Dichtefunktion beweisen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 17.10.2011 | | Autor: | arual75 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: statistik forum.
Hallo zusammen,
habe mit folgender Aufgabe Probleme, wegen dem Integral:
Die Verteilung einer Zufallsvariablen ist
f(x) = [mm] a^k [/mm] * x * e ^ -ax für x=> 0 und 0 sonst
zu beweisen ist, dass die Funktion mit der Konstanten a nur für k = 2 die Eigenschaft einer
Dichte hat.
MEin versuch:
f(x) = [mm] a^k [/mm] * x * e ^ -ax =1
f(x) = (o,5 [mm] *x^2 [/mm] * e ^ -ax) - ((o,5 [mm] *x^2 [/mm] * -a*e ^ -ax)=1 integriert soll von unendlich bis null, denke ich.
.....komme mit dem Integral hier nicht weiter. Ich habe es mit der Produktregel oben probiert, komme aber nicht weiter.
Vielen Dank.
Ingrid
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Hallo arual75,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: statistik forum.
>
> Hallo zusammen,
>
> habe mit folgender Aufgabe Probleme, wegen dem Integral:
>
> Die Verteilung einer Zufallsvariablen ist
>
> f(x) = [mm]a^k[/mm] * x * e ^ -ax für x=> 0 und 0 sonst
>
>
Das soll wohl heißen:
[mm]f\left(x\right)=a^{k}*x*e^{-a*x}[/mm]
> zu beweisen ist, dass die Funktion mit der Konstanten a nur
> für k = 2 die Eigenschaft einer
> Dichte hat.
>
> MEin versuch:
>
> f(x) = [mm]a^k[/mm] * x * e ^ -ax =1
> f(x) = (o,5 [mm]*x^2[/mm] * e ^ -ax) - ((o,5 [mm]*x^2[/mm] * -a*e ^ -ax)=1
> integriert soll von unendlich bis null, denke ich.
>
Um eine Stammfunktion von f(x) zu finden,
mußt Du die Methode der partiellen Integration anwenden.
Die Integrationsgrenzen stimmen.
> .....komme mit dem Integral hier nicht weiter. Ich habe es
> mit der Produktregel oben probiert, komme aber nicht
> weiter.
>
> Vielen Dank.
> Ingrid
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mo 17.10.2011 | | Autor: | arual75 |
Hallo Mathepower,
vielen Dank, aber ich komme nicht weiter.
aber ich habe partiell integriert dachte ich. siehe mein Ansatz.
Ich komme ehrlich gesagt nicht weiter. Zerbreche mir seit gestern darüber den Kopf..
f(x) = (o,5 * e ^ -ax) - ((o,5 * -a*e ^ -ax)=1 stimmt mein Ansatz nicht?
Vielen Dank.
Ingrid
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Hallo arual75,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank, aber ich komme nicht weiter.
>
> aber ich habe partiell integriert dachte ich. siehe mein
> Ansatz.
Sicher hast Du partiell integriert.
Nur die gepostete partielle Integration endet nie.
> Ich komme ehrlich gesagt nicht weiter. Zerbreche mir seit
> gestern darüber den Kopf..
>
> f(x) = (o,5 * e ^ -ax) - ((o,5 * -a*e ^ -ax)=1 stimmt
> mein Ansatz nicht?
>
Nein, das stimmt auch nicht.
Besser Du machst das so:
Gemäßt der partiellen Integration ist
[mm]\integral_{}^{}{u*v' \ dx}=u*v- \integral_{}^{}{u'*v \ dx}[/mm]
Hier wählst Du günstigerweise
[mm]u=x, \ v'=e^{-ax}[/mm]
> Vielen Dank.
> Ingrid
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mo 17.10.2011 | | Autor: | arual75 |
Hallo Mathepower,
vielen Dank, das hilft schon, aber noch eine Frage:
wenn u =x und v' = e^-ax. Was mache ich mit [mm] a^k? [/mm] Denn eigentlich heisst die Funktion f(x)= [mm] a^k*x*e^-ax
[/mm]
Entschuldige die Fragerei, aber irgendwie stelle ich mich total blöd an. Integrale sind bei mir schon einige Zeit her...
Vielen Dank.
Ingrid
Viele
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Hallo arual75,
> Hallo Mathepower,
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> vielen Dank, das hilft schon, aber noch eine Frage:
>
> wenn u =x und v' = e^-ax. Was mache ich mit [mm]a^k?[/mm] Denn
> eigentlich heisst die Funktion f(x)= [mm]a^k*x*e^-ax[/mm]
>
Das [mm]a^{k}[/mm] ist hier nur eine Konstante,
mit der die erhaltene Stammfunktion zu multiplizieren ist.
