Dichte, Maß, (Normal-)Verteil. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
mir sind beim Durchackern eines Skripts (Einführung Stochastik) ein paar wahrscheinlich relativ einfache Fragen untergekommen, ...danke schonmal für eure Hilfe.
1. Die Summe von normalverteilten Zufallsvariablen (ZV) ist ja normalverteilt. Aber das folgende gilt nur für unabhängige ZV X,Y oder?
X~ [mm] \mathcal{N}(a,b), [/mm] Y~ [mm] \mathcal{N}(c,d) \Rightarrow [/mm] X+Y ~ [mm] \mathcal{N} [/mm] (a+c,b+d)
2. Wenn ich einen messbaren Raum (Omega, [mm] \mathcal{F}), [/mm] eine ZV X und eine dazugehörige Verteilungsfunktion F habe. Definiert F dann eindeutig ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Raum? [mm] \mathcal{F} [/mm] muss dann die Borel-Sigma-Algebra sein?
3. Jetzt noch eine Frage zur Dichte. Die Dichte kann ich ja normalerweise einfach aus der Verteilungsfunktion durch Ableiten bekommen. Aber was mache ich z.b. bei der Pareto-Verteilung F(x)=1-(1+ [mm] \bruch{x}{b})^{-a}
[/mm]
Wenn ich hier f(x)=F'(x) setze, dann müsste ja eigentlich
G(x):= [mm] \integral_{- \infty}^{x}{f(x) dx} [/mm] = F(x) gelten, das stimmt aber hier ja nicht, weil durch Ableiten die 1 verloren gegangen ist. Was ist also die korrekte Dichte der Pareto-Verteilung? (Genauso z.B. Exponentialverteilung)
4. Und noch eine letzte Frage: X soll ZV mit Verteilungsfunktion F sein. Im allgemeinen ist dann ja
P(X=x) [mm] \not= [/mm] 0 Wenn die Verteilungsfunktion absolutstetig ist dann gilt aber P(X=x)=0 für alle x, oder?
Vielen Dank.
Gruß drjonezay
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Fr 07.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> mir sind beim Durchackern eines Skripts (Einführung
> Stochastik) ein paar wahrscheinlich relativ einfache Fragen
> untergekommen, ...danke schonmal für eure Hilfe.
>
> 1. Die Summe von normalverteilten Zufallsvariablen (ZV) ist
> ja normalverteilt. Aber das folgende gilt nur für
> unabhängige ZV X,Y oder?
Genau!
> X~ [mm]\mathcal{N}(a,b),[/mm] Y~ [mm]\mathcal{N}(c,d) \Rightarrow[/mm] X+Y ~
> [mm]\mathcal{N}[/mm] (a+c,b+d)
Ein Gegenbeispiel, warum es ohne Unabhaengigkeit nicht klappen muss:
Wenn z.B. $X [mm] \sim \mathcal{N}(1, [/mm] 0)$ und $Y := -X$ ist, dann sind $X$ und $Y$ sicher nicht unabhaengig, und es gilt $X + Y = 0$, und das ist sicher nicht [mm] $\mathcal{N}(2, [/mm] 0)$-verteilt!
> 2. Wenn ich einen messbaren Raum (Omega, [mm]\mathcal{F}),[/mm] eine
> ZV X und eine dazugehörige Verteilungsfunktion F habe.
> Definiert F dann eindeutig ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf
> dem Raum?
Nein. Wenn z.B. [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{ 1, 2 \}$ [/mm] ist, [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] die Potenzmenge von [mm] $\Omega$, [/mm] und $X : [mm] \Omega \to \IR$ [/mm] zum Beispiel die konstante Zufallsvariable [mm] $X(\omega) [/mm] = 0$ ist, dann ist $F(x) = 0$ fuer $x < 0$ und $F(x) = 1$ fuer $x [mm] \ge [/mm] 1$. Du hast allerdings unendlich viele verschiedene Wahrscheinlichkeitsmasse auf [mm] $(\Omega, \mathcal{F})$ [/mm] (fuer jedes $p [mm] \in [/mm] [0, 1]$ kannst du [mm] $\mu(1) [/mm] = p$, [mm] $\mu(2) [/mm] = 1 - p$ setzen, und hast ein Wahrscheinlichkeitsmass [mm] $\mu$ [/mm] auf [mm] $(\Omega, \mathcal{F})$), [/mm] die alle die gleiche Verteilungsfunktion $F$ liefern.
Oder meinst du, ob das durch $F$ auf [mm] $\IR$ [/mm] induzierte Wahrscheinlichkeitsmass eindeutig ist?
> [mm]\mathcal{F}[/mm] muss dann die Borel-Sigma-Algebra
> sein?
Wie meinst du das? Normalerweise hast du auf [mm] $\Omega$ [/mm] keine Topologie, womit es keinen Sinn macht von der Borelschen [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] zu sprechen!
