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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Di 23.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie in den Fällen 1.) bis 3.) die Dichte von Y:
1.) [mm] Y=e^X [/mm] und X ist [mm] N_\mu_,_\sigma_^2 [/mm] - verteilt
2.) Y=-aln(X) und X ist gleichverteilt auf [0,1],
3.) [mm] Y=e^X [/mm] mit X ~ [mm] E_1_/_\alpha [/mm] |
Hallo zusammen,
stecke gerade irgendwie an dieser Aufgabe fest und würde mich über eure Hilfe sehr freuen.
Zu1.) Es soll ja zunächst die Dichte von [mm] e^X [/mm] berechnet, wobei X normalverteilt mit den Parametern [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] ist.
Die Normalverteilung lautet ja:
[mm] p(x)=\bruch{1}{\sigma \sqrt(2\pi)}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}
[/mm]
Kann ich jetzt einfach den Transformationssatz anwenden
[mm] p^T(y)=\bruch {p(T^{-1}(y))}{T'(T^{-1}(y))} [/mm] und [mm] p(T^{-1}(y)) [/mm] ist hier [mm] T^{-1}(y) [/mm] eingesetzt in die Normalverteilung?
In unserem Vorlesungsscript ist es leider etwas undurchsichtig und ich finde keine hilfreichen Erklärungen :-(
Über Hilfe würde ich mich freuen 
Liebe Grüße
LuisA44
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Huhu,
berechnen wir doch mal die Verteilung von a)
$P(Y [mm] \le [/mm] y) = [mm] P(e^X \le [/mm] y)$
Insbesondere stellen wir fest, dass die Dichte nur überhaupt auf [mm] (0,\infty) [/mm] grösser Null sein kann, d.h. wir halten fest: y > 0
$=P(X [mm] \le \ln(y)) [/mm] = [mm] \integral_0^{\ln(y)} f_X(t) [/mm] dt$
Nun ist die Dichte ja einfach die Ableitung der Verteilungsfunktion, d.h. musst du das nur noch nach Kettenregel ableiten.
Die anderen machst du mal allein
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Di 23.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
> Huhu,
>
> berechnen wir doch mal die Verteilung von a)
>
> [mm]P(Y \le y) = P(e^X \le y)[/mm]
>
> Insbesondere stellen wir fest, dass die Dichte nur
> überhaupt auf [mm](0,\infty)[/mm] grösser Null sein kann, d.h. wir
> halten fest: y > 0
>
> [mm]=P(X \le \ln(y)) = \integral_0^{\ln(y)} f_X(t) dt[/mm]
>
Ich verstehe nicht was hier gemacht wurde. Mir ist klar, dass die Dichte die Ableitung der Verteilungsfunktion ist. Was meinst du mit [mm] f_X(t)? [/mm] Ist das die Dichte?
Sorry ich blicke es einfach nicht. Muss ich jetzt die Verteilungsfunktion hier die Normalverteilung ableiten und für x = ln(y) setzen?
Laufen alle Aufgaben so? Wir haben in der Vorlesung so oft den Transformationssatz verwendet...
> Nun ist die Dichte ja einfach die Ableitung der
> Verteilungsfunktion, d.h. musst du das nur noch nach
> Kettenregel ableiten.
>
> Die anderen machst du mal allein
>
> MFG,
> Gono.
Danke schonmal für die Hilfe.
Grüße
LuisA44
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Huhu,
> Ich verstehe nicht was hier gemacht wurde. Mir ist klar,
> dass die Dichte die Ableitung der Verteilungsfunktion ist.
> Was meinst du mit [mm]f_X(t)?[/mm] Ist das die Dichte?
> Sorry ich blicke es einfach nicht. Muss ich jetzt die
> Verteilungsfunktion hier die Normalverteilung ableiten und
> für x = ln(y) setzen?
> Laufen alle Aufgaben so? Wir haben in der Vorlesung so oft
> den Transformationssatz verwendet...
ok, dass die Dichte die Ableitung der Verteilungsfunktion ist, ist dir bekannt.
