matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenWahrscheinlichkeitstheorieDichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl
Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Fr 01.05.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Leiten Sie die Dichtefunktion der [mm] \chi^2(1)-Verteilung [/mm] aus Kenntnis der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung her.
Tipp: X = [mm] Z^2 [/mm] ist für standardnormalverteiltes Z chi-quadrat-verteilt mit m = 1. Verwenden Sie nun P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) um die Verteilungsfunktion von X durch jene von Z auszudrücken.

Hallo!

Die Dichtefunktion der [mm] \chi^2-Verteilung [/mm] ist laut meinem Buch:

f(x) = [mm] \bruch{1}{2^{\bruch{m}{2}} \Gamma(\bruch{m}{2})} x^{\bruch{m}{2} - 1} e^{-\bruch{x}{2}}. [/mm]

Die der [mm] \chi^2(1)-Verteilung [/mm] lautet somit

f(x) = [mm] \bruch{1}{2^{\bruch{1}{2}} \Gamma(\bruch{1}{2})} x^{\bruch{1}{2} - 1} e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}} [/mm]

Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:

[mm] \phi(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}} [/mm]

Jetzt ist X = [mm] Z^2, [/mm] somit gilt

[mm] F_x(x) [/mm] = [mm] F_z(\wurzel{x}) [/mm]

Jetzt ableiten:

[mm] F_x'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}} F_z'(x^{\bruch{1}{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}} \phi(\wurzel{x}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}} \ne \bruch{1}{\wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}} [/mm]

Was mache ich falsch?

        
Bezug
Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Fr 01.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:
>  
> [mm]\phi(z)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}}[/mm]

Das solltest du nochmal nachschlagen…

  

> Jetzt ist X = [mm]Z^2,[/mm] somit gilt
>  
> [mm]F_x(x)[/mm] = [mm]F_z(\wurzel{x})[/mm]

Auch das ist nicht korrekt…
Schreib mal die Definition der Verteilungsfunktion für X konkret hin und Forme dann sauber äquivalent um! (Im Übrigen ist der Index von F die ZV, d.h. der Großbuchstabe)
Tipp: [mm] $Z^2 \le [/mm] x [mm] \not\gdw [/mm] Z [mm] \le \sqrt{x}$ [/mm]

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Sa 02.05.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

> > Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:
>  >  
> > [mm]\phi(z)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}}[/mm]
>  
> Das solltest du nochmal nachschlagen…

Tippfehler!

>  
>
> > Jetzt ist X = [mm]Z^2,[/mm] somit gilt
>  >  
> > [mm]F_x(x)[/mm] = [mm]F_z(\wurzel{x})[/mm]
>  Auch das ist nicht korrekt…
>  Schreib mal die Definition der Verteilungsfunktion für X
> konkret hin und Forme dann sauber äquivalent um! (Im
> Übrigen ist der Index von F die ZV, d.h. der
> Großbuchstabe)
>  Tipp: [mm]Z^2 \le x \not\gdw Z \le \sqrt{x}[/mm]

Bin leider zu doof; die Definition der Verteilungsfunktion für X:

[mm] F_X(x) [/mm] = P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) = P(|Z| [mm] \le \wurzel{x}) [/mm]

Aber was kann ich damit anfangen. Ich brauche

P(Z [mm] \le [/mm] irgendwas)

statt

P(|Z| [mm] \le [/mm] irgendwas)

um mit [mm] F_Z(irgendwas) [/mm]

gleichsetzen zu können ... :-(

Bezug
                        
Bezug
Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Sa 02.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Bin leider zu doof; die Definition der Verteilungsfunktion
> für X:
>  
> [mm]F_X(x)[/mm] = P(X [mm]\le[/mm] x) = [mm]P(Z^2 \le[/mm] x) = P(|Z| [mm]\le \wurzel{x})[/mm]

Bis hierhin ja schon ganz gut.

>  
> Aber was kann ich damit anfangen. Ich brauche
>  
> P(Z [mm]\le[/mm] irgendwas)
>  
> statt
>  
> P(|Z| [mm]\le[/mm] irgendwas)

korrekt.

Es ist doch aber: $|Z| [mm] \le [/mm] z [mm] \gdw [/mm] -z [mm] \le [/mm] Z [mm] \le [/mm] z$

und schon bekommen wir (da Z stetig):
[mm] $F_X(x)= [/mm] P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) = P(|Z| [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] = [mm] P(-\wurzel{x} \le [/mm] Z [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] = P(Z [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] - P(Z [mm] \le -\wurzel{x})$ [/mm]

Insgesamt also:
[mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] F_Z(\wurzel{x}) [/mm] - [mm] F_Z(-\wurzel{x})$ [/mm]

Damit könnte man ja schon arbeiten… wenn man nun aber noch nutzt, dass Z standardnormalverteilt ist, gilt ja sogar [mm] $F_Z(-\wurzel{x}) [/mm] = 1 - [mm] F_Z(\wurzel{x})$ [/mm] und der ganze Spaß vereinfacht sich zu:

[mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] 2F(\wurzel{x}) [/mm] - 1$

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]