Dichtefunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien X und Y unabhängige ZV, die beide die Dichte [mm] f(x=)c*e^{-x}1_{[0,1]}(x) [/mm] mit einer passenden Konstante c>0 besitzen.
a) Bestimmen Sie c so, dass f(x) eine Dichte ist.
b) Bestimmen Sie E(X)
c) Bestimmen Sie die Dichte [mm] f_{X+Y}(x) [/mm] von X+Y |
Hi, will mal gucken, ob jemand meine Rechnung bestätigen kann.
a)
Wegen [mm] 1=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=\integral_{0}^{1}{c*e^{-x} dx} [/mm] folgt c=1-e
b) [mm] E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}=\integral_{0}^{1}{x*(1-e)*e^{-x}dx}\integral_{0}^{1}{(x*e^{-x}- x*e^{1-x})dx}
[/mm]
=> [mm] E(X)=1-e^{-1}.
[/mm]
vielleicht erstmal a) und b), kann jemand diese Ergebnisse bestätigen??
Grüße
|
|
| |
|
Hallo,
> Es seien X und Y unabhängige ZV, die beide die Dichte
> [mm]f(x=)c*e^{-x}1_{[0,1]}(x)[/mm] mit einer passenden Konstante c>0
> besitzen.
>
> a) Bestimmen Sie c so, dass f(x) eine Dichte ist.
> b) Bestimmen Sie E(X)
> c) Bestimmen Sie die Dichte [mm]f_{X+Y}(x)[/mm] von X+Y
> a)
>
> Wegen [mm]1=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=\integral_{0}^{1}{c*e^{-x} dx}[/mm]
> folgt c=1-e
Darauf komme ich nicht.
Es ist
[mm] $\integral_{0}^{1}{c*e^{-x} dx} [/mm] = [mm] [-c*e^{-x}]_{0}^{1} [/mm] = [mm] -c*e^{-1} [/mm] - [mm] (-c*e^{0}) [/mm] = [mm] c*(1-e^{-1})$.
[/mm]
Also muss $c = [mm] \frac{1}{1-e^{-1}}$ [/mm] gelten.
> b) [mm]E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}=\integral_{0}^{1}{x*(1-e)*e^{-x}dx}\integral_{0}^{1}{(x*e^{-x}- x*e^{1-x})dx}[/mm]
>
> => [mm]E(X)=1-e^{-1}.[/mm]
Rechne das nochmal neu.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
hi,
> Darauf komme ich nicht.
> Es ist
> $ [mm] \integral_{0}^{1}{c\cdot{}e^{-x} dx} [/mm] = [mm] [-c\cdot{}e^{-x}]_{0}^{1} [/mm] = [mm] -c\cdot{}e^{-1} [/mm] - [mm] (-c\cdot{}e^{0}) [/mm] = [mm] c\cdot{}(1-e^{-1}) [/mm] $.
> Also muss $ c = [mm] \frac{1}{1-e^{-1}} [/mm] $ gelten.
ohhh ja stimmt, dachte man kann das einfach teilen, aber c = [mm] \frac{1}{1-e^{-1}}\not= 1-\bruch{1}{e^{-1}}
[/mm]
ok, beim EW komme ich dann im zweiten versuch auf:
[mm] E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{}f(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{x\cdot{}(\bruch{1}{1-e^{-1}})\cdot{}e^{-x}dx}
[/mm]
= [mm] [-x*\bruch{1}{1-e^{-1}}e^{-x}] [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}\cdot{}(\bruch{1}{1-e^{-1}}){e^{-x}dx}
[/mm]
dann komme ich auf:
=> [mm] E(X)=\bruch{1}{1-e^{-1}}
[/mm]
das müsste doch dieses mal stimmen, oder??
grüße
|
|
|
| |
|
Hallo!
> ok, beim EW komme ich dann im zweiten versuch auf:
>
> [mm]E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{}f(x) dx}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{1}{x\cdot{}(\bruch{1}{1-e^{-1}})\cdot{}e^{-x}dx}[/mm]
> = [mm][-x*\bruch{1}{1-e^{-1}}e^{-x}][/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{1}\cdot{}(\bruch{1}{1-e^{-1}})*\red{(-1)}*{e^{-x}dx}[/mm]
>
> dann komme ich auf:
>
> => [mm]E(X)=\bruch{1}{1-e^{-1}}[/mm]
>
> das müsste doch dieses mal stimmen, oder??
Schwingt da Hoffnung mit ? 
