
> einer symbolischen Schreibweise wie etwa Mathematica die
> für einen Parser eindeutig lesbar sein muss, ist man zu
> dieser Unterscheidung sogar gezwungen, woran man sich
> beim Erlernen einer solchen Sprache zwar erst einmal
> gewöh-
> nen muss, was aber dann auch für menschliche Leser die
> Verständlichkeit erhöht und Klarheit schafft.
>
> In manchen Beiträgen, die hier im Matheraum erscheinen,
> ist es wegen fehlender Klammern oft wirklich nicht mehr
> möglich, zu erkennen, was denn wirklich gemeint war.
>
> Ein Beispiel zeigt, was ich meine:
>
> Bei einer Funktionsangabe wie etwa f(x)=x+5x-1/2x+1
> im Rahmen einer Kurvendiskussion muss man zuallererst
> rätseln, um welchen Funktionsterm es denn gehen soll.
Streng genommen würde ich sagen: Punkt vor Strich und von links nach rechts:
[mm] $$f(x)=x+5x-\frac{1}{2}x+1\,.$$
[/mm]
Wenn ich's so lese wie's da steht und auch so in den Taschenrechner eintippen würde, nach irgendeiner Wahl von [mm] $x\,,$ [/mm] sollte das rauskommen. Dass der Aufgabensteller dann da offensichtlich durch Weglassen der Klammern was falsch gemacht hat, ist dann sein Problem. Dennoch ist das in meinen Augen was anderes wie das Weglassen der Klammern bei
[mm] $$\int (2x+5-x^3)dx\,.$$
[/mm]
Denn mir erscheint's vollkommen klar, dass in
[mm] $$\int [/mm] 2x+5-x^3dx$$
"die Funktion" zwischen [mm] $\int$ [/mm] und $dx$ steht. Was ist da also das Problem beim Weglassen der Klammern?
Ich hab' natürlich nichts dagegen, auch, wenn es unnötig ist, in Zukunft meinetwegen Dir zuliebe stets um die Integranden noch Klammern zu setzen, aber in meinen Augen ist's dann doch so, als wenn ich anstelle von [mm] $f(x,y)\,$ [/mm] immer die ganz saubere Version [mm] $f((x,y))\,$ [/mm] schreiben würde. Oder, ums mal ein wenig zu übertreiben (so ist's natürlich nicht):
[mm] $$...:=\int(((f(x))))dx:=\int((f(x)))dx:=\int(f(x))dx:=\int [/mm] f(x)dx$$
definieren würde im Sinne von: Bei der Integration bedeuten (beliebig viele) zusätzliche Klammerungen um den Integranden nichts neues.
Übrigens: Selbst die Schreibweise [mm] $\int x^3=\frac{1}{4}x^4+C$ [/mm] ist ja nicht ganz sauber. Rechts steht nur der Funktionstherm einer Funktion. Naja, egal, bleiben wir bei dem, was sich bisher bewährt hat.
> Erst nach Rückfragen stellt sich dann vielleicht heraus,
> dass [mm]f(x)=(x^2+5x-1)/(2x-1)[/mm] gemeint war, was man
> natürlich
> noch besser so schreiben könnte: [mm]\ f(x)\ =\ \frac{x^2+5\,x-1}{2\,x-1}[/mm]
Das ist das optimale: Wenn die Fragenden den Formeleditor benutzen und dann auch noch damit ihre Formeln richtig aufschreiben. Mich ärgert sowas aber auch in Literatur, die durchaus auf Universitätsniveau sein kann, dass manche Leute da schreiben $1/2*5=1/10$ (natürlich stehen da viel komplexere Ausdrücke, nicht so einfache Zahlen, aber das nur beispielhaft) etc.. Das ist in meinen Augen auch total falsch. Denn das muß man, wenn man es so schreibt, mit Klammern schreiben: [mm] $1/(2*5)=1/10\,.$ [/mm] Meines Erachtens ist $1/2*5=(1/2)*5$ (ausgewertet wird von links nach rechts) und damit [mm] $=5/2=2.5\,.$
[/mm]
> (ich spreche da auch noch das lästige Thema der Tastatur-
> exponenten 2 und 3 an, die hier unter TeX verloren gehen
> ...)
