Dichte vom X*Y < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Druss |
| Aufgabe | | Möchte die Verteilungsfunktion herleiten |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher aber irgendwo mache ich glaube einen Fehler
[mm] F_{X\cdot Y} [/mm] (z) = [mm] P(X\cdot [/mm] Y [mm] \le [/mm] z) = [mm] \int\int\limits_{x\cdot y\le z} [/mm] f(x,y) \ dx \ dy
= ... = [mm] \int\limits_{-\infty}^z\left( f\left(\frac{u}{v}, v\right)\cdot\frac{1}{|v|} \ dv\right) [/mm] \ du
ich möchte nun das =...= etwas mit leben füllen
[mm] P(X\cdot [/mm] Y [mm] \le [/mm] z) = [mm] \int\limits_{-\infty}^\infty \left(\int\limits_{-\infty}^\infty 1_{[0,\infty)} (x\cdot y) f\left(x,y\right) \ dy\right) [/mm] \ dx
Substitution: u = [mm] x\cdot [/mm] y, v=y
= [mm] \int\limits_{-\infty}^z \left( \int\limits_{0}^\infty f\left(\frac{u}{v},v\right) \ dv\right) [/mm] \ du
= [mm] \int\limits_{-\infty}^z \left(f_X * f_Y\right) [/mm] (u) \ du
also währe [mm] \left(f_X * f_Y\right) [/mm] die Dichte von [mm] X\cdot [/mm] Y und [mm] \int\limits_{-\infty}^z \left(f_X * f_Y\right) [/mm] (u) \ du entsprechend die Verteilungsfunktion.
ist das so richtig oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
mfg
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Hallo Druss,
> Möchte die Verteilungsfunktion herleiten
> Hallo,
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> ich bin mir nicht sicher aber irgendwo mache ich glaube
> einen Fehler
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> [mm]F_{X\cdot Y}[/mm] (z) = [mm]P(X\cdot[/mm] Y [mm]\le[/mm] z) =
> [mm]\int\int\limits_{x\cdot y\le z}[/mm] f(x,y) \ dx \ dy
>
> = ... = [mm]\int\limits_{-\infty}^z\left( f\left(\frac{u}{v}, v\right)\cdot\frac{1}{|v|} \ dv\right)[/mm]
> \ du
>
> ich möchte nun das =...= etwas mit leben füllen
>
> [mm]P(X\cdot[/mm] Y [mm]\le[/mm] z) = [mm]\int\limits_{-\infty}^\infty \left(\int\limits_{-\infty}^\infty 1_{[0,\infty)} (x\cdot y) f\left(x,y\right) \ dy\right)[/mm]
> \ dx
>
> Substitution: u = [mm]x\cdot[/mm] y, v=y
>
>
> = [mm]\int\limits_{-\infty}^z \left( \int\limits_{0}^\infty f\left(\frac{u}{v},v\right) \ dv\right)[/mm]
> \ du
Hier muss doch stehen:
[mm]\int\limits_{-\infty}^z \left( \int\limits_{\blue{-\infty}}^{\infty} \red{\bruch{1}{\vmat{v}}} f\left(\frac{u}{v},v\right) \ dv \right) \ du[/mm]
Dann ist [mm]f_{XY}\left(u\right)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} {\bruch{1}{\vmat{v}} f\left(\frac{u}{v},v\right) \ dv\right)[/mm]
Demnach lautet die Verteilungsfunktion: [mm]\int\limits_{-\infty}^{z}{f_{XY}\left(u\right) \ du}[/mm]
>
> = [mm]\int\limits_{-\infty}^z \left(f_X * f_Y\right)[/mm] (u) \ du
>
> also währe [mm]\left(f_X * f_Y\right)[/mm] die Dichte von [mm]X\cdot[/mm] Y
> und [mm]\int\limits_{-\infty}^z \left(f_X * f_Y\right)[/mm] (u) \ du
> entsprechend die Verteilungsfunktion.
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> ist das so richtig oder habe ich irgendwo einen Fehler
> gemacht?
>
> mfg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Druss |
hey,
danke für deine antwort.
woher kommt die [mm] \frac{1}{|v|} [/mm] ?
bin mir fast sicher durch die substitution aber kann gerade nicht genau nachvollziehen wie.
wenn ich [mm] u=x\cdot [/mm] y und v=y subsituiere
muss ich auch doch auch nach subsitutionregel
die integrationsterme dx und dy ersetzen aber ich verstehe an dieser stelle nicht wie
mfg
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Hallo Druss,
> hey,
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> danke für deine antwort.
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> woher kommt die [mm]\frac{1}{|v|}[/mm] ?
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> bin mir fast sicher durch die substitution aber kann gerade
> nicht genau nachvollziehen wie.
>
> wenn ich [mm]u=x\cdot[/mm] y und v=y subsituiere
>
> muss ich auch doch auch nach subsitutionregel
>
> die integrationsterme dx und dy ersetzen aber ich verstehe
> an dieser stelle nicht wie
Hier kommt die ![[]](/images/popup.gif) Funktionaldeterminante ins Spiel.
>
> mfg
>
Gruss
MathePower
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