Dichte Menge, T2-Raum, Stetig < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X ein topologischer Raum und Y ein Hausdorffraum. [mm]f, g : X\rightarrow Y[/mm]
seien stetige Abbildungen. Ferner sei [mm]M\subset X[/mm] dicht.
Zeigen Sie, dass wenn [mm]f(x)=g(x)[/mm] für alle x[mm]\in[/mm]M , so ist f = g. |
Unser Tutor meinte:
Definiere [mm]A := \{ x\in X : f(x) = g(x) \}[/mm]. Dann ist [mm]M \subset A[/mm]. A ist abgeschlossen und M ist dicht in X, also gilt [mm]A\supset \overline{M}= X[/mm].
Ich verstehe den Beweis nicht wirklich. Kann mir jemand da auf die Sprünge helfen? M ist eine dichte Teilmenge von X und A. Dass der Abschluss von M X ist weiß ich auch, aber warum ist damit schon das Gefragte bewiesen?
Danke für Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
Ist dir denn klar wieso A abgeschlossen ist?
Der Rest ist tatsächlich klar. Der Abschluss von M ist die kleinste abgeschlossene Menge, die M enthält. Mit anderen Worten liegt der Abschluss von M in jeder anderen abgeschlossenen Menge die auch M enthält. Da der Abschluss gerade X ist und [mm]M\subset A[/mm], gilt [mm]X\subset A[/mm]. Also X=A
Grüße,
Berieux
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Wahrscheinlich hapert es genau daran. Ich probier mich mal:
[mm] A := \{ x\in X : f(x) = g(x) \} [/mm]
Dann ist doch [mm] B=X/A := \{ x\in X : f(x) \neq g(x) \} [/mm].
Kann ich jetzt sagen, dass [mm]B[/mm] offen ist, da die Menge
[mm]C := \{ f(x)\in Y : f(x) \neq g(x) \}[/mm] offen ist und die Menge [mm]B[/mm] dann, bedingt durch die Stetigkeit, als Urbild offener Mengen offen ist?
Dann ist [mm]A[/mm] als Komplement einer offenen Menge abgeschlossen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Fr 13.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> [mm]C := \{ f(x)\in Y : f(x) \neq g(x) \}[/mm] offen ist und die
> Menge [mm]B[/mm] dann, bedingt durch die Stetigkeit, als Urbild
> offener Mengen offen ist?
Warum ist das offen? Hier geht tatsächlich ein, dass Y Hausdorffsch ist!
SEcki
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