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Forum "mathematische Statistik" - Dichtefunktion unb. Konstante
Dichtefunktion unb. Konstante < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Dichtefunktion unb. Konstante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Mi 11.04.2018
Autor: Asura

Aufgabe
Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit folgender Dichte f, wobei c > 0:

[mm] f(x)=\begin{cases} c+x, & \mbox{für } -c \le x \le 0\\ c-x, & \mbox{für } 0 < x \le c, & 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]

Berechnen Sie die Konstante c und skizzieren Sie die Dichte f von x.

Ich dachte, dass ich schaue wo die oberen zwei Teilfunktionen bei einem gleichen Y-Wert den gleichen C Wert besitzen.
Aber so klappt das leider gar nicht.

        
Bezug
Dichtefunktion unb. Konstante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Mi 11.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit folgender Dichte f,
> wobei c > 0:

>

> [mm]f(x)=\begin{cases} c+x, & \mbox{für } -c \le x \le 0\\ c-x, & \mbox{für } 0 < x \le c, & 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]

>

> Berechnen Sie die Konstante c und skizzieren Sie die Dichte
> f von x.
> Ich dachte, dass ich schaue wo die oberen zwei
> Teilfunktionen bei einem gleichen Y-Wert den gleichen C
> Wert besitzen.

Den besitzen sie doch per Definition, das ergibt so keinen Sinn.

> Aber so klappt das leider gar nicht.

Richtig, so klappt es nicht. Da es um eine Zufallsvariable geht, geht es konkret um eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (auch wenn man das im Deutschen so gut wie immer einfach Dichtefunktion nennt, da es aus dem Kontext klar ist). Von einer solchen Funktion wissen wir

[mm] \int_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1[/mm]

Das bedeutet ganz anschaulich, dass die gesamte Fläche zwischen der Dichtefunktion und der x-Achse 1 ist.

In Fall dieser Aufgabe bestehen nun die für das obige Integral relevanten Teile aus zwei Geradenstücken, die achsensymmetrisch zur y-Achse liegen. Da sie die Steigungen m=1 bzw. m=-1 besitzen, bilden sie zusammen mit der x-Achse ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck.

Das einzige was du tun musst ist daher: bestimme denjenigen Wert für c, für den das besagte Dreieck den Flächeninhalt 1 annimmt.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Dichtefunktion unb. Konstante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Mi 11.04.2018
Autor: Asura

Also ich habe mir das mal aufgezeichnet.
Ich habe auf der x-Achse dann ein Wert -c, 0 und c.
Null geht dann natürlich die y-Achse hoch zu dem Wert 1.
Ein halbes Dreieck spiegelt dann den Wert 0.5 wieder.
Das komplette Dreieck dann 1. Also ist der c-Wert 1 ?
Das Dreieck an sich ist dann meine Dichtefunktion, die ja die 100 % wiederspiegelt, korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Dichtefunktion unb. Konstante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Mi 11.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Also ich habe mir das mal aufgezeichnet.
> Ich habe auf der x-Achse dann ein Wert -c, 0 und c.

Die Basis des Dreiecks bildet das Intervall [-c,c], genau.

> Null geht dann natürlich die y-Achse hoch zu dem Wert 1.

Das ist die Höhe des Dreiecks, allerdings ist sie zunächst c und nicht 1!

> Ein halbes Dreieck spiegelt dann den Wert 0.5 wieder.

Hier spielst du auf die Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche

[mm]A= \frac{1}{2}g*h[/mm]

an.

> Das komplette Dreieck dann 1. Also ist der c-Wert 1 ?

Genau. Denn wir haben

[mm]\frac{1}{2}2c*c=c^2=1[/mm]

Da c positiv sein muss (sonst würde die Funktion unterhalb der x-Achse verlaufen und wäre somit keine Dichtefunktion, außerdem ist c>0 vorgegeben) folgt jetzt sofort c=1.

> Das Dreieck an sich ist dann meine Dichtefunktion, die ja
> die 100 % wiederspiegelt, korrekt?

Die beiden Schenkel des Dreiecks sind das Schaubild der Dichtefunktion. Alle Werte, die theoretisch von X angenommen werden können, liegen nämlich im Intervall (-c,c).

EDIT: das war falsch. Zwar ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert außerhab von (-c,c) annimmt, gleich 0, dennoch ist die Dichte auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert.

Und ja: die Fläche 1 unterhalb dieses Graphen stehen für P=100% ('sicheres Ereignis').


Gruß, Diophant

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Dichtefunktion unb. Konstante: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:57 Mi 11.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Alle Werte, die theoretisch von X angenommen werden können, liegen nämlich im Intervall

Wenn du mit X die ZV bezeichnest, deren Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f sein soll, dann ist die Aussage falsch.

Gruß,
Gono

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Dichtefunktion unb. Konstante: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Mi 11.04.2018
Autor: Diophant


> Wenn du mit X die ZV bezeichnest, deren
> Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f sein soll, dann ist die
> Aussage falsch.

Ja, das war unglücklich formuliert. Ich werde es abändern.

Bezug
        
Bezug
Dichtefunktion unb. Konstante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Mi 11.04.2018
Autor: Asura

Ich soll nun die Verteilungsfunktion F bestimmen.

Ich habe mal wieder ein Versuch gestartet, doch so wirklich auf das Ergebnis komme ich hier wieder nicht. Würde mich da um einen Tipp freuen!

[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } -1 \le x \le 0 \\ 1-x^2, & \mbox{für } 0

Bezug
                
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Dichtefunktion unb. Konstante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Mi 11.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich soll nun die Verteilungsfunktion F bestimmen.

>

> Ich habe mal wieder ein Versuch gestartet, doch so wirklich
> auf das Ergebnis komme ich hier wieder nicht. Würde mich
> da um einen Tipp freuen!

>

> [mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } -1 \le x \le 0 \\ 1-x^2, & \mbox{für } 0

************************************

[mm]F(x)=\begin{cases} 0, & ;\ x<-1 \\..., & ;\ -1\le x< 0 \\..., & ;\ 0\le x<1 \\1, & ;\ 1 \le x \end{cases}[/mm]

Dort, wo die Punkte stehen, müssen geeignete* Stammfunktionen der entsprechenden Terme der Dichtefunktion stehen. [mm] 1-x^2 [/mm] ist definitiv falsch integriert! Denn es ist bspw.

[mm] \int{(1+x) dx}=x+ \frac{x^2}{2}+C[/mm]

*geeignet bedeutet hier, dass man geeignete Integrationskonstanten hinzufügen muss. Und um ein wenig zu verraten: es ist in beiden Fällen die gleiche Konstante.


Gruß, Diophant

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