Dichtefunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 So 02.03.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Gegeben sei eine stetige Zufallsgröße X mit der folgenden Dichtefunktion:
f(x)= [mm] \begin{cases} x, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ c, & \mbox{wenn } 1 < x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
Überprüfe, ob gilt:
a) P(X > 2) > 0
b) c = 1 / 3 |
Hallo,
mein Ansatz wäre die Verteilungsfunktion zu definieren:
F(x)= [mm] \begin{cases} 0,5x^2, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ cx, & \mbox{wenn } 1 < x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
Da die Verteilungsfunktion ja quasi am letzten Punkt (3) 1 annimmt bzw. sich das Intervall von 0 bis 1 erstreckt, muss c=1/3 > 0 sein. Damit ist a) und b) richtig. In den Lösungen erhält man für c=1/4. Hier hat man das Integral der Dichte von 0 bis 3 gleich 1 gesetzt und nach c aufgelöst.
Der Lösungsschritt ist einleuchtend, aber wieso komme ich mit meinem Ansatz zu einem anderen Ergebnis? Wo ist mein Denkfehler?
LG
Mathics
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Hallo Mathics,
> Gegeben sei eine stetige Zufallsgröße X mit der folgenden
> Dichtefunktion:
>
> f(x)= [mm]\begin{cases} x, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ c, & \mbox{wenn } 1 < x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases}[/mm]
>
> Überprüfe, ob gilt:
>
> a) P(X > 2) > 0
> b) c = 1 / 3
> Hallo,
>
> mein Ansatz wäre die Verteilungsfunktion zu definieren:
>
> F(x)= [mm]\begin{cases} 0,5x^2, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ cx, & \mbox{wenn } 1 < x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases}[/mm]
>
Für [mm]0\le x \le 1 [/mm] stimmt die Verteilungsfunktion.
Für [mm]1 < x < 3[/mm] ergibt sich die Verteilungsfunktion wie folgt:
[mm]F\left(x\right)=\integral_{0}^{1}{x \ dx}+\integral_{1}^{x}{c \ dx}[/mm]
und für [mm]x\ge 3[/mm] ist [mm]F\left(x\right)=1[/mm]
> Da die Verteilungsfunktion ja quasi am letzten Punkt (3) 1
> annimmt bzw. sich das Intervall von 0 bis 1 erstreckt, muss
> c=1/3 > 0 sein. Damit ist a) und b) richtig. In den
> Lösungen erhält man für c=1/4. Hier hat man das Integral
> der Dichte von 0 bis 3 gleich 1 gesetzt und nach c
> aufgelöst.
>
> Der Lösungsschritt ist einleuchtend, aber wieso komme ich
> mit meinem Ansatz zu einem anderen Ergebnis? Wo ist mein
> Denkfehler?
>
Höchstwahrscheinlich hast Du hier Gleichverteilung angenommen.
> LG
> Mathics
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 So 02.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Mathics,
>
> > Gegeben sei eine stetige Zufallsgröße X mit der folgenden
> > Dichtefunktion:
> >
> > f(x)= [mm]\begin{cases} x, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ c, & \mbox{wenn } 1 < x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases}[/mm]
>
> >
> > Überprüfe, ob gilt:
> >
> > a) P(X > 2) > 0
> > b) c = 1 / 3
> > Hallo,
> >
> > mein Ansatz wäre die Verteilungsfunktion zu definieren:
> >
> > F(x)= [mm]\begin{cases} 0,5x^2, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ cx, & \mbox{wenn } 1 < x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases}[/mm]
>
> >
>
>
> Für [mm]0\le x \le 1[/mm] stimmt die Verteilungsfunktion.
>
> Für [mm]1 < x < 3[/mm] ergibt sich die Verteilungsfunktion wie
> folgt:
>
> [mm]F\left(x\right)=\integral_{0}^{1}{x \ dx}+\integral_{1}^{x}{c \ dx}[/mm]
>
> und für [mm]x\ge 3[/mm] ist [mm]F\left(x\right)=1[/mm]
>
>
> > Da die Verteilungsfunktion ja quasi am letzten Punkt (3) 1
> > annimmt bzw. sich das Intervall von 0 bis 1 erstreckt, muss
> > c=1/3 > 0 sein. Damit ist a) und b) richtig. In den
> > Lösungen erhält man für c=1/4. Hier hat man das Integral
> > der Dichte von 0 bis 3 gleich 1 gesetzt und nach c
> > aufgelöst.
> >
> > Der Lösungsschritt ist einleuchtend, aber wieso komme ich
> > mit meinem Ansatz zu einem anderen Ergebnis? Wo ist mein
> > Denkfehler?
> >
>
>
> Höchstwahrscheinlich hast Du hier Gleichverteilung
> angenommen.