> Richtige Klammersetzung und eine darauf gerichtete Auf-
> merksamkeit ist also durchaus wichtig - und durch (allzu)
> lockere Klammerweglassungsregeln schafft man keineswegs
> immer Übersichtlichkeit.
Dem stimme ich vollkommen zu: Oft helfen Klammern, Verwirrungen, wie etwa der Art [mm] $1/2*5=1/10\,,$ [/mm] zu vermeiden.
> Die Notation [mm]\integral{f}[/mm] ganz ohne Differential geht für
> mich im
> richtigen Kontext in Ordnung - aber dann nicht daneben
> auch noch [mm]\integral{f(x)}[/mm] .
Also [mm] $\integral [/mm] f(x)$ ohne [mm] $dx\,$ [/mm] finde ich auch schlimm. Aber sogar im Heuser stehen gewisse Konventionen:
[mm] $$\int [/mm] f(x)dx$$
wird auch als
[mm] $$\int [/mm] f dx$$
geschrieben...
[mm] $\text{(}$(Und [/mm] verstehe ich Dich falsch, oder meinst Du: Du würdest nicht die Notation [mm] $\int [/mm] f(x)dx$ und gleichzeitig [mm] $\int [/mm] f$ benutzen? Warum nicht? Der einzige Unterschied ist doch meistens, dass man in [mm] $\int [/mm] f(x)dx$ meist die Funktionsgleichung von [mm] $f\,$ [/mm] explizit reinschreibt. Ich habe manche Sachen schon so geschrieben:
Für $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=3x^2$ [/mm] ist durch
[mm] $$F:=\int f=\int f(x)dx\,,$$
[/mm]
wobei $F: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $F(x)=x^3$ [/mm] eine Stammfunktion gegeben.
Das ist meines Erachtens alles sauber, jedenfalls sauberer als:
Es gilt
[mm] $$\int (3x^2)dx=x^3\,.$$
[/mm]
Er schreibt aber in der Tat auch etwa [mm] $\int [/mm] (f+g)dx$ und nicht nur [mm] $\int [/mm] f+g [mm] dx\,.$ [/mm] Ich schau' mal, was Heuser da so macht. Meistens hat sich das ja in der Praxis bewährt 
Wenn er immer etwa [mm] $\int (x^3+2x-5)dx$ [/mm] anstatt "nur" [mm] $\int x^3+2x-5 [/mm] dx$ schreibt, dann denke ich doch nochmal länger drüber nach und werde vielleicht bald davon überzeugt sein, dass Du doch mit den Klammern da besser liegst ^^
Gruß,
Marcel
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> Meiner Ansicht nach ist und
> bleibt die Schreibweise
> [mm]\int 2x+5-x^3dx[/mm]
> klar und eindeutig: [mm]\int f(x)dx[/mm] mit
> [mm]f(x)=2x+5-x^3\,.[/mm]
> Das [mm]dx\,[/mm] lese ich darin
> auch nicht multiplikativ, sondern eher als: "Wonach wird
> integriert?" (Im maßtheoretischen Sinne kann man das auch
> noch weiter ausführen - bleiben wir aber doch erstmal bei
> "elementarster Analysis".)
Ich halte mich einfach an die ursprüngliche Intention
der Integralschreibweise bei Leibniz: im Ausdruck
$\ [mm] \integral f(x)\,dx$ [/mm] oder $\ [mm] \integral [/mm] f(x)*dx$
steht das Integrationssymbol für ein "S" für Summe und das dx
für einen (infinitesimalen) Zuwachs von x . Die erst deutlich
nach Leibniz ausgearbeitete Schreibweise etwa bei Riemann:
$\ [mm] \limes_{N\to\infty}\left(\summe_{k=1}^{N}f(x_k)* \Delta\, x\right)$
[/mm]
kann man praktisch direkt damit vergleichen, wobei das dx
eben einem "unendlich kleinen" [mm] \Delta\,{x} [/mm] entspricht.
An die Stelle des (lateinischen) "S" ist ebenso ein (griechisches) [mm] "\Sigma"
[/mm]
getreten, das jetzt für eine Summe mit endlich vielen
Summanden steht, wobei deren Anzahl N erst in einem
weiteren Schritt gegen [mm] \infty [/mm] laufen soll. Dabei werden
einfach die beiden Schritte (geometrische Einteilung in
Riemannsumme und Grenzwertbildung) klar separiert.
