Dichtetransformation? < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Do 03.05.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,\hdots,X_n$ [/mm] unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F, $0<p<q<1, [mm] 1\leq r
Zeige:
[mm] $P(X_{(s)}-X_{(r)}\leq Q_q-Q_p)\geq I_{q}(s,n-s+1)-I_{p}(r,n-r+1)$,
[/mm]
wobei wir allgemein definiert haben, daß
[mm] $I_{v}(a,b):=\frac{\int_{0}^{v}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt}{B(a,b)}$ [/mm] mit
[mm] $B(a,b):=\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, [/mm] dt$ |
Nabend!
Meine Idee wäre die folgende:
Ich würde zunächst für [mm] $G(X_{(s)},X_{(r)}):=X_{(s)}-X_{(r)}$ [/mm] mittels des Dichtetransformationssatzes die Dichte bestimmen, denn man weiß ja, was die gemeinsame Dichte von [mm] $X_{(s)}$ [/mm] und [mm] $X_{(r)}$ [/mm] ist (müsste ich einfach nachschlagen, ich weiß, daß wir das hatten und daß es im Büning/Trenkler steht).
Dann weiß ich also [mm] $f_{G}(x_s-x_r)$.
[/mm]
Dann würde ich mir mal
[mm] $P(G\leq Q_{q}-Q_{p})=F_{G}(Q_{q}-Q_{p})=\int_{-\infty}^{Q_{q}-Q_{p}}f_{G}(x)\, [/mm] dx$
angucken und ich denke mal, daß man dann irgendwas erkennt im Verhältnis zu dem Integral, das auf der rechten Seite der behaupteten Ungleichung steht.
Vielleicht muss man dann für die Integrationsgrenze noch benutzen, daß
[mm] $Q_{q}=F^{-1}(q), Q_{p}=F^{-1}(p)$.
[/mm]
Weiß ich noch nicht; ich wüsste nur gerne, ob diese Idee in Ordnung ist oder ob man besser eine andere Beweis-Strategie fahren sollte.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Do 03.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich habe mal versucht, meine beschriebene Idee auszuführen, ich denke kaum, daß man so rechnen sollte, denn ich habe da ein wahres Monstrum für die Dichte [mm] $f_{G}(x_s-x_r)$ [/mm] heraus!
[mm] $f_{G}(y)=\frac{n!}{(r-1)!(s-r-1)!(n-s)!}\int_{-\infty}^{\infty}(F(x-y))^{r-1}(F(x)-F(x-y))^{s-r-1}(1-F(x))^{n-s}f(x-y)f(y)\, [/mm] dx$
mit den Transformationen
[mm] $y:=x_s-x_r$ [/mm] und [mm] $x:=x_s$.
[/mm]
Und wenn ich jetzt noch
[mm] $P(G\leq Q_q-Q_p)=\int_{-\infty}^{Q_q-Q_p}f_G(z)\, [/mm] dz$
berechnen soll, wird das ja ganz und gar furchtbar!
Also muss man die Aufgabe irgendwie anders beweisen können...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:49 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Ansatz 1 über die Dichtetransformation erscheint mir, wie gesagt, zu umständlich. Ich habe noch folgende andere Idee (bzw. bis jetzt nur Ansatz): |
Und zwar gilt ja (weiß ich von einem anderen Übungsblatt):
[mm] $\sum_{i=r}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}=I_p(r,n-r+1)$
[/mm]
Wenn ich also mit der rechten behaupteten Ungleichungsseite anfange, komme ich mit der Kenntnis, daß
[mm] $P(X_{(r)}
[mm] $I_q(s,n-s+1)-I_p(r,n-r+1)=\sum_{i=s}^{n}\binom{n}{i}q^{i}(1-q)^{n-s}-\sum_{i=r}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$
[/mm]
Dies ist nach meinen Überlegungen identisch mit
[mm] $=\sum_{i=s}^{n}\binom{n}{i}(q^{i}(1-q)^{n-i}-p^{i}(1-p)^{n-i})-\sum_{i=r}^{s-1}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$
[/mm]
Dann geht es wegen (*) m.E. weiter mit:
[mm] $\leq \sum_{i=s}^{n}\binom{n}{i}(q^{i}(1-q)^{n-i}-p^{i}(1-p)^{n-i})-P(X_{(r)}
Hier stocke ich allerdings nun.
Kann man so beweisen? Und wie geht es, wenn ja, nun weiter?
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich hoffe, es steigt noch jemand durch meine Ideen durch und kann helfen.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 So 06.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Fr 04.05.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich vermute, dass $ [mm] X_1,\hdots,X_n [/mm] $ stetig verteilt sind. Wenn ja, schau mal hier
@BOOK{David81a,
title = {Order Statistics},
publisher = {John Wiley},
year = {1981},
author = {Herbert A. David},
address = {New York},
edition = {2.}
}
Seite 18-19.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
F ist nicht als stetig angenommen.
Ich dachte das zuerst auch, aber in den Voraussetzungen steht davon ja nichts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Fr 04.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich dachte das zuerst auch, aber in den Voraussetzungen
> steht davon ja nichts.
Da solltest du schleunigst beim Aufgabesteller nachfragen. Ich fuerchte,
sonst wird's haarig.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich habe den Aufgabensteller gefragt und er sagte, der Unterschied zur Vorlesung bestehe darin, daß F nicht als stetig angenommen werde.
Aber mal zu dem Buchtipp von Dir:
Seite 18 bis 19 finde ich das Problem gar nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Fr 04.05.2012 | | Autor: | luis52 |
>
>
> Aber mal zu dem Buchtipp von Dir:
>
> Seite 18 bis 19 finde ich das Problem gar nicht...
2. Auflage?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Fr 04.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich habe den Aufgabensteller gefragt und er sagte, der
> Unterschied zur Vorlesung bestehe darin, daß F nicht als
> stetig angenommen werde.
>
Okay, mea culpa. Im David wird anscheinend auch der diskrete Fall abgehandelt.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich kann die Textstellen, auf die Du Dich beziehst, leider nicht finden...
(die 2. auflage finde ich nirgends im internet, nur die dritte: ![[]](/images/popup.gif) hier
aber dort finde ich es nicht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Kannst Du mir vielleicht sagen, wie bzw. wo ich den Text (David) einsehen kann?
Ich finde ihn nicht. |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Fr 04.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Kannst Du mir vielleicht sagen, wie bzw. wo ich den Text
> (David) einsehen kann?
In der Uni-Bibliothek?
vg Luis
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