>
>
> > LG
> > Mathics
>
>
Hallo,
der Flächeninhalt unter dem Graphen muss 1 sein.
Von 0 bis 1 beträgt er 0,5. Vor Null und nach 3 ist er 0. Also muss der Inhalt unter dem vebleibenden konstanten "Reststück" zwischen und 3 auch 0,5 ergeben. Da c konstant ist, hast du da ein Rechteck mit der Breite 2 und der Höhe c.
Demzufolge muss c=0,25 gelten (und nicht c=1/3)!
Gruß Abakus
> Gruss
> MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 So 02.03.2014 | | Autor: | Mathics |
Wenn ich 1/4 einsetze, nimmt doch kein Träger den Wert 1 in der Verteilfunktion ein, oder? Ich dachte, dass sich die Verteilfunktion immer von 0 bis 1 erstreckt oder übersehe ich grad etwas?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Mo 03.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Wenn ich 1/4 einsetze, nimmt doch kein Träger den Wert 1
> in der Verteilfunktion ein, oder? Ich dachte, dass sich die
> Verteilfunktion immer von 0 bis 1 erstreckt oder übersehe
> ich grad etwas?
>
> LG
> Mathics
1/2 (der Flächeninhalt des ersten Intervalls) plus
2* 1/4 (der Flächeninhalt des zweiten Intervalls) IST aber genau 1.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Mathics |
Ich hab mal versucht, die Verteilungsfunktion zu zeichnen. Hat die bei 1 nicht einen Sprung? Weil von 0 bis 1 ist es ja zum einen [mm] 1/2*x^2 [/mm] und von 1 bis 3 1/4*x. Bei 1 wäre doch der Wert der Verteilungsfunktion einmal [mm] 1/2*1^2 [/mm] = 1/2 und einmal 1/4*1 = 1/4, oder?
Ich hab's hier mal gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mo 03.03.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin,
die Zeichnung der Verteilungsfunktion $F_$ ist falsch. Diese muss stetig sein in $x=1$ und es muss gelten $F(3)=1$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Mathics |
Dann muss ich einen Denkfehler haben, aber ich komm nicht drauf.
Wenn ich mir die Verteilungsfunktion anschaue:
[mm] \begin{cases} 0,5x^2, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ 1/4x, & \mbox{wenn } 1 < x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases} [/mm]
Bei x=3 ergibt das doch F(3)=3/4, oder nicht? Wieso ist dann bei x=3 F(3) = 1 ?
Ich kann das aus der Verteilungsfunktion leider nicht entnehmen.
LG
Mathics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mo 03.03.2014 | | Autor: | luis52 |
Es ist [mm] $F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^xf(t)\,dt$. [/mm]
Erster Fall: [mm] $0
Zweiter Fall: $1<x< 3$. Dann ist
[mm] $F(x)=\int_{0}^1f(t)\,dt +\int_{1}^xf(t)\,dt [/mm] =1/2+c(x-1)$.
Aus $F(3)=1$ folgt $c=1/4$. (Vgl. deine Zeichnung.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Mathics |
Wäre dann F(1) = [mm] 0,5*1^2 [/mm] = 0,5 ?
Also: [mm] F(1)=\int_{0}^1f(t)\,dt +\int_{1}^1f(t)\,dt [/mm] =1/2 - 0 + 1/4 - 1/4
Ist das richtig?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Mo 03.03.2014 | | Autor: | luis52 |
> Ist das richtig?
Ja.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Mathics |
Echt vielen Dank für die Erklärungen! Jetzt habe ich die Aufgabe verstanden :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Mathics |
Ich hab kurz nochmal eine Frage zu der ursprünglichen Dichtefunktion:
f(x) = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ 1/4, & \mbox{wenn } 1 < x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
Wenn ich diesmal bei der Dichtefunktion bleibe und f(1) berechnen will, brauche ich doch das Integral nicht zu bilden, oder? Dann würde ich doch rechnen: 1 + 1/4 = 5/4 ? Also würde ich für meine Dichtefunktion in meinem xy-Koordinatensystem bei x=1 den Wert 5/4 eintragen?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mo 03.03.2014 | | Autor: | luis52 |
> Ich hab kurz nochmal eine Frage zu der ursprünglichen
> Dichtefunktion:
>
>
> f(x) = [mm]\begin{cases} x, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ 1/4, & \mbox{wenn } 1 < x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases}[/mm]
>
> Wenn ich diesmal bei der Dichtefunktion bleibe und f(1)
> berechnen will, brauche ich doch das Integral nicht zu
> bilden, oder? Dann würde ich doch rechnen: 1 + 1/4 = 5/4 ?
> Also würde ich für meine Dichtefunktion in meinem
> xy-Koordinatensystem bei x=1 den Wert 5/4 eintragen?
