Dichtefunktion verteilfunktion < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 So 05.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Leider klappt es mit dieser Aufgabe nicht so ganz
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich die Dichtefunktion aufzeichnen will, so tut sich nur etwas zwischen -1 und 1.
dort ist ja gemäss Aufgabenstellung die Steigung m = [mm] \pm [/mm] 1
Jetzt kann ich da die Funktion einzeichnen, damit die Fläche 1 gibt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Denn wenn ich die Stammfunktion bilde erhalte ich nicht das in der Lösung...Aber wieso?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich würde ja erhalten
Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Da die Anhänge gesperrt sind, kann ich nur zur Verteilungsfunktion etwas sagen. Für die Dichte [mm]f(x)[/mm] gilt ja
[mm]f(x) = \begin{cases} 1 - |x| & \mbox{für} \ - 1 \leq x \leq 1 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
Es interessiert zunächst nur der Bereich zwischen -1 und 1. Stammfunktionen von [mm]f(x)[/mm] sind dort von der Gestalt [mm]x \mapsto c + x - \frac{1}{2} \cdot x \cdot |x|[/mm] mit einer Konstanten [mm]c[/mm]. Da sich für [mm]x=1[/mm] der Wert 1 ergeben soll, muß [mm]c = \frac{1}{2}[/mm] sein. Die Verteilungsfunktion ist daher
[mm]F(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{für} \ x < -1 \\ \frac{1}{2} + x - \frac{1}{2} \cdot x \cdot |x| & \mbox{für} \ -1 \leq x \leq 1 \\ 1 & \mbox{für} \ x > 1 \end{cases}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ganz stimmen deine Annahmen glaube ich nicht
>
> [mm]f(x) = \begin{cases} |x| & \mbox{für} \ |x| \le 1 \\ 0 & \mbox{für |x| > 1} \end{cases}[/mm]
>
> Es interessiert zunächst nur der Bereich zwischen -1 und
> 1. Stammfunktionen von [mm]f(x)[/mm] sind dort von der Gestalt [mm]x \mapsto c + x - \frac{1}{2} \cdot x \cdot |x|[/mm]
> mit einer Konstanten [mm]c[/mm]. Da sich für [mm]x=1[/mm] der Wert 1 ergeben
> soll, muß [mm]c = \frac{1}{2}[/mm] sein. Die Verteilungsfunktion
> ist daher
>
> [mm]F(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{für} \ x < -1 \\ 1/2*(1 -x^2) & \mbox{für} \ -1 \leq x < 0 \\ 1/2*(1 + x^2) & \mbox{für} \ 0 \le x < 1 \\ 1 & \mbox{für} \ 1 \1\le x \end{cases}[/mm]
Kann mir das jemand Schritt für Schritt erklären?
Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
die angegeben Verteilungsfunktion ist in der Tat falsch. Meiner Ansicht nach müsste sie so aussehen:
$ F(x) = [mm] \begin{cases} 0 & \mbox{für} \ x < -1 \\ \bruch{1}{2}x^2+x+\bruch{1}{2} & \mbox{für} \ -1 \leq x < 0 \\ -\bruch{1}{2}x^2+x+\bruch{1}{2} & \mbox{für} \ 0 \le x < 1 \\ 1 & \mbox{für} \ 1 \1\le x \end{cases} [/mm] $
Besteht dann noch weitrerer Klärungsbedarf?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich habe Probleme mit dem rechnerischen Umgang mit den Beträgen.
Wie sieht denn das INtegrall genau aus?
F(x) = 1 = [mm] \integral_{-1}^{0}{lxl} [/mm] dx + [mm] \integral_{0}^{-1}{lxl} [/mm] dx
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Hallo,
das ist völlig falsch, du musst schon die richtige Dichtefunktion integrieren. Und wenn du die Verteilungsfunktion darstellen möchtest, dann muss die obere Schranke die Zufallsvariable sein, also es muss ein Integral der Form
[mm] F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
sein.
In Fällen, wo wie hier die Dichtefunktion abschnittsweise, aber durch elementare Funtionsvorschriften gegeben ist, macht die Schreibweise per Integral eigentlich nicht wirklich Sinn, weil sie viel zu umständlich ist.
Wozu benötigst du das denn?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Wie soll ich das denn machen?