Nein, leider stimmt's nicht.
Ich schätze, dass der Fehler beim oben rotmarkierten liegt, wo du ein Minus vergessen hast (Integration von [mm] e^{-x} [/mm] ).
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
hmmmm,
eigentlich hatte ich in meiner Rechnung schon das (-) mit aufgeschrieben, hatte nur vergessen es auch zu posten. ich merke aber gerade, dass ich dann in meiner Rechnung an einer anderen Stelle das (-) auch vergessen hatte. bähhhh
[mm] E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{}f(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{x\cdot{}(\bruch{1}{1-e^{-1}})\cdot{}e^{-x}dx} [/mm]
= [mm] [-x\cdot{}\bruch{1}{1-e^{-1}}e^{-x}] [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}\cdot{}(\bruch{1}{1-e^{-1}})\cdot{}\red{(-1)}\cdot{}{e^{-x}dx} [/mm]
= [mm] \bruch{-e^{-1}}{1-e^{-1}}-[\bruch{1}{1-e^{-1}}e^{-x}] [/mm]
= [mm] \bruch{-2e^{-1}+1}{1-e^{-1}}
[/mm]
jetzt aber richtig oder??
ist aber auch ein hässlicher EW, der dort rauskommt. oder kann man das ergebnis noch vereinfachen, so dass das ergebnis schöner wird .
grüße
|
|
|
| |
|
vielen dank,
dann kommen wir mal jetzt zu der letzten teilaufgabe:
> c) Bestimmen Sie die Dichte $ [mm] f_{X+Y}(x) [/mm] $ von X+Y
D.h. wir müssen die faltung von [mm] f(x=)c\cdot{}e^{-x}1_{[0,1]}(x) [/mm] bestimmen.
Die formel dazu lautet in unserem Skript:
[mm] f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}
[/mm]
so versuch ich dies mal auf unsere fkt. anzuwenden, so erhalte ich:
[mm] f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{(\bruch{1}{1-e^{-1}})\cdot{}e^{-x}(\bruch{1}{1-e^{-1}})\cdot{}e^{z+x} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{(\bruch{e^z}{(1-e^{-1})*(1-e^{-1})})dx}
[/mm]
=> [mm] f_{X+Y}(z)=\bruch{e^z}{(1-e^{-1})^2}
[/mm]
haut das so hin??
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo!
> vielen dank,
>
> dann kommen wir mal jetzt zu der letzten teilaufgabe:
>
> > c) Bestimmen Sie die Dichte [mm]f_{X+Y}(x)[/mm] von X+Y
>
> D.h. wir müssen die faltung von
> [mm]f(x=)c\cdot{}e^{-x}1_{[0,1]}(x)[/mm] bestimmen.
>
> Die formel dazu lautet in unserem Skript:
>
> [mm]f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}[/mm]
Bist du dir sicher, dass links nicht [mm] F_{X+Y}(z), [/mm] also die Verteilungsfunktion von X+Y steht?
> so versuch ich dies mal auf unsere fkt. anzuwenden, so
> erhalte ich:
>
>
> [mm]f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{0}^{1}{(\bruch{1}{1-e^{-1}})\cdot{}e^{-x}(\bruch{1}{1-e^{-1}})\cdot{}e^{z+x} dx}[/mm]
Leider stimmt das schon nicht mehr.
Bedenke: [mm] $e^{-(z-x)} [/mm] = [mm] e^{-z+x}$.
[/mm]
Was aber noch schwerwiegender ist: Du musst die Indikatorfunktionen beachten!
[mm] $F_{X+Y}(z) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}$
[/mm]
$ = [mm] c^{2}*\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x}*1_{[0,1]}(x)*e^{-(z-x)}*1_{[0,1](z-x)} dx}$
[/mm]
Im Integral steht also nur etwas von 0 verschiedenes, wenn
$0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ (klar)
UND
$0 [mm] \le [/mm] z-x [mm] \le [/mm] 1$, also [mm] $z-1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] z$
ist. Du musst also eine Fallunterscheidung machen.
Fall 1: Wenn $z [mm] \ge [/mm] 2$ oder $z [mm] \le [/mm] 0$ ist, gibt's nichts zu berechnen, da kommt 0 raus.
Fall 2: Wenn $0 < z [mm] \le [/mm] 1$, ...
Fall 3: Wenn $1 < z < 2$, ...
