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| Aufgabe | Geben seinen [mm] \lambda [/mm] > 0 und die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} \lambda^2 x*e^{-\lambda *x}, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f eine Dichtefunktion ist.
b) Es sei X eine ZV mit Dichte f. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. |
Lösung:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\lambda^2 x*e^{-\lambda *x}dx}
[/mm]
[mm] =\lambda \integral_{0}^{\infty}{\lambda x*e^{-\lambda *x}dx}
[/mm]
= [mm] \lambda[-x*e^{-\lambda *x}] [/mm] (in den Grenzen von [mm] \infty [/mm] und 0) + [mm] \integral_{0}^{\infty}{\lambda e^{-\lambda *x}dx}
[/mm]
= 0 +1
= 1
b)
[mm] E(X)=\integral_{0}^{\infty}{x*\lambda^2 x*e^{-\lambda *x}dx}
[/mm]
= [mm] \lambda \integral_{0}^{\infty}{x^2*e^{-\lambda *x}dx}
[/mm]
= [mm] \lambda[-x^2 *e^{-\lambda *x}] [/mm] (in den Grenzen von [mm] \infty [/mm] und 0) + [mm] \lambda*\integral_{0}^{\infty}{2x*e^{-\lambda *x}dx}
[/mm]
= 0 + [mm] \bruch{2}{\lambda} \integral_{0}^{\infty}{\lambda^2 xe^{-\lambda *x}dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{\lambda}
[/mm]
Hi,
ich habe bei diesen beiden Lösungen eigentlich ähnliche Fragen.
1) Bei a), der Anfang ist noch klar, nur ich verstehe nicht, wie die dritte Zeile zustande kommt, wenn ich das integral von [mm] =\lambda \integral_{0}^{\infty}{\lambda x*e^{-\lambda *x}dx} [/mm] bestimmen will, dann integriere ich das ganze und setzte die Grenzen ein, also wie in diesem Teil [mm] \lambda[-x*e^{-\lambda *x}] [/mm] (in den Grenzen von [mm] \infty [/mm] und 0). Was ich jetzt nicht verstehe, wieso die hier nochmal einen term dazu addieren, und zwar den hier + [mm] \lambda*\integral_{0}^{\infty}{2x*e^{-\lambda *x}dx}???
[/mm]
2) bei b) dann sehr ählich:
Man will das Integral = [mm] \lambda \integral_{0}^{\infty}{x^2*e^{-\lambda *x}dx} [/mm] bestimmen. man kommt also auf = [mm] \lambda[-x^2 *e^{-\lambda *x}] [/mm] (in den Grenzen von [mm] \infty [/mm] und 0) . Nur wie kommt der Rest da schon wieder zustande, also + [mm] \lambda*\integral_{0}^{\infty}{2x*e^{-\lambda *x}dx}??
[/mm]
Es sieht ja in beiden Aufgaben ganz danach aus, dass in a) die Ableitung von x genommen wird und in b) die Ableitung von [mm] x^2. [/mm] Nur ich habe dazu irgendwie keinen Satz bzw. ne Regel gefunden.
Danke für Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 So 17.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo jaruleking,
im Integranden taucht doch zweimal ein x auf, einmal als Potenz und einmal im Exponenten. Die partielle Integration hilft nun dabei, diese Integrale zu lösen. Die Idee dabei ist, dass das x, das in einer Potenz vorkommt abgebaut wird, sprich differenziert, und somit zu einem einfacheren Integral führt, wohingegen die Integration der e-Funktion immer wieder eine e-Funktion liefert.
Damit ist allerding einiges an Rechnerei verbunden.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 So 17.01.2010 | | Autor: | jaruleking |
Ah ok, danke euch. Jetzt habe ich es auch gesehen  .
Gruß
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Gammafunktion