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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Fr 17.06.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe Helferinnen und Helfer!
Hier ist meine Aufgabe aus der Stochastik und meine Lösung.
Es seien X und Y zwei unabhängige, zum Parameter [mm] \alpha>0 [/mm] exponentialverteilte Zufallsvariablen.
Man bestimme die Verteilungsdichte von X/(X+Y). |
So, ich habe einfach mal angefangen:
Setze [mm]Z:=X/(X+Y)[/mm].
[mm]P(Z\leq z)=P\left(\frac{X}{X+Y}\leq z\right)=P(X\leq zX+zY)=P((1-z)X-zY\leq 0)[/mm].
Nun bestimme die gesuchte Dichte von Z via Faltung der Zufallsvariablen [mm]X'=(1-z)X[/mm] und [mm]Y'=-zY[/mm].
Randbemerkungen:
1.) X' und Y' sind tatsächlich Zufallsvariablen, denn wenn man Zufallsvariablen mit reellen Zahlen z bzw. (1-z) multipliziert, kommen dabei auch wieder Zufallsvariablen heraus.
2.) Und unabhängig sind X' und Y' auch, da die Ereignisse [mm]\left\{X\leq \frac{x_1}{1-z}\right\}[/mm] und [mm]\left\{Y\geq \frac{x_2}{-z}\right\}[/mm] nach Voraussetzung unabhängig sind, da X und Y unabhängig sind.
Weiter:
[mm]F_{X'}(x)=P(X\leq \frac{x}{1-z})=F_X\left(\frac{x}{1-z}\right)[/mm]
Ableiten mit Kettenregel liefert:
[mm]f_{X'}(x)=f_X\left(\frac{x}{1-z}\right)\cdot \frac{1}{1-z}[/mm], falls [mm]x\geq 0[/mm]
[mm]f_{X'}(x)=0[/mm], falls [mm]x<0[/mm]
Dieses Resultat nenne ich mal (*).
Weiter:
[mm]F_{Y'}(y)=P(-zY\leq y)=P(Y\geq \frac{y}{-z})=1-F_Y\left(\frac{y}{-z}\right)[/mm]
Ableiten mit Kettenregel liefert:
[mm]f_{Y'}(y)=f_Y\left(\frac{y}{-z}\right)\cdot \frac{1}{z}[/mm], falls [mm]y\leq 0[/mm]
[mm]f_{Y'}(y)=0[/mm], falls [mm]y>0[/mm].
Dieses Resultat heiße (**).
Nun zur Faltung.
Diese lautet ja in der "ursprünglichen Form":
[mm]f_{X'+Y'}(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X'}(t)\cdot f_{Y'}(u-t) dt[/mm].
Wenn man nun (*) und (**) berücksichtigt, bedeutet das:
[mm] f_{X'+Y'}(u)=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1-z}\alpha e^{-\alpha \left(\frac{t}{1-z}\right)}\cdot \frac{1}{z} \alpha e^{-\alpha \left(-\frac{u-t}{z}\right)} dt [/mm], falls [mm]u\leq 0 [/mm]
[mm]f_{X'+Y'}(u)=0[/mm], falls [mm]u>0[/mm]
Dies ist die gesuchte Verteilungsdichte von [mm]\frac{X}{X+Y}[/mm].
So, das war's.
Nun hoffe ich, dass mir zugestimmt wird. :D
LG, mikexx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo mikexx,
eine prima Herleitung, die gut nachvollziehbar ist. Einen Fehler haber ich nicht entdeckt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Sa 18.06.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich hatte mich aber geirrt, dass man hier an dieser Stelle schon fertig mit der Aufgabe wäre.
Denn man muss ja jetzt mit der Dichte, die ich ermittelt habe, erstmal noch [mm]P(X'+Y'\leq 0)[/mm] berechnen, das ist dann ja gleich [mm]P(Z\leq z)[/mm] und daraus muss man dann die gesuchte Dichtefunktion bestimmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo mikexx,
das verstehe ich jetzt nicht. Du hast doch durch die Faltung die Dichte bestimmt, mehr war doch nicht gefordert.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:16 Sa 18.06.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich habe auch gedacht, man sei an dieser Stelle dann fertig.
Aber dann habe ich obigen Hinweis bekommen.
[mm]P(Z\leq z)=...=P(X'+Y'\leq 0)[/mm]
Man hat dann ja erst ganz allgemein die Dichte errechnet für die Verteilung von [mm]X'+Y'[/mm].
Man muss ja aber konkret dann noch [mm]P(X'+Y'\leq 0)[/mm] damit berechnen, damit man [mm]P(Z\leq z)[/mm], also die Verteilungsfunktion von Z, hat. Und daraus kann man ja dann erst die Verteilungsdichte von Z berechnen.
Erst dann hat man die Aufgabe endgültig gelöst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 20.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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