> Dieses multiplikative Lesen stört übrigens mich wiederum:
> Denn nur durch Bruchrechnung erhält man damit sowas wie
> [mm]\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\,.[/mm] Natürlich
> stimmt das, aber das ist kein Beweis der Kettenregel!
Noch kein Beweis, aber dessen Kern steckt doch im
Wesentlichen schon drin !
> (Und
> wo erkennt man an dem Bruchrechnen, welches hinreichende
> Voraussetzungen für diese Umformung sind etc.?)
>
> > Funktionen mit mehr als einem Argument z.B. als f(x,y,z)
> > zu schreiben anstatt f((x,y,z)) , scheint mir weniger
> > problematisch.
>
> Ist es auch. Strenggenommen sollte/müßte man es dennoch
> definieren.
Natürlich - aber dann ist es ein für alle Mal geklärt.
In Mathematica ist dieser Punkt übrigens so geregelt,
dass z.B. zwischen einer Funktion mit einer und einer
anderen mit 2 Variablen streng unterschieden wird,
sogar auch noch dann, wenn für beide dasselbe
Symbol verwendet wird:
| 1: | f[x_] := 2x
| | 2: | f[x_, y_] := 4x - y^2
| | 3: |
| | 4: | f[5]
| | 5: | 10
| | 6: |
| | 7: | f[5, 3]
| | 8: | 11 |
In anderen CAS bzw. Programmiersprachen darf man einen
Funktionenbezeichner nur einmal (mit einer bestimmten
Anzahl Argumente) definieren und erhält eine Fehlermeldung,
wenn man die Funktion mit einer anderen Anzahl von
Eingabewerten aufruft.
> Ich hab' natürlich nichts dagegen, auch, wenn es unnötig
> ist, in Zukunft meinetwegen Dir zuliebe stets um die
> Integranden noch Klammern zu setzen ...
(naja, ich bin ja doch froh, dass ich da nicht ständig als
Korrekturleser dabei sein muss )
>
> Also [mm]\integral f(x)[/mm] ohne [mm]dx\,[/mm] finde ich auch schlimm. Aber
> sogar im Heuser stehen gewisse Konventionen:
> ....
> ....
> Er schreibt aber in der Tat auch etwa [mm]\int (f+g)dx[/mm] und
> nicht nur [mm]\int f+g dx\,.[/mm] Ich schau' mal, was Heuser da so
> macht. Meistens hat sich das ja in der Praxis bewährt
>
> Wenn er immer etwa [mm]\int (x^3+2x-5)dx[/mm] anstatt "nur" [mm]\int x^3+2x-5 dx[/mm]
> schreibt, dann denke ich doch nochmal länger drüber nach
> und werde vielleicht bald davon überzeugt sein, dass Du
> doch mit den Klammern da besser liegst ^^
Heuser scheint doch eine hohe Reputation zu haben -
und ich bin ziemlich zuversichtlich, dass er das mit
den Klammern in Integranden mit Summen ähnlich
sieht wie ich ...
Schönen neuen Tag !
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
eigentlich ist es ja keine Diskussion, die wir noch etliche Tage weiterführen müssten. (Klar, ich habe sie entfacht, aber einfach nur, weil ich mich auch durch Deine Kritik angesprochen gefühlt habe. Der Sinn der Diskussion ist für mich in erster Linie, herauszufinden, ob ich meine "Konvention" in der Integralschreibweise doch ändern sollte und in Zukunft dann immer auf Klammersetzung achten werde.) Ich zitiere mal nur das für mich wesentliche:
> > ...
> > Das [mm]dx\,[/mm] lese ich darin
> > auch nicht multiplikativ, sondern eher als: "Wonach wird
> > integriert?" (Im maßtheoretischen Sinne kann man das auch
> > noch weiter ausführen - bleiben wir aber doch erstmal bei
> > "elementarster Analysis".)
