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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Es seien [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit zugehörigen Verteilungsfunktionen [mm] F_{X_{1}},...,F_{X_{n}}. [/mm] Wir setzen [mm] M:=max\{X_{1},...,X_{n}\} [/mm] und [mm] m:=min\{X_{1},...,X_{n}\}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass M und m die Verteilungsfunktionen
[mm] F_{M}(x)=\produkt_{i=1}^{n}F_{X_{i}}(x) [/mm] bzw. [mm] F_{m}(x)=1-\produkt_{i=1}^{n}(1-F_{X_{i}}(x)), [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
b) Bestimmen Sie für den Fall, dass alle [mm] X_{i}, [/mm] i=1,...,n, auf dem Intervall [0,1] gleich verteilt sind, die Dichten vom und m. Sind M und m unabhängig? Begründen Sie ihre Antwort. |
Moin!
Aufgabe a) war kein Problem, nur bei b) hapert es ein wenig.
Hat jemand vllt einen Tipp, wie man hier vorgehen könnte?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Fr 13.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Aufgabe a) war kein Problem, nur bei b) hapert es ein
> wenig.
>
Moin, wo ist das Problem? Was ist denn die Verteilungsfunktion einer auf dem Intervall [0,1] gleich verteilten Zufallsvariablen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Topologe |
Wäre die Verteilungsfunktion nicht
F(x)=x, für x [mm] \in [/mm] [0,1]?
Dann würde schon mal gelten: [mm] F_{M}(x)=\produkt_{i=1}^{n}F_{X_{i}}(x)=x^{n} [/mm] und [mm] F_{m}(x)=1-\produkt_{i=1}^{n}(1-F_{X_{i}}(x))=1-(1-x)^{n}
[/mm]
Die Dichten waeren dann:
[mm] f_{M}(x)=\bruch{dF_{M}}{dx}=nx^{n-1}
[/mm]
[mm] f_{m}(x)=\bruch{dF_{m}}{dx}=n(1-x)^{n-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Fr 13.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Die Dichten waeren dann:
>
> [mm]f_{M}(x)=\bruch{dF_{M}}{dx}=nx^{n-1}[/mm]
>
> [mm]f_{m}(x)=\bruch{dF_{m}}{dx}=n(1-x)^{n-1}[/mm]
Bis auf eine gewisse Schlampigkeit bei der Angabe des Definitionsbereichs ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Fehlt nur noch die (Un-)Abhaengigkeit ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Topologe |
Also um die Unabhängigkeit oder Abhängigkeit zu zeigen, kenne ich jetzt nur eine Formel, nämlich P(X [mm] \in [/mm] A, Y [mm] \in [/mm] B)=P(X [mm] \in [/mm] A)*P(Y [mm] \in [/mm] B)
Nur mir ist leider nicht ganz klar, wie ich hier das konkret ueberpruefen könnte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 14.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Also um die Unabhängigkeit oder Abhängigkeit zu zeigen,
> kenne ich jetzt nur eine Formel, nämlich P(X [mm]\in[/mm] A, Y [mm]\in[/mm]
> B)=P(X [mm]\in[/mm] A)*P(Y [mm]\in[/mm] B)
>
> Nur mir ist leider nicht ganz klar, wie ich hier das
> konkret ueberpruefen könnte
Gilt z.B. [mm] $P(M\le1/2\mid m>3/4)=P(M\le [/mm] 1/2)$ ?
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