Ich zeichne die Dichtefunktion auf. Die Vorzeichen des betrages lxl lege ich so fest, dass der Flächeninhalt der Dichtefunktion 1 gibt
anschliessend bestimmte ich die INtegrale. Micht interessieren zwei Integrale dasjenige von -1 bis 0 und 0 bis 1
[mm] F(x)_{-1 bis 0} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} x^2 [/mm] + c
Nun weiss ich dass die Verteilfunktion durch den Punkt (-1/0) geht --> c = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] F(x)_{-1 bis 0} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} x^2 +\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] F(x)_{0 bis 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} x^2 [/mm] + c
Nun weiss ich dass die Verteilfunktion durch den Punkt (1/1) geht --> c = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] F(x)_{0 bis 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Soll ich das denn so lösen?
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Hallo,
nochmal: du integrierst die völlig falsche Dichtefunktion. Die Dichte zu deiner Skizze im Themenstart lautet:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1 \\ x+1, & \mbox{für } -1 \le x < 0 \\ -x+1, & \mbox{für } 0 \le x < 1 \\ 0, & \mbox{für } x > 1 \end{cases}
[/mm]
Und die unbestimmten Integrale lauten
[mm] \integral{(x+1) dx}=\bruch{1}{2}*x^2+x+C
[/mm]
bzw.
[mm] \integral{(-x+1) dx}=-\bruch{1}{2}*x^2+x+C
[/mm]
was man auch mit Hilfe des Betragszeichens geschlossen darstellen kann, so wie Leopold_Gast es gemacht hat.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
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> nochmal: du integrierst die völlig falsche Dichtefunktion.
> Die Dichte zu deiner Skizze im Themenstart lautet:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1 \\ x+1, & \mbox{für } -1 \le x < 0 \\ -x+1, & \mbox{für } 0 \le x < 1 \\ 0, & \mbox{für } x > 1 \end{cases}[/mm]
>
Nein das stimmt nicht
[mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1 \\ x, & \mbox{für } -1 \le x < 0 \\ -x, & \mbox{für } 0 \le x < 1 \\ 0, & \mbox{für } x > 1 \end{cases}[/mm]
Ist die gegebene Dichtefunktion
Resp. als Betrag:
[mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1 \\ |x| & \mbox{für } -1 \le x < 0 \\ |x| & \mbox{für } 0 \le x < 1 \\ 0, & \mbox{für } x > 1 \end{cases}[/mm]
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Hallo,
> Nein das stimmt nicht
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1 \\ x, & \mbox{für } -1 \le x < 0 \\ -x, & \mbox{für } 0 \le x < 1 \\ 0, & \mbox{für } x > 1 \end{cases}[/mm]
>
> Ist die gegebene Dichtefunktion
das kann aber auich nicht sein, denn es ist überhaupt keine Dichte. Meinst du vielleicht das hier:
[mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1 \\ -x, & \mbox{für } -1 \le x < 0 \\ x, & \mbox{für } 0 \le x < 1 \\ 0, & \mbox{für } x > 1 \end{cases}[/mm]
???
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1 \\ -x, & \mbox{für } -1 \le x < 0 \\ x, & \mbox{für } 0 \le x < 1 \\ 0, & \mbox{für } x > 1 \end{cases}[/mm]
>
genau das ist es. Wobei stehen tut in der Aufgabe
[mm]f(x) = \begin{cases} |x| & \mbox{für} \ |x| \le 1 \\ 0 & \mbox{für |x| > 1} \end{cases}[/mm]
Aber auf deines kommt man ja dann....
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Hallo,
> genau das ist es. Wobei stehen tut in der Aufgabe
> [mm]f(x) = \begin{cases} |x| & \mbox{für} \ |x| \le 1 \\ 0 & \mbox{für |x| > 1} \end{cases}[/mm]
also da frage ich mich schon, weshalb das dann nicht auch im Themenstart steht?
Die Verteilungsfunktion kann man dann natürlich so angeben:
[mm]F(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{für} x<-1 \\ \bruch{1}{2}*x*|x|+\bruch{1}{2} & \mbox{für} \ |x| \le 1 \\ 1 & \mbox{für x > 1} \end{cases}[/mm]
Aber das hattest du ja auch heraus. Ist es dann klar?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Also mit einer Skizze komme ich jetzt schond rauf. Meine erste Skizze konnte gar nicht stiffen, da f(x) = -x oder f(x) = x sein muss...
Aber wenn ich das wirklich ohne Zeichnung und nur mit zuhilfenahme der Mathematik lösen will, funktionierts noch nicht wirklich
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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