Wieso das? Es ist [mm] $0\le 1\le [/mm] 1$, so dass $f(1)=1$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Mathics |
Also muss ich hier einfach nur die Werte in den Intervallen ablesen? x, wenn 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3, also 1 bei x=1. Und in 1 < x < 3, fällt x=1 ja nicht rein. Also trotzdem nicht so wie bei der Verteilungsfunktion das Integral bilden.
Was wäre, wenn da stehen würde:
f(x) = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ 1/4, & \mbox{wenn } 1 \le x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
Also statt 1 < x < 3 , nun 1 [mm] \le [/mm] x < 3
Wäre das dann 1 + 1/4 = 5/4 ?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mo 03.03.2014 | | Autor: | luis52 |
> Also muss ich hier einfach nur die Werte in den
> Intervallen ablesen? x, wenn 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3, also 1 bei x=1.
> Und in 1 < x < 3, fällt x=1 ja nicht rein. Also trotzdem
> nicht so wie bei der Verteilungsfunktion das Integral
> bilden.
>
> Was wäre, wenn da stehen würde:
>
> f(x) = [mm]\begin{cases} x, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ 1/4, & \mbox{wenn } 1 \le x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases}[/mm]
>
> Also statt 1 < x < 3 , nun 1 [mm]\le[/mm] x < 3
>
> Wäre das dann 1 + 1/4 = 5/4 ?
>
>
> LG
> Mathics
Das ist keine Funktion: Die $1$ wird auf $1$ und auf $1/4$ abgebildet.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Mathics |
Oh, stimmt :D
Ja, ich glaube, ich mach mir da grad zu viele Gedanken.
Gute Nacht :)
LG
Mathics
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Mathics |
Entschuldigt bitte, wenn ich dieses Thema erneut aufgreife, aber heute hat mir mein Prof gesagt, dass mein Ergebnis nicht richtig sei.
Er meinte meine Verteilungsfunktion gehöre nicht zu einer stetigen Verteilung.
F(x) = [mm] \begin{cases} 0,5x^2, & \mbox{wenn } 0 \le x \le \mbox{ 1} \\ 1/4x, & \mbox{wenn } 1 < x < 3 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst. } \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
Er hat mir meine Funktion aufgezeichnet und sie war genauso wie ich sie in einem früheren Post gezeichnet hatte, und zwar so:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Um F(1) zu herauszufinden, müsse man sich nur das Intervall 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 anschauen und [mm] 0,5*1^2 [/mm] = 0,5 rechnen. Da es einen Sprung gibt, gilt noch im Intervall 1 < x < 3, 1/4*1 = 1/4.
Ich bin jetzt leider verwirrt :(
LG
Mathics
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
eine Verteilungsfunktion, ganz gleich ob diskret oder stetig oder irgendwas zwischendrin muss jedenfalls monoton wachsend sein und es muss gelten
[mm] \lim_{x\to-\infty}F(x)=0
[/mm]
[mm] \lim_{x\to\infty}F(x)=1
[/mm]
Wenn du dir mal deine Verteilungsfunktion daraufhin ansiehst, dann wird dir vielleicht klar, dass du das ganze mittels einer kleinen Addition im Intervall [mm] 1
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Mathics |
Ich hab ja ursprünglich einfach 1/4 aufgeleitet und das kann einmal sein: 1/4x oder 1/4x + eine beliebige Zahl ohne x-Variable. Folglich würde ich im Intervall [mm] 1
Meinst du so?
LG
Mathics
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Hallo,
> Ich hab ja ursprünglich einfach 1/4 aufgeleitet
Dieses Verb kenne ich nicht, aus Prinzip, das gebe ich zu: es ist der Gipfel einer Kunst namens simplifizierender Nonsens, und auch die lehne ich aus ideologischen Gründen ab. 
> und das
> kann einmal sein: 1/4x oder 1/4x + eine beliebige Zahl ohne
> x-Variable.
Das ist stets letzteres!
> Folglich würde ich im Intervall [mm]1
> sagen: 1/4x + 1/4.
>
>
> Meinst du so?
Ja. Denn jetzt hast du F(3)=1 wie gewünscht, und als angenehmer Nebeneffekt folgt noch die Stetigkeit an der Stelle x=1. Diese wäre nicht unbedingt notwendig: nach oben darf eine Verteilungsfunktion springen, nur eben nicht nach unten.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Mi 05.03.2014 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
>
> > Ich hab ja ursprünglich einfach 1/4 aufgeleitet
>
> Dieses Verb kenne ich nicht, aus Prinzip, das gebe ich zu:
> es ist der Gipfel einer Kunst namens simplifizierender
> Nonsens, und auch die lehne ich aus ideologischen Gründen
> ab.
>
Amen!
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