Dichte einer ZV L(X) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Do 01.03.2007 | | Autor: | setine |
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilung X~N(2,12) [Normalverteilung mit Mittelwert 2 und Varianz 12].
Ermitteln Sie die Dichte der Zufallsvariabe [mm] $L:=\frac{e^X}{1+e^X}$.
[/mm]
Hinweis: Überlegen Sie zuerst, welche Werte L überhaupt annehmen kann. |
Ich habe es mal so versucht:
[mm] $f_L(t) [/mm] = P(L=t) = [mm] P(\frac{e^X}{1+e^X} [/mm] = t) = [mm] P(X=ln(\frac{t}{1-t}))=f_X(ln(\frac{t}{1-t}))$
[/mm]
Also den direkten Weg von der Dichte von X zu der von L. Komischerweise wird aber in der Musterlösung einen Umweg über die Verteilungsfunktion gemacht, welchen im mir nicht erklären kann:
[mm] $F_L(t) [/mm] = P(L [mm] \le [/mm] t) = [mm] P(\frac{e^X}{1+e^X} \le [/mm] t) = P(X [mm] \le ln(\frac{t}{1-t}))= F_X(ln(\frac{t}{1-t}))$
[/mm]
Danach folgt die Dichte aus der Kettenregel:
[mm] $f_L(t) [/mm] = [mm] \frac{d}{dt}F_L(t) [/mm] = [mm] \frac{d}{dt}F_X(ln(\frac{t}{1-t})) [/mm] = [mm] \cdots [/mm] = [mm] f_x(ln(\frac{t}{1-t})) \cdot \frac{1}{y(1-y)}
[/mm]
Nun meine Frage: Wieso kommt es falsch heraus wenn ich direkt über die Dichte gehe?
Danke, Setine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Do 01.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo
falls X totalstetig verteilt ist ( das ist bei Dir der Fall) und L [mm] :\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine stetige Funktion mit pos. Ableitung L' so ist auch [mm] (L\circ [/mm] X)
totalstetig verteilt und die Diche ist die Ableitung der Verteiung, d. h Du mußt die Kettenregel anwenden um [mm] f_L(t) [/mm] zu erhalten .
MFG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Do 01.03.2007 | | Autor: | setine |
Hi Heiko,
Danke für deine Antwort. Aber ich glaube du hast mich falsch verstanden. Mir ist schon klar dass es richtig ist in diesem Fall die Ableitung der Verteilungsfunktion zu nehmen und dass diese die Dichtefunktion ist.
Ich frage mich aber warum man sich die Mühe machen muss zuerst die Verteilungsfunktion zu "berechnen" und dann diese abzuleiten, wenn man doch meiner Meinung nach direkt in der Dichtefunktion einsetzen könnte (Was offensichtlich hier zu einem anderen Resultat führt).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Do 01.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Setine,
Wen Du direkt in die Dichte einsetzt, wird der Beitrag der inneren Ableitung nicht berücksichtigt.
I.A. ist [mm] (f\circ [/mm] g)'(x) [mm] \not=f'(g(x)).
[/mm]
Gruß
Heiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Do 01.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Sedine,
> Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilung X~N(2,12)
> [Normalverteilung mit Mittelwert 2 und Varianz 12].
>
> Ermitteln Sie die Dichte der Zufallsvariabe
> [mm]L:=\frac{e^X}{1+e^X}[/mm].
>
> Hinweis: Überlegen Sie zuerst, welche Werte L überhaupt
> annehmen kann.
> Ich habe es mal so versucht:
>
> [mm]f_L(t) = P(L=t) = P(\frac{e^X}{1+e^X} = t) = P(X=ln(\frac{t}{1-t}))=f_X(ln(\frac{t}{1-t}))[/mm]
>
Es gilt außerdem:
[mm]f_L(t) = P(L=t) [/mm] = 0, da L(X) totalstetig verteilt .
Gruß
Heiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Do 01.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilung X~N(2,12)
> [Normalverteilung mit Mittelwert 2 und Varianz 12].
>
> Ermitteln Sie die Dichte der Zufallsvariabe
> [mm]L:=\frac{e^X}{1+e^X}[/mm].
>
> Hinweis: Überlegen Sie zuerst, welche Werte L überhaupt
> annehmen kann.
> Ich habe es mal so versucht:
>
> [mm]f_L(t) = P(L=t) = P(\frac{e^X}{1+e^X} = t) = P(X=ln(\frac{t}{1-t}))=f_X(ln(\frac{t}{1-t}))[/mm]
>
> ....
> Also den direkten Weg von der Dichte von X zu der von L.
> Nun meine Frage: Wieso kommt es falsch heraus wenn ich
> direkt über die Dichte gehe?
>
Weil dein Anzatz falsch ist.
Grüezi setine,
Es gilt *nicht* [mm]f_L(t) = P(L=t) [/mm], da $L$ nicht diskret, sondern stetig verteilt ist. Dann gilt naemlich $P(L=t)=0$.
Du kannst den Transformationssatz fuer Dichten benutzen. Siehe einmal hier
![[]](/images/popup.gif) http://www.wss.uni-heidelberg.de/resources/stat1/2003w/gsm/gsm_formel.pdf
Satz 4.1 auf Seite 2.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Do 01.03.2007 | | Autor: | setine |
Ah! Vielen Dank euch beiden!
Hatte ganz vergessen dass im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeit "per Definition" gleich 0 ist.
Das Skript sieht auch vielversprechend aus, werde es mal genäuer unter die Lupe nehmen.
Dank und Gruss, Setine
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