Das ist schonmal schön
D.h. du verstehst hoffentlich den Sinn dahinter, ERST die Verteilungsfunktion von Y zu bestimmen um darüber dann per Ableitung die Dichte zu bekommen.
Nun schauen wir uns mal die Verteilungsfunktion von Y an.
$P(Y [mm] \le [/mm] y)$
Können wir das irgendwie berechnen? Ja, können wir, da $Y = [mm] e^X$ [/mm] ist und wir die Verteilungsfunktion von X ja kennen, d.h. wir wissen wie die Funktion der Form
$P(X [mm] \le [/mm] x)$
aussieht. Also Formen wir unsere Verteilungsfunktion mal so um:
$P(Y [mm] \le [/mm] y) = [mm] P(e^X \le [/mm] y) = P(X [mm] \le \ln(y))$
[/mm]
Das ist bisher nur umgeformt.
Nun wissen wir, dass X eine Verteilungsdichte [mm] f_X [/mm] hat (wobei es eigentlich egal ist, wie sie aussieht, in deinem Fall bei a) ist das eben gerade die Dichte der Normalverteilung, es gilt also:
[mm] $f_X [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sigma \sqrt(2\pi)}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2} [/mm] $
Ich seh gerade, bei dir war das $p(x)$, ist zwar notationstechnisch ungewöhnlich, aber dann nehm ich halt $p(x)$
Es gilt ja:
$P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] \integral_{-\infty}^x p(t)\, [/mm] dt$
Wir wissen nun:
$P(Y [mm] \le [/mm] y) = P(X [mm] \le \ln(y)) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\ln(y)} p(t)\, [/mm] dt$
Und nun hast du eine Darstellung von [mm] $P(Y\le [/mm] y)$, also der Verteilungsfunktion von Y und diese kannst du nun (nach y!) ableiten!
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 23.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
> Huhu,
>
> > Ich verstehe nicht was hier gemacht wurde. Mir ist klar,
> > dass die Dichte die Ableitung der Verteilungsfunktion ist.
> > Was meinst du mit [mm]f_X(t)?[/mm] Ist das die Dichte?
> > Sorry ich blicke es einfach nicht. Muss ich jetzt die
> > Verteilungsfunktion hier die Normalverteilung ableiten und
> > für x = ln(y) setzen?
> > Laufen alle Aufgaben so? Wir haben in der Vorlesung so
> oft
> > den Transformationssatz verwendet...
>
> ok, dass die Dichte die Ableitung der Verteilungsfunktion
> ist, ist dir bekannt.
> Das ist schonmal schön
>
> D.h. du verstehst hoffentlich den Sinn dahinter, ERST die
> Verteilungsfunktion von Y zu bestimmen um darüber dann per
> Ableitung die Dichte zu bekommen.
Ja.
> Nun schauen wir uns mal die Verteilungsfunktion von Y an.
>
> [mm]P(Y \le y)[/mm]
>
> Können wir das irgendwie berechnen? Ja, können wir, da [mm]Y = e^X[/mm]
> ist und wir die Verteilungsfunktion von X ja kennen, d.h.
> wir wissen wie die Funktion der Form
>
> [mm]P(X \le x)[/mm]
>
> aussieht. Also Formen wir unsere Verteilungsfunktion mal so
> um:
>
> [mm]P(Y \le y) = P(e^X \le y) = P(X \le \ln(y))[/mm]
>
> Das ist bisher nur umgeformt.
