Dichte stetiger Zufallsgrößen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Di 04.07.2006 | | Autor: | condoleo |
| Aufgabe | | [mm]\ f[/mm] sei Dichte einer stetigen zufälligen Größe [mm]\ X[/mm]. Bestimmen Sie eine Dichte von [mm] \ Y:=|X|[/mm]. |
Hallo!
Weiß nicht, ob ich richtig liege und wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
also für stetige Zufallsgrößen ist bekannt, dass für die Dichte [mm]\ f(x):=F'(x)[/mm] gilt.
Für [mm] \ Y:=|X|[/mm] unter Beachtung der Fallunterscheidung würde ich dann folgendes erhalten:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }x\ge0 \\
-1, & \mbox{wenn }x<0
\end{matrix}\right.
[/mm]
Kann ich das so einfach machen oder gibt es doch wieder einen Hacken bei der Sache und vor allem ist die Schreibweise der Lösung dann richtig?
Bin für jeden Hinweis dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Mi 05.07.2006 | | Autor: | toboo1 |
eine negative dichte habe ich noch nicht gesehen....
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Hi!
versuche zuerst, die Begriffe Zufallsvariable, Verteilungsfunktion und Dichte in Ruhe zu sortieren. X ist eine Variable, die zufällig irgendwelche Werte annimmt. [genauer: X ist Funktion von Omega nach IR] X selber kann man nicht ableiten o.ä.
Dann gibt es den Begriff Verteilungsfunktion, Die Verteilungsfunktion F ist eine Funktion so dass F(x)=P(X [mm] \le [/mm] x). Die Verteilungsfunktion gibt also zu jedem x an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass X einen Wert kleiner als x annimmt. Die Dichte f ist dann die Ableitung von F.
Jetzt zur Aufgabe: Du hast gegeben X, die Dichte f von X, damit auch eine Verteilungsfunktion F von X. Jetzt bestimmst du die Verteilungsfunktion G von Y, also
G(x) = P(Y [mm] \le [/mm] x) = P(|X| [mm] \le [/mm] x) = P(-x [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] x) = P (X [mm] \le [/mm] x) - P(X [mm] \le [/mm] -x) = F(x)-F(-x)
also folgt für die Dichte g von Y:
g(x) = G'(x)= F'(x)-(F(-x))' = f(x) - f(-x)*(-1)= f(x)+f(-x)
achso die Verteilungsfunktion ist monoton, also ist die Dichte nie negativ. die Dichte soll ja sowas wie eine 'Wahrscheinlichkeit' sein [genauer: f(x)*dx [mm] \approx [/mm] P(X [mm] \in [/mm] [x,x+dx] ) , deshalb würde negativ auch keinen Sinn machen
ok?
gruß
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