Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Leiten Sie die Dichtefunktion der [mm] \chi^2(1)-Verteilung [/mm] aus Kenntnis der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung her.
Tipp: X = [mm] Z^2 [/mm] ist für standardnormalverteiltes Z chi-quadrat-verteilt mit m = 1. Verwenden Sie nun P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) um die Verteilungsfunktion von X durch jene von Z auszudrücken. |
Hallo!
Die Dichtefunktion der [mm] \chi^2-Verteilung [/mm] ist laut meinem Buch:
f(x) = [mm] \bruch{1}{2^{\bruch{m}{2}} \Gamma(\bruch{m}{2})} x^{\bruch{m}{2} - 1} e^{-\bruch{x}{2}}.
[/mm]
Die der [mm] \chi^2(1)-Verteilung [/mm] lautet somit
f(x) = [mm] \bruch{1}{2^{\bruch{1}{2}} \Gamma(\bruch{1}{2})} x^{\bruch{1}{2} - 1} e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}}
[/mm]
Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:
[mm] \phi(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}}
[/mm]
Jetzt ist X = [mm] Z^2, [/mm] somit gilt
[mm] F_x(x) [/mm] = [mm] F_z(\wurzel{x})
[/mm]
Jetzt ableiten:
[mm] F_x'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}} F_z'(x^{\bruch{1}{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}} \phi(\wurzel{x}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}} \ne \bruch{1}{\wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}}
[/mm]
Was mache ich falsch?
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Hiho,
> Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:
>
> [mm]\phi(z)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}}[/mm]
Das solltest du nochmal nachschlagen…
> Jetzt ist X = [mm]Z^2,[/mm] somit gilt
>
> [mm]F_x(x)[/mm] = [mm]F_z(\wurzel{x})[/mm]
Auch das ist nicht korrekt…
Schreib mal die Definition der Verteilungsfunktion für X konkret hin und Forme dann sauber äquivalent um! (Im Übrigen ist der Index von F die ZV, d.h. der Großbuchstabe)
Tipp: [mm] $Z^2 \le [/mm] x [mm] \not\gdw [/mm] Z [mm] \le \sqrt{x}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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Hallo,
> > Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:
> >
> > [mm]\phi(z)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}}[/mm]
>
> Das solltest du nochmal nachschlagen…
Tippfehler!
>
>
> > Jetzt ist X = [mm]Z^2,[/mm] somit gilt
> >
> > [mm]F_x(x)[/mm] = [mm]F_z(\wurzel{x})[/mm]
> Auch das ist nicht korrekt…
> Schreib mal die Definition der Verteilungsfunktion für X
> konkret hin und Forme dann sauber äquivalent um! (Im
> Übrigen ist der Index von F die ZV, d.h. der
> Großbuchstabe)
> Tipp: [mm]Z^2 \le x \not\gdw Z \le \sqrt{x}[/mm]
Bin leider zu doof; die Definition der Verteilungsfunktion für X:
[mm] F_X(x) [/mm] = P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) = P(|Z| [mm] \le \wurzel{x})
[/mm]
Aber was kann ich damit anfangen. Ich brauche
P(Z [mm] \le [/mm] irgendwas)
statt
P(|Z| [mm] \le [/mm] irgendwas)
um mit [mm] F_Z(irgendwas)
[/mm]
gleichsetzen zu können ... :-(
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Hiho,
> Bin leider zu doof; die Definition der Verteilungsfunktion
> für X:
>
> [mm]F_X(x)[/mm] = P(X [mm]\le[/mm] x) = [mm]P(Z^2 \le[/mm] x) = P(|Z| [mm]\le \wurzel{x})[/mm]
Bis hierhin ja schon ganz gut.
>
> Aber was kann ich damit anfangen. Ich brauche
>
> P(Z [mm]\le[/mm] irgendwas)
>
> statt
>
> P(|Z| [mm]\le[/mm] irgendwas)
korrekt.
Es ist doch aber: $|Z| [mm] \le [/mm] z [mm] \gdw [/mm] -z [mm] \le [/mm] Z [mm] \le [/mm] z$
und schon bekommen wir (da Z stetig):
[mm] $F_X(x)= [/mm] P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) = P(|Z| [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] = [mm] P(-\wurzel{x} \le [/mm] Z [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] = P(Z [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] - P(Z [mm] \le -\wurzel{x})$
[/mm]
Insgesamt also:
[mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] F_Z(\wurzel{x}) [/mm] - [mm] F_Z(-\wurzel{x})$
[/mm]
Damit könnte man ja schon arbeiten… wenn man nun aber noch nutzt, dass Z standardnormalverteilt ist, gilt ja sogar [mm] $F_Z(-\wurzel{x}) [/mm] = 1 - [mm] F_Z(\wurzel{x})$ [/mm] und der ganze Spaß vereinfacht sich zu:
[mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] 2F(\wurzel{x}) [/mm] - 1$
Gruß,
Gono
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