Das wiederum kannst Du umgehen, wenn Du [mm]u=a^{k}*x[/mm] wählst.
> Entschuldige die Fragerei, aber irgendwie stelle ich mich
> total blöd an. Integrale sind bei mir schon einige Zeit
> her...
>
> Vielen Dank.
> Ingrid
>
> Viele
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 17.10.2011 | | Autor: | arual75 |
Hallo Mathepower,
in meinem Lösungsversuch habe ich einen Fehler, da ich die Lösung nicht finde, aber ich weiss nicht welchen:
u = [mm] a^k [/mm] * x
u' = [mm] a^k
[/mm]
v = -a*e^-ax
v'= e^-ax
uv' = uv - u'v
= [mm] a^k [/mm] * x * e^-ax = [mm] a^k*x* [/mm] (-a)*e^-ax - [mm] (a^k*(-ae^-ax)
[/mm]
-
-
= [mm] a^k*a*e^-ax [/mm] (1-x) =1 für x=0
[mm] a^k*a=1
[/mm]
[mm] a^k=1/a [/mm] und weiter weiss ich es leider nicht. Bei K=2 müsste es eine Dichtefunktion sein, aber lt. meiner Berechnung ist es das nicht.
Kannst Du mir noch einen Tip geben?
Vielen Dank.
Ingrid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 Di 18.10.2011 | | Autor: | Blech |
> Kannst Du mir noch einen Tip geben?
Wenn Du anfängst den Formeleditor zu verwenden, so daß man Deine Rechnung auch lesen kann, dann wäre das ganze viel leichter.
Schau Dir Dein post nochmal an (Vorschau Knopf ist hier hilfreich), wie soll da irgendwer schlau daraus werden?
> $u = [mm] a^k [/mm] * x$
> $u' = [mm] a^k [/mm] $
> $v = [mm] -a*e^{-ax}$
[/mm]
> $v'= [mm] e^{-ax}$
[/mm]
Leite Dein v mal ab. Kommt da wirklich v' raus?
> $ uv' = uv - u'v
wo sind die Integralzeichen hinverschwunden?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Di 18.10.2011 | | Autor: | arual75 |
Hallo zusammen,
vielleicht sitze ich da auf der Leitung, denn ich kriege das irgendwie nicht hin.
Kann mir denn niemand einen ausführlichen Tipp geben? Langsam verzweifle ich daran...
Vielen Dank.
Laura
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Hallo Laura,
> Hallo zusammen,
>
> vielleicht sitze ich da auf der Leitung, denn ich kriege
> das irgendwie nicht hin.
>
> Kann mir denn niemand einen ausführlichen Tipp geben?
> Langsam verzweifle ich daran...
Wenn [mm]v'(x)=e^{-ax}[/mm] ist, dann ist [mm]v(x)[/mm] nicht [mm]-ae^{-ax}[/mm], denn mit diesem [mm]v[/mm] wäre (wieder ableiten) [mm]v'(x)=-a\cdot{}(-a)e^{-ax}=a^2e^{-ax}[/mm] und das ist nicht das [mm]v'[/mm], von dem du ausgegangen bist.
Der Vorfaktor [mm]-a[/mm] in deinem [mm]v(x)[/mm] ist also falsch. Überlege, wie der gewählt werden muss, so dass [mm]v'(x)=e^{-ax}[/mm] ergibt.
Wenn du durch Hinsehen nicht darauf kommst, berechne $v(x)$ ganz formal durch Integration von [mm] $v'(x)=e^{-ax}$.
[/mm]
Hier hilft dann die lineare Substitution $z=z(x)=-ax$
> Vielen Dank.
> Laura
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Di 18.10.2011 | | Autor: | arual75 |
| Aufgabe | | Funktion lautet f(x) = [mm] a^k*x*e^-^a^k [/mm] . Es ist zu beweisen, dass für K=2 es sich um eine Dichtefunktion handelt. |
Hallo zusammen,
neuer Versuch meinerseits:
[mm] u(x)=a^k [/mm] * x
[mm] u'(x)=a^k
[/mm]
[mm] v(x)=-e^-^a^x
[/mm]
[mm] v'(x)=e^-^a^x
[/mm]
=integral u(x)*v'(x)dx=u(x)*v(x)-integral u'(x)*v(x)dx
[mm] =(a^k [/mm] * [mm] x)*(e^-^a^x)dx =(a^k*x)*(-e^-^a^x)-integral (a^k)*(-e^-^a^x)
[/mm]
[mm] =(a^k*x)(-e^-a^x) [/mm] + [mm] a^k=1
[/mm]
weiter komme ich nicht....soll ich x =0 setzen wegen den Integralgrenzen?
dann bleibt aber [mm] a^k [/mm] =1 und es wäre für k=2 keine Dichtefunktion???