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
hi stefan,
> $ [mm] f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx} [/mm] $
> Bist du dir sicher, dass links nicht $ [mm] F_{X+Y}(z), [/mm] $ also die Verteilungsfunktion von X+Y steht?
also bei uns im skript steht dort die Dichte und nicht die Verteilungsfkt, also [mm] f_{X+Y}(z). [/mm] Vielleicht aber auch nur ein Tippfehler? Weil weiß.
Bei der folgenden Rechnung, habe ich versucht, dies mit einem Beispiel ausm Internet zu rechnen, denke aber nicht, dass es so richtig ist.
> $ [mm] F_{X+Y}(z) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx} [/mm] $
> $ = [mm] c^{2}\cdot{}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x}\cdot{}1_{[0,1]}(x)\cdot{}e^{-(z-x)}\cdot{}1_{[0,1](z-x)} dx} [/mm] $
> Im Integral steht also nur etwas von 0 verschiedenes, wenn
> $ 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 $ (klar)
> UND
> $ 0 [mm] \le [/mm] z-x [mm] \le [/mm] 1 $, also $ [mm] z-1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] z $
> ist. Du musst also eine Fallunterscheidung machen.
> Fall 1: Wenn $ z [mm] \ge [/mm] 2 $ oder $ z [mm] \le [/mm] 0 $ ist, gibt's nichts zu berechnen, da kommt 0 raus.
Fall 2: Wenn 0 < z [mm] \le [/mm] 1:
= [mm] c^{2}\cdot{}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x}\cdot{}1_{[0,1]}(x)\cdot{}e^{-(z-x)}\cdot{}1_{[0,1](z-x)} dx}
[/mm]
= [mm] c^2\integral_{z-1}^{z}{e^{-x}e^{-(z-x)}dx}=c^2\integral_{z-1}^{z}{e^{-z}dx}
[/mm]
= [mm] c^2\integral_{0}^{z}{e^{-z}dx}
[/mm]
= [mm] c^2z*e^{-z}
[/mm]
Fall 3: Wenn 1 < z < 2:
= [mm] c^2\integral_{z-1}^{z}{e^{-z}dx}
[/mm]
= [mm] c^2\integral_{z-1}^{1}{e^{-z}dx}
[/mm]
= [mm] c^2(e^{-z}(2-z))
[/mm]
was denkst du???
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
> hi stefan,
>
> > [mm]f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}[/mm]
>
> > Bist du dir sicher, dass links nicht [mm]F_{X+Y}(z),[/mm] also die
> Verteilungsfunktion von X+Y steht?
>
> also bei uns im skript steht dort die Dichte und nicht die
> Verteilungsfkt, also [mm]f_{X+Y}(z).[/mm] Vielleicht aber auch nur
> ein Tippfehler? Weil weiß.
Nein, ich hatte mich vertan.
> Bei der folgenden Rechnung, habe ich versucht, dies mit
> einem Beispiel ausm Internet zu rechnen, denke aber nicht,
> dass es so richtig ist.
>
> > [mm]F_{X+Y}(z) = \integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}[/mm]
>
> > [mm]= c^{2}\cdot{}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x}\cdot{}1_{[0,1]}(x)\cdot{}e^{-(z-x)}\cdot{}1_{[0,1](z-x)} dx}[/mm]
>
> > Im Integral steht also nur etwas von 0 verschiedenes, wenn
> > [mm]0 \le x \le 1[/mm] (klar)
> > UND
> > [mm]0 \le z-x \le 1 [/mm], also [mm]z-1\le x \le z[/mm]
> > ist. Du musst
> also eine Fallunterscheidung machen.
> > Fall 1: Wenn [mm]z \ge 2[/mm] oder [mm]z \le 0[/mm] ist, gibt's nichts zu
> berechnen, da kommt 0 raus.
>
>
>
> Fall 2: Wenn 0 < z [mm]\le[/mm] 1:
>
> =
> [mm]c^{2}\cdot{}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x}\cdot{}1_{[0,1]}(x)\cdot{}e^{-(z-x)}\cdot{}1_{[0,1](z-x)} dx}[/mm]
>
> =
> [mm]c^2\integral_{z-1}^{z}{e^{-x}e^{-(z-x)}dx}=c^2\integral_{z-1}^{z}{e^{-z}dx}[/mm]
>
> = [mm]c^2\integral_{0}^{z}{e^{-z}dx}[/mm]
>
> = [mm]c^2z*e^{-z}[/mm]
Das Ergebnis stimmt.
Es sieht aber etwas komisch aus, dass du plötzlich die Grenzen des Integrals veränderst. Die Grenzen sind von Anfang an 0 und z, wenn du die Indikatorfunktionen weglässt.