>
> Ich halte mich einfach an die ursprüngliche Intention
> der Integralschreibweise bei Leibniz: im Ausdruck
>
> [mm]\ \integral f(x)\,dx[/mm] oder [mm]\ \integral f(x)*dx[/mm]
>
> steht das Integrationssymbol für ein "S" für Summe und
> das dx
> für einen (infinitesimalen) Zuwachs von x . Die erst
> deutlich
> nach Leibniz ausgearbeitete Schreibweise etwa bei
> Riemann:
>
> [mm]\ \limes_{N\to\infty}\left(\summe_{k=1}^{N}f(x_k)* \Delta\, x\right)[/mm]
>
> kann man praktisch direkt damit vergleichen, wobei das dx
> eben einem "unendlich kleinen" [mm]\Delta\,{x}[/mm] entspricht.
Das ist meiner Ansicht nach wirklich ein sehr gutes Argument, dass die Klammersetzung sogar notwendig macht - mit dieser Intention. Okay, ich finde, da Du ja nicht der einzige bist, der in der Integralschreibweise [mm] $\int f(x)dx\,$ [/mm] das ganze nicht als Operation, sondern, ich sag' mal: eben "die ursprüngliche Motivation" sieht und da daher eine Klammersetzung, die bei mir (im Sinne meiner Auffassung dieses Symbols) eigentlich nicht immer notwendig ist, sicher nicht schadet, werde ich das wohl in Zukunft doch so handhaben.
> > Dieses multiplikative Lesen stört übrigens mich wiederum:
> > Denn nur durch Bruchrechnung erhält man damit sowas wie
> > [mm]\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\,.[/mm] Natürlich
> > stimmt das, aber das ist kein Beweis der Kettenregel!
>
> Noch kein Beweis, aber dessen Kern steckt doch im
> Wesentlichen schon drin !
Naja: ich würde sagen: Die Beweisidee ist evtl. erkennbar. - ebenso werden aber auch notwendige Voraussetzungen, wann man das so hinschreiben kann, ein wenig versteckt. Als "Eselsbrücke", um die Kettenregel niemals zu vergessen, benutze ich "dieses formale rechnen" so, wie sicher viele andere, auch. Und um mal schnell formal etwas durchzurechnen in der Hoffnung, damit zu neuen Erkenntnissen zu kommen (die in anderer Notation vielleicht sogar schwerer erkennbar sind), die man dann aber auch später mal sauber beweist, würde ich es auch benutzen. Mir geht's nur drum: Man sollte dann genau wissen, was man da tut ^^
> > (Und
> > wo erkennt man an dem Bruchrechnen, welches hinreichende
> > Voraussetzungen für diese Umformung sind etc.?)
> >
> > > Funktionen mit mehr als einem Argument z.B. als f(x,y,z)
> > > zu schreiben anstatt f((x,y,z)) , scheint mir
> weniger
> > > problematisch.
> >
> > Ist es auch. Strenggenommen sollte/müßte man es dennoch
> > definieren.
>
> Natürlich - aber dann ist es ein für alle Mal geklärt.
> In Mathematica ist dieser Punkt übrigens so geregelt,
> dass z.B. zwischen einer Funktion mit einer und einer
> anderen mit 2 Variablen streng unterschieden wird,
> sogar auch noch dann, wenn für beide dasselbe
> Symbol verwendet wird:
Wobei ich nun in mathematischen Texten niemals (jedenfalls erinnere ich mich nicht, je dafür einen Grund gehabt zu haben) das selbe Symbol für zwei Funktionen verwenden würde. Ich erinnere mich aber, dass man, wenn man in der Notation einer Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN} \in M^{\IN}$ [/mm] diese mit der Abbildung $a: [mm] \IN \to [/mm] M$ mit [mm] $a_n:=a(n)$ [/mm] gleichsetzt, dass man da eigentlich auch nicht [mm] $a\,$ [/mm] als Grenzwert dieser Folge (im Falle der Konvergenz) schreiben sollte. Aber manche Autoren schreiben sicher auch aus diesem Grunde, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN} \in M^{\IN}$ [/mm] die Schreibweise für eine Funktion [mm] $\phi: \IN \to [/mm] M$ mit [mm] $a_n:=\phi(n)$ [/mm] ist und erläutern dann nochmal, "wie man herausfindet, was [mm] $\phi(n)$ [/mm] dann ist". Naja, ich schweife doch wieder ein wenig ab ^^Zurück zum eigentlichen Diskussionspunkt:
> > Wenn er immer etwa [mm]\int (x^3+2x-5)dx[/mm] anstatt "nur" [mm]\int x^3+2x-5 dx[/mm]
> > schreibt, dann denke ich doch nochmal länger drüber nach
> > und werde vielleicht bald davon überzeugt sein, dass Du
> > doch mit den Klammern da besser liegst ^^
>
> Heuser scheint doch eine hohe Reputation zu haben -
> und ich bin ziemlich zuversichtlich, dass er das mit
> den Klammern in Integranden mit Summen ähnlich
> sieht wie ich ...
