Dichte von zwei Exp.Vert ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 27.02.2007 | | Autor: | setine |
| Aufgabe | Aufgabe 3
X und Y sind unabhängige exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parametrn [mm] $\lambda_X=2$ [/mm] und [mm] $\lambda_Y=3$. [/mm] Sei nun [mm] $M:=\max{X,Y}$ [/mm] das Maximum von X und Y.
a) Welche Werte kann M annehmen und was ist die Dichte von M? |
[mm] $f_M(t) [/mm] = P(M=t) = P(max(X,Y) = t) = $
[mm] $P(\{X=t\} \cup \{Y=t\}) [/mm] = $
$P(X=t)+P(Y=t) - [mm] P(\{X=t\} \cap \{Y=t\}) [/mm] = $
$P(X=t)+P(Y=t) - [mm] P(X=t)\cdot [/mm] P(Y=t) = $
[mm] $f_X(t)+$f_Y(t)-f_X(t) \cdot f_Y(t)$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow f_M(t) [/mm] = [mm] 2e^{-2t}+3e^{-3t}-6e^{-5t}$
[/mm]
wäre mein Resultat, was aber falsch ist gemäss Musterlösung ;)
Richtig ist dort:
[mm] $f_M(t) [/mm] = [mm] 2e^{-2t}+3e^{-3t}-5e^{-5t}$
[/mm]
(6 sollte 5 sein)
In der ![[]](/images/popup.gif) Musterlösung (pdf)wird ein ganz anderer Weg eingeschlagen um die Aufgabe zu lösen. Es handelt sich hierbei um die Aufgabe 3a).
Hab ich etwas vergessen? Oder ist mein Lösungsweg sogar ganz falsch?
Vielen Dank im Voraus,
Setine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Di 27.02.2007 | | Autor: | setine |
Ich vermute den Fehler in der 2. Zeile:
$P(max(X,Y) = t) = [mm] P(\{X=t\} \cup \{Y=t\})$
[/mm]
Denn $max(X,Y)=t [mm] \Rightarrow [/mm] X=t [mm] \vee [/mm] Y=t$ aber nicht $X=t [mm] \vee [/mm] Y=t [mm] \Rightarrow [/mm] max(X,Y)=t$
Kann mans noch irgendwie retten ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Di 27.02.2007 | | Autor: | luis52 |
Grüezi setine,
das Ganze wird meines Erachtens einfacher, wenn du zunaechst die
Verteilungsfunktion [mm] $G(t)=P(M\le [/mm] t)$ von $M$ bestimmst und die Dichte
anschliessend durch $g(t)=G'(t)$ herleitest.
Ansatz: [mm] $G(t)=P(M\le t)=P((X\le t)\cap (Y\le t))=P(X\le t)P(Y\le [/mm] t)$.
Beachte die Verwendung von [mm] "$\cap$" [/mm] und nicht [mm] "$\cup$".
[/mm]
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Di 27.02.2007 | | Autor: | setine |
Ah! Bei dieser etwas anderen schreibweise als in der Musterlösung ist mir das Licht aufgegangen ;) Vielen Dank!
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