Dichte und Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Fr 07.06.2013 | | Autor: | saendra |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei die Zufallsvariable $X$ exponentialverteilt, d.h. $X\sim \lambda e^{-\lambda x}$ für $x\ge 0$ bzw. $X\sim 0$ für $x< 0$.
Bestimmme die Dichte- und Verteilungsfunkton von $Y=X^\frac{1}{\rho},\quad \rho >0$. |
Hi! So lautet die Aufgabe 
So ganz blicke ich aber nicht durch.
Ich bezeichne mal mit $f_X$ bzw. $f_Y$ die Dichtefunktion von und mit $F_X$ bzw. $F_Y$ die Verteilungsfunktion von $X$ bzw. $Y$.
Mein Ansatz ist $F_Y(y)=P(Y\le y)= P(X^\frac{1}{\rho}\le y)=P(X\le y^\rho)=F_X(y^\rho)=\integral_{-\infty}^{y^\rho}\lambda e^{-\lambda x}\ dx}$
$= \integral_{0}^{y^\rho}\lambda e^{-\lambda x}\ dx} = \left[-e^{-\lambda x}\right]_0^{y^\rho}=-e^{-\lambda y^\rho}+1$
Darf ich das so machen und stimmt das überhaupt? Ich habe einfach umgeformt ohne etwas zu bedenken? Geht das überhaupt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Fr 07.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> Darf ich das so machen und stimmt das überhaupt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du musst aber noch klaeren, fuer welche $y$ deine Formel gilt. Und was gilt fuer die anderen?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Fr 07.06.2013 | | Autor: | saendra |
Vielen Dank für deine Antwort Luis!
Hmm also ich könnte mir vorstellen, dass es Probleme gibt, wenn $y$ negativ ist und [mm] \rho [/mm] z.B. [mm] \frac{1}{2}, [/mm] weil dann in folgendem Zwischenschritt
$ [mm] P(X^\frac{1}{\rho}\le y)=P(X\le y^\rho) [/mm] $
z.B. [mm] $y^\rho=(-1)^\frac{1}{2}=i$ [/mm] steht. Meinst du sowas? Was ist dann mit denen? Soll ich die als 0 definieren?
GLG Sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Fr 07.06.2013 | | Autor: | luis52 |
Du denkst zu kompliziert. Es ist [mm] $Y=X^{1/\rho}=\exp[(1/\rho)\ln(X)]$. [/mm] Damit kann $Y$ keine negativen Werte annehmen, so dass [mm] $P(Y\le [/mm] y)=0$ fuer alle [mm] $y\le0$. [/mm] Deine Formel gilt fuer alle $y>0$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Fr 07.06.2013 | | Autor: | saendra |
alles klar dankeschön
Als Hinweis stand noch dabei: Transformationssatz/-formel anwenden. Aber den habe ich hier doch gar nicht gebraucht?
Wie würde es mit dem gehen?
Um die Dichtefunktion von $Y$ zu erhalten muss ich einfach nur noch ableiten oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Fr 07.06.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> Als Hinweis stand noch dabei: Transformationssatz/-formel
> anwenden. Aber den habe ich hier doch gar nicht gebraucht?
Richtig. Aber vielleicht will der Aufgabensteller, dass das mal uebst.
>
> Wie würde es mit dem gehen?
Mach mal einen Anfang. 
>
> Um die Dichtefunktion von [mm]Y[/mm] zu erhalten muss ich einfach
> nur noch ableiten oder?
Korrekt.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Fr 07.06.2013 | | Autor: | saendra |
okay hmm ich sehe da auf den ersten Blick keine großen Gemeinsamkeiten mit meiner Aufgabe. Die Transformationsformel ist ja ein Hilfsmittel bei bestimmten Integrationen.
Das [mm] $\Omega$ [/mm] aus dem ![[]](/images/popup.gif) Wiki-Artikel könnte bei mir der Definitionsbereich von $X$ sein. Aber was ist [mm] \Phi [/mm] in meinem Fall?
Ich glaube du merkst schon, dass ich die Formel noch nie angewandt habe :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:03 Mo 10.06.2013 | | Autor: | saendra |
Sooo also das mit der Trafo-Formel hat jetzt geklappt. Danke für alles!
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
Inwiefern?
