Dichte zus.gesetzter ZV best. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] seien unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Sie zeigen nun, dass [mm] Y:=X_1^2+X_2^2 [/mm] als Zufallsvariable eine Dichte bez. dem Lebesgue-Mass besitzt. Berechnen Sie diese Dichte.
Hinweis: Betrachten Sie [mm] $\bruch{d}{dt} [/mm] P(Y [mm] \le [/mm] t)$ |
P(Y [mm] \le t)=P(X_1^2+X_2^2 \le t)=P(X_1^2 \le t-X_2^2)=P(-\wurzel(t-X_2^2) \le [/mm] t [mm] \le \wurzel(t-X_2^2)) =\bruch{1}{\wurzel{2* \pi }} \integral_{-\wurzel{t-X_2^2}}^{\wurzel{t-X_2^2}}{e^{-\bruch{1}{2}*x^2} \lambda(dx)}
[/mm]
Wenn ich hier nun nach t differenziere, kriege ich aber 0 heraus. Wie würdet ihr das Integral oben weiterentwickeln bzw. wie würdet ihr das [mm] X_2 [/mm] wegkriegen?
Grüsse
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Hiho,
da hast du gleich mehrere Fehler auf einmal gemacht.
> Hinweis: Betrachten Sie [mm]\bruch{d}{dt} P(Y \le t)[/mm]
> P(Y [mm]\le t)=P(X_1^2+X_2^2 \le t)=P(X_1^2 \le t-X_2^2)=P(-\wurzel(t-X_2^2) \le[/mm] t [mm][mm] \le \wurzel(t-X_2^2)) [/mm]
Hier meinst du sicherlich [mm] $P(-\wurzel(t-X_2^2) \le X_1 \le \wurzel(t-X_2^2))$
[/mm]
> [mm] =\bruch{1}{\wurzel{2* \pi }} \integral_{-\wurzel{t-X_2^2}}^{\wurzel{t-X_2^2}}{e^{-\bruch{1}{2}*x^2} \lambda(dx)}$
[/mm]
Das ist falsch, da fehlt sowohl das Integral über [mm] X_2 [/mm] als auch die Dichtefunktion von [mm] X_2!
[/mm]
Selbst wenn du das Integral korrekt gelöst hättest, würde es noch von [mm] X_2 [/mm] abhängen, was bei einer Wahrscheinlichkeit ja gar nicht sein kann.
> Wenn ich hier nun nach t differenziere, kriege ich aber 0
> heraus. Wie würdet ihr das Integral oben weiterentwickeln
> bzw. wie würdet ihr das [mm]X_2[/mm] wegkriegen?
Wie gesagt: Berechne die Verteilung korrekt, indem du noch über [mm] x_2 [/mm] integrierst (Grenzen beachten!), dann ist sowohl dein [mm] X_2 [/mm] weg, als auch ein t vorhanden.
MFG,
Gono.
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