Dichte symmerischer Verteilung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f Dichte einer stetigen Verteilung F, symmetrisch um 0. Sei a > 0. Zeigen Sie:
[mm] P(X\ge [/mm] a) = [mm] 0.5-\integral_{0}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
P(|X| > a) = 2F(-a) = 2(1 - F(a))
[mm] P(|X|\le [/mm] a) = 2F(a)- 1
F(0)=0.5
F(-a)+F(a)=1
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Hallo, wer kann mir helfen und mir vielleicht zeigen, wie das hier gehen soll? Irgentwie habe ich riesen probleme damit, wobei man mir sagte, dass es nicht schwer ist.
Würde mich daher freuen, wenn mir jemand zeigt, was ich machen soll.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Mi 30.06.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich fuerchte, wenn du so pauschal fragst, wirst du schwerlich eine Antwort erhalten. Zeig doch mal, was du du dir bislang ueberlegt hast.
> Sei a > 0. Zeigen Sie:
> [mm]P(X\ge[/mm] a) = [mm]0.5-\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm]
>
[mm] $P(X\ge a)=\int_{a}^\infty{f(x) dx}$, $0.5=P(X\ge [/mm] 0)$.
Eine Skizze koennte helfen ...
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Mi 30.06.2010 | | Autor: | jboss |
Hallo zusammen,
ich arbeite gerade an der gleichen Aufgabe.
Ich habe mir bisher folgendes überlegt.
z.z: $P(X [mm] \ge [/mm] a) = [mm] \frac{1}{2} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{a}{f(x) dx}$
[/mm]
$$P(X [mm] \ge [/mm] a) = 1 - P(X < a) = 1 - [mm] \integral_{-\infty}^{a}{f(x) dx} [/mm] = 1 - [mm] \underbrace{\integral_{-\infty}^{0}{f(x) dx}}_{= 0.5 \text{ laut Teil d)}} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{a}{f(x) dx}$$
[/mm]
z.z $F(-a) + F(a) = 1$
Hier hat mir eine Skizze weitergeholfen um zu verstehen warum die Summe gleich 1 ist. Dies habe ich dann weiter unten auch ausgenutzt, jedoch bin ich unsicher ob die Skizze als Begründung ausreicht. Der Skizze entnehme ich aufgrund der Symmetrie, dass gilt: [mm] $\integral_{-\infty}^{-a}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx}$ [/mm]
Damit:
$$
F(-a) + F(a) = [mm] \integral_{-\infty}^{-a}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{-\infty}^{a}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{-\infty}^{a}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = 1
$$
z.z. $P(|X| [mm] \le [/mm] a) = 2 [mm] \cdot [/mm] F(a) - 1$
Die folgt unmittelbar aus Aufgabenteil b) denn:
$$P(|X| [mm] \le [/mm] a) = 1 - P(|X| > a) = 1 - 2 [mm] \cdot [/mm] (1 - F(a)) = 2 [mm] \cdot [/mm] F(a) - 1$$
Ist das soweit ok?
Zu b) und d) (siehe Aufgabenstellung) ist mir bisher kein gescheiter Ansatz gelungen. Die Richtigkeit von d) ist mir vollkommen klar, aber einen formalen Beweis habe ich bisher nicht hinbekommen. Würde mich über Tipps sehr freuen.
Vielen Dank schon einmal von meiner Seite
Gruss
jboss
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Hallo,
hmm... also ich weiß gar nicht wie ich einen Tip geben soll, ohne die Lösung komplett hinzuschreiben...
$P(|X| > a) = P( X > a, X < -a ) [mm] \overbrace{=}^{Unabh.} \integral_{-\infty}^{-a}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx}$
[/mm]
Wenn du da ein bisschen mit der Symmetrie spielst steht der erste Teil schon da.
Um die zweite Gleichheit zu kriegen kannst du ja mal [mm] $1=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}$ [/mm] nehmen.
Die d geht sehr ähnlich. Da musst du F einfach als Integral schreiben und dann mit der symmetrie spielen.
lg Kai
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Das was du aufgeschrieben hast dürfte stimmen, aber ich hab nicht rausbekommen welche Eigenschaft du grad gezeigt hast...
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Mi 30.06.2010 | | Autor: | jboss |
Hi,
hab den Beitrag nochmal überarbeitet. Zuletzt wollte ich zeigen, dass $F(0) = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] gilt.
Gruss
Jakob
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