> 3. Jetzt noch eine Frage zur Dichte. Die Dichte kann ich ja
> normalerweise einfach aus der Verteilungsfunktion durch
> Ableiten bekommen. Aber was mache ich z.b. bei der
> Pareto-Verteilung F(x)=1-(1+ [mm]\bruch{x}{b})^{-a}[/mm]
Vorsicht! Du musst hier beachten, dass dies die Verteilungsfunktion fuer $x > 0$ ist; fuer $x [mm] \le [/mm] 0$ ist die Verteilungsfunktion konstant $0$! Also musst du $f(x)$ fuer $x > 0$ als $F'(x)$ mit der obigen Formel berechnen und $f(x)$ fuer $x [mm] \le [/mm] 0$ gleich $0$ setzen.
Wenn du dann [mm] $\int_{-\infty}^x [/mm] f(t) [mm] \; [/mm] dt$ ausrechnest, ist das gerade [mm] $\int_0^x [/mm] g(t) [mm] \; [/mm] dt$, wobei $g(x) = [mm] \left( 1 + (1 + \frac{x}{b})^{-a} \right)'$ [/mm] ist. Damit sollte es dann klappen.
> Wenn ich hier f(x)=F'(x) setze, dann müsste ja eigentlich
> G(x):= [mm]\integral_{- \infty}^{x}{f(x) dx}[/mm] = F(x) gelten, das
> stimmt aber hier ja nicht, weil durch Ableiten die 1
> verloren gegangen ist. Was ist also die korrekte Dichte der
> Pareto-Verteilung? (Genauso z.B. Exponentialverteilung)
Bei der Exponentialverteilung sollte es genauso sein: da ist die Verteilungsfunktion fuer $x [mm] \le [/mm] 0$ (oder ab irgendeinem anderen Startwert, wenn man sie verschiebt) auch immer $0$, und du musst also nicht bei [mm] $-\infty$ [/mm] anfangen zu Integrieren wenn du die Ableitung des Funktionenausdrucks der Verteilungsfunktion fuer $x > 0$ (oder $x > $ anderen Startwert) nimmst.
> 4. Und noch eine letzte Frage: X soll ZV mit
> Verteilungsfunktion F sein. Im allgemeinen ist dann ja
> P(X=x) [mm]\not=[/mm] 0 Wenn die Verteilungsfunktion absolutstetig
> ist dann gilt aber P(X=x)=0 für alle x, oder?
Genau. Es reicht auch schon, wenn die Verteilungsfunktion stetig ist (wobei es sein kann, dass stetig fuer Verteilungsfunktionen schon absolutstetig impliziert, das weiss ich grad nicht). Schliesslich ist ja $P(X = x) = P(X [mm] \le [/mm] x) - P(X < x) = P(X [mm] \le [/mm] x) - [mm] P(\left]-\infty, x\right[)$, [/mm] und [mm] $\left]-\infty, x\right[ [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^\infty \left]-\infty, x-\frac{1}{n}\right]$, [/mm] womit $P(X < x) = [mm] P(\left]-\infty, x\right[) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] P(X [mm] \le [/mm] x - [mm] \frac{1}{n}) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] F(x - [mm] \frac{1}{n}) [/mm] = F(x)$ ist (da $F$ stetig), und somit $P(X = x) = P(X [mm] \le [/mm] x) - P(X < x) = F(x) - F(x) = 0$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Meine Frage mit dem Maß war wahrscheinlich ziemlich sinnlos, ich versuchs nochmal anders:
Die Frage ist entstanden als ich die ersten Seiten zur Schätztheorie gelesen habe. Dort will man ja einen (d-dimensionalen) Parameter [mm] \theta [/mm] schätzen, der die Verteilungsfunktion F der ZV X charakterisieren soll. F hängt also von x und von [mm] \theta [/mm] ab, F(x, [mm] \theta).
[/mm]
Bald ist dann aber nur noch von dem Maß [mm] P_{\theta} [/mm] die Rede. Also müsste doch zu jeder Verteilung F(x, [mm] \theta) [/mm] genau ein Maß [mm] P_{\theta} [/mm] gehören?
... oder zumindest müsste doch ein Maß [mm] P_{\theta} [/mm] existieren so dass
[mm] P_{\theta}(X \le [/mm] x) = F(x, [mm] \theta)
[/mm]
...oder?
---
und noch eine kleine Frage zu Nr. 4: wenn du schreibst [mm] P((-\infty,x)) [/mm] meinst du P(X [mm] \in (-\infty,x)) [/mm] ?
Sonst alles klar, danke nochmal.
Viele Grüße
drjonezay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Sa 08.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo drjonezay!
> Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Meine Frage mit
> dem Maß war wahrscheinlich ziemlich sinnlos, ich versuchs
> nochmal anders:
>
> Die Frage ist entstanden als ich die ersten Seiten zur
> Schätztheorie gelesen habe. Dort will man ja einen
> (d-dimensionalen) Parameter [mm]\theta[/mm] schätzen, der die
> Verteilungsfunktion F der ZV X charakterisieren soll. F
> hängt also von x und von [mm]\theta[/mm] ab, F(x, [mm]\theta).[/mm]
Mal angenommen, $X : [mm] \Omega \to \IR$.
[/mm]
> Bald ist dann aber nur noch von dem Maß [mm]P_{\theta}[/mm] die
> Rede.
Worauf ist es denn ein Mass? Auf [mm] $\Omega$ [/mm] oder auf [mm] $\IR$ [/mm] (Bildmass)?
> Also müsste doch zu jeder Verteilung F(x, [mm]\theta)[/mm]
> genau ein Maß [mm]P_{\theta}[/mm] gehören?
Zu jeder Verteilungsfunktion gehoert genau ein Bildmass, aber evtl. mehrere oder auch kein Mass auf [mm] $\Omega$.
[/mm]
Wenn die Verteilung von $X$ unter dem urspruenglichen Mass $P$ auf [mm] $\Omega$ [/mm] ''gut'' ist (Verteilungsfunktion $P(X [mm] \le [/mm] x)$ dazu ist stetig und streng monoton steigend reicht auf jeden Fall, evtl. gehts auch schon mit weniger), dann gibt es ein Mass $P'$ auf [mm] $\Omega$ [/mm] so, dass $X$ unter $P'$ eine gewuenschte Verteilungsfunktion hat. Aber eindeutig muss das sicher nicht sein.
> ... oder zumindest müsste doch ein Maß [mm]P_{\theta}[/mm]
> existieren so dass
> [mm]P_{\theta}(X \le[/mm] x) = F(x, [mm]\theta)[/mm]
> ...oder?
Nicht umbedingt. Wenn z.B. $X$ konstant ist, dann gibt es nur genau eine Verteilungsfunktion die zu $X$ passt, egal welches Mass du auf dem Grundraum [mm] $\Omega$ [/mm] hast.
> ---
>
> und noch eine kleine Frage zu Nr. 4: wenn du schreibst
> [mm]P((-\infty,x))[/mm] meinst du P(X [mm]\in (-\infty,x))[/mm] ?
Aeh ja stimmt! Sorry!
Alternativ (um mich doch noch herauszureden) kann man auch sagen, dass das $P$ vorne das Bildmass zu $X$ ist  , aber dann haette ich [mm] $P^X((-\infty, [/mm] x))$ schreiben muessen. Das ist per Definition gerade $P(X [mm] \in (-\infty, [/mm] x))$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
Zu deiner Frage: Worauf ist es denn ein Mass? Auf [mm] \Omega [/mm] oder auf [mm] \IR(Bildmass)? [/mm]
Es ist schon immer auf Omega gemeint, der Begriff Bildmaß wurde bei uns nie genannt.
Aber ich denke ich weiß jetzt so ungefähr Bescheid. So ganz geheuer ist mir das mit den Maßen noch nicht, aber fürs erste reichts mal.
danke für deine schnelle Hilfe! Gruß drjonezay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 So 09.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo drjonezay!
> Zu deiner Frage: Worauf ist es denn ein Mass? Auf [mm]\Omega[/mm]
> oder auf [mm]\IR(Bildmass)?[/mm]
> Es ist schon immer auf Omega gemeint, der Begriff Bildmaß
> wurde bei uns nie genannt.
Ok.
Ich bin mir grad auch nicht sicher, ob das wirklich Bildmass genannt wird. Wenn du eine Zufallsvariable $X : [mm] \Omega \to \IR$ [/mm] hast, dann erhaelst du durch $Q(A) := P(X [mm] \in [/mm] A)$ (hier sei $P$ das Mass auf [mm] $\Omega$) [/mm] ein Mass auf [mm] $\IR$ [/mm] (das Bildmass von $X$). Dieses hat die Eigenschaft, dass die Identitaet $id : [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x$ unter $Q$ genauso verteilt ist wie $X$ unter $P$.
> Aber ich denke ich weiß jetzt so ungefähr Bescheid. So ganz
> geheuer ist mir das mit den Maßen noch nicht, aber fürs
> erste reichts mal.
>
> danke für deine schnelle Hilfe!
Bitte, gern geschehen!
Enthielt dieser Beitrag von dir eigentlich eine Frage die ich uebersehen hab? (Weil es ein Frage-Beitrag war.) :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 So 09.04.2006 | | Autor: | DrJonezay |
oh nein, sorry das war nicht so gemeint.
...aber die nächsten Fragen kommen bestimmt bald ;)
Gruß drjonezay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:28 Mo 10.04.2006 | | Autor: | felixf |
> oh nein, sorry das war nicht so gemeint.
>
> ...aber die nächsten Fragen kommen bestimmt bald ;)
OK :D
LG Felix
|
|
|
|