Zumindest im Analysis I Buch habe ich bisher, beim schnellen durchblättern der entsprechenden Kapitel, leider schon gar keine Stelle gefunden, wo er
[mm] $$\int 3x^5 [/mm] +2x dx$$
oder
[mm] $$\int (3x^5+2x)dx$$
[/mm]
schreibt. Aber ich habe, wie gesagt, gesehen, dass er bei Rechenregeln etwa
[mm] $$\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int [/mm] g(x)dx$$
schreibt und bei
[mm] $$\int \alpha [/mm] f(x)dx$$
keine Klammern setzt. Ich denke auch, er macht das wegen der von Dir angesprochenen ursprünglichen Intention. Und das ist, finde ich, ein gutes Argument, doch stets drauf zu achten, Klammern zu setzen. Denn mir reicht das aus, dass einige Leute "mit dieser Intention" arbeiten, und in meiner "Operationsauffassung" entstehen dadurch auch keine neuen Probleme - auch, wenn's bei meiner Auffassung so nicht wirklich notwendig ist/wäre.
Gruß,
Marcel
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> Hallo Al,
>
> eigentlich ist es ja keine Diskussion, die wir noch etliche
> Tage weiterführen müssten.
Nein. Oder wenn schon, dann schon wenigstens bis zum
nächsten Weltuntergang im kommenden Dezember !
(zur Kettenregel in Leibniz-Schreibweise)
> > Noch kein Beweis, aber dessen Kern steckt doch im
> > Wesentlichen schon drin !
Ich habe mich nie so richtig eingehend mit Nonstandard-
Analysis beschäftigt, kann mir aber vorstellen, dass die
Formel [mm] $\frac{df}{dx}\ [/mm] =\ [mm] \frac{df}{du}* \frac{du}{dx}$
[/mm]
dort wieder absolut hoffähig wird.
Gerade habe ich noch dies gefunden:
Es ist allerdings möglich, im Rahmen der nonstandard Analysis auch die infinitesimalen Größen df
und dx mathematisch exakt einzuführen und ihren Quotienten zu bilden, womit die Leibnizsche
Schreibweise, ungeachtet ihrer genialen Praktikabilität, eine endgültige Rechtfertigung erfährt.
(Analysis II, Oswald Riemenschneider 2004)
> > > > Funktionen mit mehr als einem Argument z.B. als f(x,y,z)
> > > > zu schreiben anstatt f((x,y,z)) , scheint mir
> > > > weniger problematisch.
> > > Ist es auch. Strenggenommen sollte/müßte man es dennoch
> > > definieren.
> > Natürlich - aber dann ist es ein für alle Mal geklärt.
> > In Mathematica ist dieser Punkt übrigens so geregelt,
> > dass z.B. zwischen einer Funktion mit einer und einer
> > anderen mit 2 Variablen streng unterschieden wird,
> > sogar auch noch dann, wenn für beide dasselbe
> > Symbol verwendet wird:
>
> Wobei ich nun in mathematischen Texten niemals (jedenfalls
> erinnere ich mich nicht, je dafür einen Grund gehabt zu
> haben) das selbe Symbol für zwei Funktionen verwenden
> würde.
Das würde ich auch nicht unbedingt. Wenn man an Beispiele
wie etwa
$\ Produkt(a,b):=a*b$
$\ Produkt(a,b,c):=a*b*c$
$\ Produkt(a,b,c,d):=a*b*c*d$
(analog etwa mit Summe, Minimum, Maximum, Mittelwert)
denkt, wäre so etwas aber doch manchmal ziemlich praktisch. (***)
Natürlich kann man dies auch lösen, indem man zuerst
alle Faktoren des Produkts zu einer Liste zusammenfasst
und dann die einstellige Funktion "Produkt" so konstruiert,
dass sie auf eine Liste angewandt wird. Damit hat man aber
nur den Schwarzen Peter betr. von vornherein unbestimmte
Anzahl Funktionsargumente an die Funktion "List" weiterge-
reicht, die eben auch bei jedem Aufruf zuerst nachzählen
muss, wie viele Inputwerte ihr geliefert werden ...
