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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mi 02.08.2006 | | Autor: | ClaudiV |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgende Funktion ( x ≥ 0 ):
f (x) = (c/4) exp(-0.8x)
a) Für welchen Wert der Konstanten c ist diese Funktion eine Dichte? |
Mir ist im Prinzip schon klar wie man das berechnet. Es müssen 2 Bedingungen erfüllt sein: f(x) ≥ 0 und ∫f(x) dx=1
also das Integral von -∞ bis ∞ (Ich weiß leider nicht wie man ein Integral wo die Grenzen dran stehen einfügt tut mir Leid).
Die 1. Bed. ist für alle c ≥ 0 erfüllt. Naja und bei der 2. Bedingung gibt es ein paar Probleme. Es gibt eine Musterlösung zu der Klausur, in der die das Integral von 0 bis ∞ berechnet haben. Ich versteh aber nicht wieso man genau diese Grenzen nimmt.
Außerdem muss man dann ja ∞ in die GLeichung einsetzen. Wenn ich das hier richtig sehe , dann kommt bei denen für das Integral von exp(-0,8*∞) 0 raus. Das kann doch nun aber gar nicht sein oder? Die e-Funktion kann doch niemals 0 ergeben oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> (Ich weiß
> leider nicht wie man ein Integral wo die Grenzen dran
> stehen einfügt tut mir Leid).
so:
\integral_{UntereGrenze}^{ObereGrenze}
> Die 1. Bed. ist für alle c ≥ 0 erfüllt. Naja und bei
> der 2. Bedingung gibt es ein paar Probleme. Es gibt eine
> Musterlösung zu der Klausur, in der die das Integral von 0
> bis ∞ berechnet haben. Ich versteh aber nicht wieso
> man genau diese Grenzen nimmt.
Du hast selbst gesagt, man muß von -oo bis +oo integrieren. In der Funktionsdefninition steht aber, daß die Funktion nur für x>0 gelten soll! Also macht eine kleinere untere grenze keinen Sinn, weil die Fkt da nicht definiert ist.
>
> Außerdem muss man dann ja ∞ in die GLeichung
> einsetzen. Wenn ich das hier richtig sehe , dann kommt bei
> denen für das Integral von exp(-0,8*∞) 0 raus. Das
> kann doch nun aber gar nicht sein oder? Die e-Funktion kann
> doch niemals 0 ergeben oder?
Nun, das ist eine Grenzwertbetrachtung. Je größer x, desto näher geht die Funktion gegen 0. Die Schreibweise [mm] $e^{-0,8\infty}=0$ [/mm] ist mathematisch alles andere als schmerzlos, eigentlich ist es eher [mm] $\lim_{x \to \infty}e^{-0,8x}=0$, [/mm] sagt aber beides das gleiche aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Mi 02.08.2006 | | Autor: | DirkG |
> Du hast selbst gesagt, man muß von -oo bis +oo integrieren.
> In der Funktionsdefninition steht aber, daß die Funktion
> nur für x>0 gelten soll! Also macht eine kleinere untere
> grenze keinen Sinn, weil die Fkt da nicht definiert ist.
Stimmt so nicht ganz: Die Dichte ist auch für x<0 definiert, nur ist sie dort einfach gleich Null - das wird gern bei der Angabe der Dichte weggelassen. Und wegen dieser Null kann der Bereich x<0 beim Integral dann weggelassen werden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Do 03.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
wollte doch mal in Erinnerung bringen, dass Integrale additiv verknüpft werden können an ihren Grenzen. Hier kommt dann die "intelligente" Null zum Zug.
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{c}{4}e^{-\bruch{8}{10}x} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{c}{4}e^{-\bruch{8}{10}x} dx}+\underbrace{\integral_{-\infty}^{0}{\bruch{c}{4}e^{-\bruch{8}{10}x} dx}}_{=0}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{c}{4}e^{-\bruch{8}{10}x} dx}+0={-\bruch{10c}{32}\underbrace{e^{-\bruch{8}{10}x}}_{e^{-\infty}\to{0}}}|_{0}^{\infty}=-\bruch{10c}{32}(0-1)\equiv1 [/mm] (damit f Dichte ist!)
Somit: [mm] c=\bruch{32}{10}=\bruch{16}{5}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Fr 04.08.2006 | | Autor: | ClaudiV |
Vielen Dank für eure Hilfe 
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