Vielen Dank für Tipps.
Ingrid
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Hallo arual75,
> Funktion lautet f(x) = [mm]a^k*x*e^-^a^k[/mm] . Es ist zu beweisen,
> dass für K=2 es sich um eine Dichtefunktion handelt.
> Hallo zusammen,
>
> neuer Versuch meinerseits:
>
> [mm]u(x)=a^k[/mm] * x
> [mm]u'(x)=a^k[/mm]
> [mm]v(x)=-e^-^a^x[/mm]
> [mm]v'(x)=e^-^a^x[/mm]
>
> =integral u(x)*v'(x)dx=u(x)*v(x)-integral u'(x)*v(x)dx
> [mm]=(a^k[/mm] * [mm]x)*(e^-^a^x)dx =(a^k*x)*(-e^-^a^x)-integral (a^k)*(-e^-^a^x)[/mm]
>
So wie Du das hingeschrieben hast, steht da:
[mm]\integral_{}^{}{\left(a^{k}*x\right)*\left(e^{-a*x}\right) \ dx}=\left(a^{k}*x\right)*\left(-e^{-a*x}\right) -\integral_{}^{}{\left(a^{k}\right)*\left(-e^{-a*x}\right) \ dx}[/mm]
Das ist nicht ganz richtig, denn die Stammfunktion von [mm]e^{-ax}[/mm] lautet: [mm]-\blue{\bruch{1}{a}}*e^{-a*x}[/mm]
Damit muss hier stehen:
[mm]\integral_{}^{}{\left(a^{k}*x\right)*\left(e^{-a*x}\right) \ dx}=\left(a^{k}*x\right)*\left(-\blue{\bruch{1}{a}}*e^{-a*x}\right) -\integral_{}^{}{\left(a^{k}\right)*\left(-\blue{\bruch{1}{a}}*e^{-a*x}\right) \ dx}[/mm]
> [mm]=(a^k*x)(-e^-a^x)[/mm] + [mm]a^k=1[/mm]
> weiter komme ich nicht....soll ich x =0 setzen wegen den
> Integralgrenzen?
> dann bleibt aber [mm]a^k[/mm] =1 und es wäre für k=2 keine
> Dichtefunktion???
>
> Vielen Dank für Tipps.
> Ingrid
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 18.10.2011 | | Autor: | arual75 |
Hallo MathePower,
vielen Dank für die Korrektur.
Dann würde ich jetzt so auflösen:
ich setze in der ganzen Formel x= 0 (muss ich x=o in der ganzen Formel einsetzen oder nur in der zweiten Hälfte) dann bekomme ich
[mm] =-(a^k)*(-1/a*e^-^a^x) [/mm] = 1 für x= 0 ergibt sich
[mm] =a^k*1/a=1. [/mm] kann abernicht stimmen, da z.b für a=2 kann k nicht 2 sein.
setze ich x=0 nur in der zweiten Hälfte der Formel bekomme ich:
[mm] =(a^k*x)(-1/a*e^-^a^x) [/mm] + [mm] a^k*1/a [/mm] =1
weiter komme ich nicht. Habe hier zwei unbekannte x und a.
Kannst Du mir noch einen Tip geben?
Vielen Dank.
Ingrid
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Hallo arual75,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank für die Korrektur.
>
> Dann würde ich jetzt so auflösen:
>
> ich setze in der ganzen Formel x= 0 (muss ich x=o in der
> ganzen Formel einsetzen oder nur in der zweiten Hälfte)
> dann bekomme ich
>
> [mm]=-(a^k)*(-1/a*e^-^a^x)[/mm] = 1 für x= 0 ergibt sich
> [mm]=a^k*1/a=1.[/mm] kann abernicht stimmen, da z.b für a=2 kann k
> nicht 2 sein.
>
> setze ich x=0 nur in der zweiten Hälfte der Formel bekomme
> ich:
>
> [mm]=(a^k*x)(-1/a*e^-^a^x)[/mm] + [mm]a^k*1/a[/mm] =1
> weiter komme ich nicht. Habe hier zwei unbekannte x und
> a.
>
> Kannst Du mir noch einen Tip geben?