Gruß , Al
(***) Kürzlich musste ich (im Zusammenhang mit der
Sichtbarkeitsprüfung bei meinen "Kastanien"
(https://matheraum.de/file/uploads/forum/00838335/forum-i00838335-n001.png)
mittels Sturmscher Ketten) innerhalb eines Programms auch
Funktionen [mm] mul3(p_1,p_2,p_3) [/mm] und [mm] mul4(p_1,p_2,p_3,p_4)
[/mm]
zur Multiplikation mehrerer Polynome einführen,
nachdem ich zuerst [mm] mul(p_1,p_2) [/mm] für 2 Faktoren
definiert hatte ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Nein. Oder wenn schon, dann schon wenigstens bis zum
> nächsten Weltuntergang im kommenden Dezember !
angenommen, die Welt ginge unter... Naja, ob die (Biene) Mayas (Maja) da wirklich recht hatte(n)...
>
> (zur Kettenregel in Leibniz-Schreibweise)
> > > Noch kein Beweis, aber dessen Kern steckt doch im
> > > Wesentlichen schon drin !
>
> Ich habe mich nie so richtig eingehend mit Nonstandard-
> Analysis beschäftigt, kann mir aber vorstellen, dass die
> Formel [mm]\frac{df}{dx}\ =\ \frac{df}{du}* \frac{du}{dx}[/mm]
>
> dort wieder absolut hoffähig wird.
>
> Gerade habe ich noch dies gefunden:
>
> Es ist allerdings möglich, im Rahmen der nonstandard
> Analysis auch die infinitesimalen Größen df
> und dx mathematisch exakt einzuführen und ihren
> Quotienten zu bilden, womit die Leibnizsche
> Schreibweise, ungeachtet ihrer genialen Praktikabilität,
> eine endgültige Rechtfertigung erfährt.
>
> (Analysis II, Oswald Riemenschneider 2004)
Ein sehr interessanter Hinweis. Ich wollte mich irgendwann mal damit beschäftigen, bin aber noch nie dazu gekommen. Danke für diese hilfreichen Informationen!! 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Fr 06.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Hallo Al,
> Heuser scheint doch eine hohe Reputation zu haben -
.................zweifelsohne.....
> und ich bin ziemlich zuversichtlich, dass er das mit
> den Klammern in Integranden mit Summen ähnlich
> sieht wie ich ...
Das kann ich nur bestätigen. Ich kannte Heuser gut und seine Bücher kenne ich fast auswendig (Heuser war mein Diplom- und Doktorvater).
Er sah es so wie Du (Heuser verstarb am 21. Februar 2011)
Gruß FRED
>
> Schönen neuen Tag !
>
> Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > und ich bin ziemlich zuversichtlich, dass er das mit
> > den Klammern in Integranden mit Summen ähnlich
> > sieht wie ich ...
>
> Das kann ich nur bestätigen. Ich kannte Heuser gut und
> seine Bücher kenne ich fast auswendig (Heuser war mein
> Diplom- und Doktorvater).
>
> Er sah es so wie Du (Heuser verstarb am 21. Februar 2011)
ich habe mich eh entschlossen, mich Als Notation anzuschließen, und damit werde ich mich in Zukunft auch an Heusers Schreibweise halten. Meine Notation bedarf meiner Interpretation - und ich bin ja schon von Al überzeugt worden, warum man Klammern setzen sollte bzw. muß, wenn man andere nicht verwirren will. Ich kenne leider bisher nur fast sein erstes Analysis Buch auswendig ^^ Aus dem zweiten aber sicher vieles, für mich, wichtiges. Und andere Bücher von ihm (etwa Funktionalanalysis) werde ich im Laufe der Zeit auch ein wenig nebenher studieren - irgendwie hatte er eine einzigartige Art, die Dinge zu erklären. Sehr umfassend und präzise - man braucht nur leider wirklich viel Zeit, weil er halt wirklich viel geschrieben hatte (und davon habe ich noch nie etwas gesehen, wo ich gesagt hätte, dass diese Information jetzt an der Stelle nicht wirklich wichtig sei - eher im Gegenteil!!).
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 07.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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