>
> Nun wissen wir, dass X eine Verteilungsdichte [mm]f_X[/mm] hat
> (wobei es eigentlich egal ist, wie sie aussieht, in deinem
> Fall bei a) ist das eben gerade die Dichte der
> Normalverteilung, es gilt also:
>
> [mm]f_X = \bruch{1}{\sigma \sqrt(2\pi)}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}[/mm]
>
> Ich seh gerade, bei dir war das [mm]p(x)[/mm], ist zwar
> notationstechnisch ungewöhnlich, aber dann nehm ich halt
> [mm]p(x)[/mm]
>
> Es gilt ja:
>
> [mm]P(X \le x) = \integral_{-\infty}^x p(t)\, dt[/mm]
Bis hier hin alles verstanden ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
> Wir wissen nun:
>
> [mm]P(Y \le y) = P(X \le \ln(y)) = \integral_{-\infty}^{\ln(y)} p(t)\, dt[/mm]
>
Hmmm eben hast du:
P(Y [mm] \le [/mm] y) = P(X [mm] \le \ln(y)) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\ln(y)} p(t)\, [/mm] dt geschrieben?
> Und nun hast du eine Darstellung von [mm]P(Y\le y)[/mm], also der
> Verteilungsfunktion von Y und diese kannst du nun (nach y!)
> ableiten!
Also muss ich zunächst einmal das Integral der Dichte der Normalverteilung von 0 bis ln(x) berechnen und dann nach y ableiten oder?
P(Y [mm] \le [/mm] y) = P(X [mm] \le \ln(y)) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\ln(y)} [/mm] p(t) dt
Oder erzähl ich schonwieder Quatsch?
Vielen Dank nochmal für deine Hilfe. Es ist mir sehr viel klarer geworden
Grüße
LuisA44
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Huhu,
> Hmmm eben hast du:
>
> P(Y [mm]\le[/mm] y) = P(X [mm]\le \ln(y))[/mm] = [mm]\integral_{0}^{\ln(y)} p(t)\,[/mm]
> dt geschrieben?
das mit der Null war ein dezenter Denkfehler, [mm] -\infty [/mm] ist korrekt. Wobei die untere Grenze letztlich eh egal ist, da sie beim Ableiten wegfällt.
> Also muss ich zunächst einmal das Integral der Dichte der
> Normalverteilung von 0 bis ln(x) berechnen und dann nach y
> ableiten oder?
Normalerweise könntest du das machen.
Das Problem bei der Dichte der Normalverteilung ist ja aber der, dass es keine Stammfunktion gibt
Da ist also nicht viel mit ausrechnen.
Im übrigen kostet dich das in einer Klausur bspw. auch nur unnötig viel Zeit, weil du das auch ohne Ausrechnen des Integrals ableiten kannst!
Benutze hier den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Was sagt dir der über die Ableitung von Funktionen der Form:
$F(x) = [mm] \integral_{a}^x f(t)\, [/mm] dt$
Was wäre hier F'(x) ?
MFG,
Gono.
> P(Y [mm]\le[/mm] y) = P(X [mm]\le \ln(y))[/mm] = [mm]\integral_{0}^{\ln(y)}[/mm] p(t)
> dt
> Oder erzähl ich schonwieder Quatsch?
>
> Vielen Dank nochmal für deine Hilfe. Es ist mir sehr viel
> klarer geworden
>
> Grüße
> LuisA44
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 24.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Huhu zurück an Gono
> Benutze hier den Hauptsatz der Differential- und
> Integralrechnung.
> Was sagt dir der über die Ableitung von Funktionen der
> Form:
>
> [mm]F(x) = \integral_{a}^x f(t)\, dt[/mm]
>
> Was wäre hier F'(x) ?
Also der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt ja:
[mm] \bruch{d}{dy} (\integral_{-\infty}^{ln(y)}{p(t) dt}= \bruch{d}{dy}(P(ln(y))-P(-\infty))=p(ln(y))*\bruch{1}{y}
[/mm]
So richtig?
Habe auch noch eine Frage zur iii.)
Du meinstest ja, dass die Verteilung im Prinzip "egal" für die Bearbeitung der Aufgabe ist. Dann läuft doch die iii.) genau wie i.)nur, dass bei iii.) eben eine Exponentialverteilung vorliegt oder lieg ich da falsch?
Danke nochmal für die Hilfe.
