Dichte Menge in L_2 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich bin hier beim Durcharbeiten meines Numerik Skripts auf ein Problem gestoßen, wo ich mich über jede Hilfe freuen würde. Es geht um folgendes:
Man hat eine Gleichung von Lebesgue-Integrale über eine offene und beschränkte Menge $M [mm] \subset \IR [/mm] $ (eigentlich auch noch Lipschitz-Gebiet, aber das ist denke ich für meine Frage unerheblich). Außerdem hat man eine Funktion $u$ aus einem Funktionenvektorraum V, der eine Teilmenge von [mm] $L_2(M)$ [/mm] ist (Sobolevraum, aber glaube ich auch erst mal nebensächlich. Nun kommt das Entscheidende: die Menge der glatten Funktionen mit kompaktem Träger (Testfunktionen) [mm] ${C_0}^{\infty}(M):=\{v \in C^{\infty}(M) : supp(v) \; kompakt \}$ [/mm] ist dicht in $V$. Hieraus soll nun folgende Äquivalenz folgen:
$$(Lu = f) [mm] \gdw (\forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V: [mm] \integral_{M}{Lu(x)*v(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{M}{f(x)*v(x) dx} [/mm] $$
wobei L irgendein stetiger Operator und zu $f$ gibts in meinem Skript keine Aussage aus welchem Raum das sein soll. Ich denke aber, dass $f$ zumindest in [mm] $L_2(M)$ [/mm] sein muss.
Meine Ideen zum Beweis:
Also die Hinrichtung dürfte wohl kein Problem sein , wenn man bedenkt, dass das Produkt von 2 Funktionen aus [mm] $L_2(M)$ [/mm] zumindest wieder aus [mm] $L_1(M)$ [/mm] ist.
Für die Rückrichtung habe ich mir überlegt, dass das irgendwas mit Nullmengen zu tun haben muss. Und zwar gilt ja:
[mm] $$\forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V: [mm] \{x \in M : Lu(x)*v(x) = f(x)*v(x)\} [/mm] ist [mm] \; eine\; [/mm] Nullmenge$$
Hieraus folgt dann, dass diese Menge in [mm] $L_1(M)$ [/mm] gleich der Nullabbildung ist, da in [mm] $L_1(M)$ [/mm] Abbildungen die bis auf Nullmengen gleich sind miteinander identifiziert werden.
Irgendwie folgt daraus ja nicht, dass $Lu$ wirklich gleich $f$ ist oder? Schließlich können ide ja auch noch auf jeder abzählbaren Punktemenge (Nullmenge) verschieden sein. Ich sehe auch leider nicht, wo hier die Aussage bzgl. der Dichtheit eingeht. Über Hilfe würde ich mich da wirklich freuen.
Grüße Andre
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Fr 26.08.2011 | | Autor: | f12 |
Guten Tag no_brain_no_pain
Das sieht nach einer schwachen Lösung aus. Habt ihr diese Definition schon einmal gehabt?
Diese Dinge sind wichtig im Umgang mit partiellen Differentialgleichungen (pde), da oftmals eine klassische Lösung als zu "streng" angesehen wird, versucht man zuerst eine schwache Lösung des Problems zu finden. Jede klassische Lösung ist hierbei auch eine schwache Lösung aber nicht umgekehrt. $\ V $ soll in deinem Falle wohl der Raum $\ [mm] H^1_0 [/mm] $ sein. Dieser ist als der Abschluss der Testfunktionen mit kompaktem Träger in der üblichen Sobolevnorm $\ [mm] H^1$ [/mm] definiert. Wenn du nun eine pde hast, z.B.
[mm] -\Delta u = f, u = 0 \partial M[/mm]
Und du setzt $\ [mm] -\Delta [/mm] = L $, dann kannst du die Gleichung umformulieren, in eine schwache "Formulierung". Formal geschieht das, indem man eine Testfunktion auf beide Seiten multipliziert und dann partiell integriert. Dann steht genau das dort, was du haben möchtest. Es ist allerdings entscheidend, welchen Testfunkionenraum man wählt!
Ich weiss nicht, wie viel ihr schon über Sobolev-Räume etc. gesprochen habt, daher habe ich die Frage einmal nur als teilweise beantwortet gestellt. Ich möchte nicht zu tief ins Detail, denn wenn ihr die nötige Theorie nicht gehabt habt, macht dies wenig Sinn. Wikipedia gibt sicherlich auch einiges her :)
Der Rand ist entscheiden für die Regularität. Wenn dieser genügend schön ist, und die Funktionen auch, dann kann man zeigen, dass eine schwache Lösung auch wieder eine klassische ist!