>
Du musst doch zuerst die Stammfunktion bestimmen.
Danach kannst Du die Grenzen einsetzen,
bzw. Den Grenzwert für [mm]x \to \infty[/mm] bilden.
> Vielen Dank.
> Ingrid
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 18.10.2011 | | Autor: | arual75 |
Hallo MathePower,
die Stammfunktion müsste dann folgend lauten:
= (- [mm] a^k/a)*x*e^-^a^x)+ ((a^k/a)*e^-^a^x
[/mm]
= [mm] a^k/a*e^-^a^x(1-x) [/mm] => STAMMFUNKTION
Ist diese korrekt?
muss ich jetzt für x = 0 einsetzen? dann kommt aber nichts vernünftiges raus.
vielen Dank.
Ingrid
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Hallo arual75,
> Hallo MathePower,
>
> die Stammfunktion müsste dann folgend lauten:
>
> = (- [mm]a^k/a)*x*e^-^a^x)+ ((a^k/a)*e^-^a^x[/mm]
>
Das ist nicht ganz korrekt:
[mm](- a^k/a)*x*e^{-ax}+ (a^k/a)*}\red{\left(-\bruch{1}{a}\right)}e^{-ax}[/mm]
> = [mm]a^k/a*e^-^a^x(1-x)[/mm] => STAMMFUNKTION
> Ist diese korrekt?
>
> muss ich jetzt für x = 0 einsetzen? dann kommt aber nichts
> vernünftiges raus.
>
Ja, setzte jetzt die Grenzen ein.
> vielen Dank.
> Ingrid
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 18.10.2011 | | Autor: | arual75 |
Hallo MathePower,
mit deiner grossen Unterstützung habe ich jetzt die Lösung glaube ich.
Lösungsvorschlag:
[mm] =(-a^k/a)*x*e^-^a^x +(a^k/a)*(-1/a)e^-^a^x [/mm] = 1 für x= 0 ergibt sichs
[mm] =(a^k/a)(-1/a)=1
[/mm]
[mm] =(a^k/a)(1/a)=1
[/mm]
[mm] =(a^k/a)(1/a)=1
[/mm]
[mm] =(a^k/a)(1/a)=1
[/mm]
[mm] =(a^k/a)^2 [/mm] = 1
[mm] =(a^k) [/mm] = [mm] a^2=1
[/mm]
lnk = ln2 d.h nur wenn k = 2 handelt es sich um eine Dichtefunktion.
Stimmt das? Vielen Dank. Ingrid
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Hallo arual75,
> Hallo MathePower,
>
> mit deiner grossen Unterstützung habe ich jetzt die
> Lösung glaube ich.
>
> Lösungsvorschlag:
>
>
> [mm]=(-a^k/a)*x*e^-^a^x +(a^k/a)*(-1/a)e^-^a^x[/mm] = 1 für x= 0
Welchen Wert nimmt die linke Seite an, wenn [mm]x \to \infty[/mm] ?
> ergibt sichs
> [mm]=(a^k/a)(-1/a)=1[/mm]
> [mm]=(a^k/a)(1/a)=1[/mm]
> [mm]=(a^k/a)(1/a)=1[/mm]
> [mm]=(a^k/a)(1/a)=1[/mm]
> [mm]=(a^k/a)^2[/mm] = 1
Hier muss doch stehen
[mm]\bruch{a^k}{a^2}=1[/mm]
> [mm]=(a^k)[/mm] = [mm]a^2=1[/mm]
> lnk = ln2 d.h nur wenn k = 2 handelt es sich um eine
> Dichtefunktion.
>
> Stimmt das? Vielen Dank. Ingrid
>
Bis aus die Kleinigkeit, daß Du den Wert des Ausdrucks
[mm](-a^k/a)*x*e^-^a^x +(a^k/a)*(-1/a)e^-^a^x[/mm]
für [mm]x \to \infty[/mm] nicht berücksichtigt hast, stimmt das.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Di 18.10.2011 | | Autor: | arual75 |
Hallo MathePower,
wenn x= unendlich, dann geht die linke Seite auch gegen unendlich, oder?
Ändert aber nichts an meinem Ergebnis, oder?
Vielen Dank.
Ingrid
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Hallo arual75,
> Hallo MathePower,
>
> wenn x= unendlich, dann geht die linke Seite auch gegen
> unendlich, oder?
Wenn das gegen unendlich ginge, dann könntest Du nichts ausrechnen.
> Ändert aber nichts an meinem Ergebnis, oder?
>
> Vielen Dank.
> Ingrid
Gruss
MathePower
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