> Fall 3: Wenn 1 < z < 2:
>
> = [mm]c^2\integral_{z-1}^{z}{e^{-z}dx}[/mm]
>
> = [mm]c^2\integral_{z-1}^{1}{e^{-z}dx}[/mm]
>
> = [mm]c^2(e^{-z}(2-z))[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ,
aber wieder: Grenzen sind z-1 und 1.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mo 12.04.2010 | | Autor: | jaruleking |
Besten Dank für deine Hilfe.
Grüße
|
|
|
| |
|
Hi Stefan, du hast es mir ja bei der anderen Fkt. gerade so schön gezeigt, wie man auf die Integrationsgrenzen kommt. Bei dieser Aufgabe sind mir gerade nochmal paar Fragen aufgetaucht.
Unsere Dichtefkt. war ja: $ [mm] f(x=)c\cdot{}e^{-x}1_{[0,1]}(x) [/mm] $
So, dann wollten wir die Faltung berechnen nach
[mm] f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx} [/mm]
Dann hast du ja angegeben:
> $ 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 $ (klar) UND $ 0 [mm] \le [/mm] z-x [mm] \le [/mm] 1 $, also $ [mm] z-1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] z $
Ok, das versteh ich jetzt noch.
Dann kamen die Fallunterscheidungen:
> Fall 1: Wenn $ z [mm] \ge [/mm] 2 $ oder $ z [mm] \le [/mm] 0 $ ist, gibt's nichts zu berechnen, da kommt 0 raus.
> Fall 2: Wenn $ 0 < z [mm] \le [/mm] 1 $, ...
> Fall 3: Wenn 1 < z < 2, ...
So wie komme ich dann bei Fall 2, bei den Integrationsgrenzen auf [0,z]??
Und bei Fall 3, auf [z-1,1]???
Wo muss man was einsetzen, um auf diese Grenzen zu kommen? Das habe ich hier noch nicht verstanden.
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Unsere Dichtefkt. war ja: [mm]f(x)=c\cdot{}e^{-x}1_{[0,1]}(x)[/mm]
>
> So, dann wollten wir die Faltung berechnen nach
>
> [mm]f_{X+Y}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_X(x)f_Y(z-x) dx}[/mm]
> Dann hast du ja angegeben:
>
> > [mm]0 \le x \le 1[/mm] (klar) UND [mm]0 \le z-x \le 1 [/mm], also [mm]z-1\le x \le z[/mm]
> Dann kamen die Fallunterscheidungen:
> > Fall 1: Wenn [mm]z \ge 2[/mm] oder [mm]z \le 0[/mm] ist, gibt's nichts zu
> berechnen, da kommt 0 raus.
> > Fall 2: Wenn [mm]0 < z \le 1 [/mm], ...
> > Fall 3: Wenn 1 < z < 2, ...
>
> So wie komme ich dann bei Fall 2, bei den
> Integrationsgrenzen auf [0,z]??
Wir wissen von oben, dass für das x in Abhängigkeit von [mm] z\in\IR [/mm] gilt:
[mm] $0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ und $z-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] z$.
Anschaulich kannst du dir das so vorstellen, dass wir auf dem Zahlenstrahl das Intervall [0,1] markiert haben und nun ein anderes Intervall der Länge 1 (nämlich [z-1,z] ) dort drüberschieben. Nur für Werte, die in beiden Intervallen enthalten sind (also beide obigen Bedingungen erfüllen --> beide Indikatorfunktionen werden "1" und nicht "0"), wird der Integrand ungleich Null:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dadurch entstehen zwei Fälle:
- Es kann nämlich sein, dass das bewegliche Intervall [z-1,z] noch nicht mit der linken Grenze z-1 über die Null gekommen ist (wie oben dargestellt); dass also z-1 < 0 gilt.
Dann bilden 0 und die rechte Intervallseite z (was dann ja kleiner als 1 sein muss) die Grenzen für die Integration.
> Und bei Fall 3, auf [z-1,1]???
- Andererseits kann es sein, dass das Intervall [z-1,z] mit der linken Grenze über die Null gekommen ist, also 0 < z-1 gilt. Dann bildet die linke Intervallgrenze z-1 zusammen mit 1 die Grenzen für die Integration.
Okay?
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Fr 16.04.2010 | | Autor: | jaruleking |
mal wieder super erklärt!!!!!!!!!
DANKE!!!!
|
|
|
|