Liebe Grüsse
f12
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Hallo f12,
danke dir für die Antwort. Ja das ist richtig. Da gehts um schwache Lösungen von PDEs und $V$ ist bei mir [mm] $H^1_0$, [/mm] der Sobolevraum der als Abschluss der glatten-Funktionen bzgl. einer speziellen Norm definiert ist. Diese Zusammenhänge sind mir alle klar. Ich wollte da aber nicht zu sehr ins Detail gehen, da meine Frage wirklich nur auf die obige Äquivalenz zielt, wo man glaube ich nur Grundwissen über das Lebesque-Integral und über Dichtheit von Funktionen braucht (zumindest nehme ich das an, da es in meinem Skript so dargestellt wird). Der große Zusammenhang ist also soweit bekannt. Was fehlt ist dieses Detail. ;)
Grüße Andre
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Also um es vereinfacht zu sagen. Warum kann man bei der oben beschriebenen Gleichung einfach sagen, wenn man sie von rechts mit Testfunktionen multiplziert und Integrale davor schreibt, dann ist das Problem äquivalent auf Grund einer Dichtheitsaussage?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Fr 26.08.2011 | | Autor: | f12 |
Guten Tag no_brain_no_pain
Entschuldige, ich wusste einfach nicht, was ihr genau macht. Der Grundgedanke ist ja folgender (um auf die Laplace Gleichung zurückzukommen)
[mm] -\Delta u = f \gdw \integral_{M}{(-\Delta u) \phi dx} =\integral_{M}{f \phi dx} \forall \phi \in C^\infty_0[/mm].
Das folgende Integral wandelst du um (partielle Integration):
[mm] \integral_{M}{(-\Delta u) \phi dx} = \integral_{M}{(\nabla u) \nabla \phi dx} [/mm]
Das wurde bei dir nicht getan, bei dir steht ja immer noch $\ Lu $. Na wenn dies für $\ [mm] C^\infty_0$ [/mm] Funktionen gilt, dann per Definition auch für $\ t [mm] \in H^1_0 [/mm] $. Das folgt aus:
Sei allgemein $\ [mm] g_m \in L^2 [/mm] $ und $\ [mm] g_m \to [/mm] g [mm] \in L^2$ [/mm] und sei $\ [mm] \psi \in L^2 [/mm] $ fix. Dann gilt:
[mm] \integral{g_m \psi dx} \to \integral{g \psi dx} [/mm]
Beweis:
[mm] | \integral{g \psi dx} - \integral{g_m \psi dx}| = | \integral{g \psi - g_m \psi dx} | \le \integral{|g \psi - g_m \psi |dx} = \integral{|\psi(g - g_m)|dx} \le \integral{|\psi|^2dx}^\bruch{1}{2}*\integral{|(g - g_m)|^2dx}^\bruch{1}{2} \to 0 [/mm].
(dies kannst du natürlich auch für allgemeine $\ p $ machen.
Wenn deine Gleichung also für alle $\ [mm] C^\infty_0 [/mm] $ Funktionen gilt, dann auch für alle Funktionen aus $\ [mm] H^1_0 [/mm] $ wegen der Dichtheit. Du kannst ja eine Folge $\ [mm] (\phi_n) [/mm] $ solch glatter Funktionen nehmen, die in $\ [mm] H^1 [/mm] $ gegen deine konvergieren.
Ich hoffe, dass ich deine Frage richtig verstanden habe!
Liebe Grüsse
f12
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Hallo,
danke für deine schnelle Antwort. Keine Problem, ich bin ja froh wenn mir überhaupt jemand antwortet. Aber ich befürchte wir reden aneinander vorbei. Partiell integrieren wollte ich nicht. Das kommt in meinem Skript später und ist soweit klar, auch dass Eigenschaften von den Testfunktionen auf die Sobolevfunktionen bzgl. des Integrals vererbt werden können. Trotzdem danke für den Beweis. Das hatte ich mir so detailiert noch nicht überlegt. Meine Frage bezieht sich aber wirklich nur auf die angesprochene Äquivalenzaussage. Also um es mal konkret auf dein Beispiel mit Poissongleichung zu übertragen. Wie würdest du deinen Äquivalenzpfeil in deiner 4. Zeile begründen. Genau in diesem kleinen Detail liegt mein Problem.
Danke und Grüße
Andre
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Fr 26.08.2011 | | Autor: | f12 |
Voilà...
Manchmal brauch ich etwas länger. Sorry!
Du meinst diese Gleichung:
[mm] -\Delta u = f \gdw \integral{-\Delta u \phi dx} = \integral{f \phi dx} [/mm]
Für mich ist dies zwar eine Definition, im Sinne von: $\ u $ ist schwache Lösung von der Gleichung, genau dann wenn, die Integralrechnung gilt.
Allerdings kannst du dies auch so " zeigen "
[mm] \integral{-\Delta u \phi dx} = \integral{f \phi dx} \forall \phi \in C^\infty_0 \gdw \integral{(-\Delta u -f)\phi dx} = 0 \forall \phi \in C^\infty_0[/mm]
Naja und nun kannst du dir das ![[]](/images/popup.gif) Fundamentallemma der Variationsrechnung anwenden. (im Artikel Lemma von du Bois-Reymond.)
Ich hoffe, dass nun deine Frage geklärt ist.
Liebe Grüsse
f12
ps: Die Aussagen sind immer nur a.e., aber das ist ja klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Fr 26.08.2011 | | Autor: | f12 |
Ist die Frage geklärt?
Wenn ja, soll doch bitte ein Administrator dies dementsprechend kennzeichnen. Anscheinend kann man das als Autor eines Artikels nicht mehr selbst ändern.
Liebe Grüsse
f12
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Hallo f12,
vielen Dank. Konnte leider erst jetzt hinein schauen. Das ist genau das, was ich gesucht habe. Dieses Lemma war mir bisher noch nicht bekannt. Muss mir das noch genauer anschauen. Aber das bringt mich auf jeden Fall weiter.
Danke dir
Grüße Andre
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