Grüße
LuisA44
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Hiho,
> Also der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
> besagt ja:
>
> [mm]\bruch{d}{dy} (\integral_{-\infty}^{ln(y)}{p(t) dt}= \bruch{d}{dy}(P(ln(y))-P(-\infty))=p(ln(y))*\bruch{1}{y}[/mm]
>
> So richtig?
Jop!
Allerdings ist das nur die Dichte auf dem Bereich, wo die Dichte überhaupt relevant ist.
Schau nochmal, aus welchem Zahlenbereich y gewählt werden kann, um die Gesamtdichte auf [mm] \IR [/mm] zu definieren, solltest du noch mit einer Indikatorfunktion multiplizieren. Mit welcher?
> Habe auch noch eine Frage zur iii.)
> Du meinstest ja, dass die Verteilung im Prinzip "egal"
> für die Bearbeitung der Aufgabe ist. Dann läuft doch die
> iii.) genau wie i.)nur, dass bei iii.) eben eine
> Exponentialverteilung vorliegt oder lieg ich da falsch?
Nö, läuft analog.
Das ist ja das tolle an der Herangehensweise
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mi 24.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo Gono,
> Schau nochmal, aus welchem Zahlenbereich y gewählt werden
> kann, um die Gesamtdichte auf [mm]\IR[/mm] zu definieren, solltest
> du noch mit einer Indikatorfunktion multiplizieren. Mit
> welcher?
Ich schätze mit der Indikatorfunktion [mm] 1_A (\omega). [/mm]
Irgendwie sehe ich das nie. Wäre das multipliziert mit [mm] 1_[_1_,_\infty_)(y) [/mm] ?
Danke für deine Hilfe.
LuisA44
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Huhu,
> Ich schätze mit der Indikatorfunktion [mm]1_A (\omega).[/mm]
Ahjo, nur welche Werte kann y denn überhaupt sinnvoller Weise annehmen?
> Irgendwie sehe ich das nie. Wäre das multipliziert mit
> [mm]1_[_1_,_\infty_)(y)[/mm] ?
Naja, fast 
Zur Erklärung, wie man immer sehr gut auf die Indikatorfunktion kommt.
Wir wollen ja $P(Y [mm] \le [/mm] y)$ berechnen, d.h. das macht nur Sinn, wenn y aus dem Wertebereich von Y kommt!
Welchen Wertebereich hat denn Y, wenn $Y = [mm] e^X$ [/mm] gilt
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mi 24.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Hi gono,
>
> > Irgendwie sehe ich das nie. Wäre das multipliziert mit
> > [mm]1_[_1_,_\infty_)(y)[/mm] ?
>
> Naja, fast
> Zur Erklärung, wie man immer sehr gut auf die
> Indikatorfunktion kommt.
>
> Wir wollen ja [mm]P(Y \le y)[/mm] berechnen, d.h. das macht nur
> Sinn, wenn y aus dem Wertebereich von Y kommt!
>
> Welchen Wertebereich hat denn Y, wenn [mm]Y = e^X[/mm] gilt
Also der Wertebereich von Y, wenn [mm] Y=e^x [/mm] ist also [mm] (0,\infty). [/mm] Also muss man noch mit [mm] 1_(_0_,_\infty_)(y) [/mm] multiplizieren?
Ist das richtig?
Grüße
LuisA44
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Huhum
> Also der Wertebereich von Y, wenn [mm]Y=e^x[/mm] ist also
> [mm](0,\infty).[/mm] Also muss man noch mit [mm]1_(_0_,_\infty_)(y)[/mm]
> multiplizieren?
> Ist das richtig?
Genau!
Das erkennst du unter anderem auch daran, dass deine Dichte wegen dem [mm] \ln(y) [/mm] darin für [mm] y\le [/mm] 0 gar nicht definiert ist und durch die Multiplikation mit der Indikatorfunktion setzt du y auf dem Bereich halt einfach Null
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Mi 24.11.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Hey,
Danke Gono. Du hast mir echt sehr weitergeholfen.
Einen schönen Abend.
Liebe Grüße
LuisA44
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