Dichtigkeit in \IR < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Do 28.06.2007 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | | Man zeige: Jede offene Menge U [mm] \subset \IR^n [/mm] ist abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln. |
Nun gut, ich habe mir mal eine Loesung ueberlegt.
Beweis: Angenommen [mm] U\not= \cup^m_1 [/mm] K_µ(a) wobei K_µ(a) eine offene Kugel ist. So gibt es ein [mm] a\in [/mm] U, so dass dessen Kugel nicht ganz oder nur teilweis in U liegt. Also gilt [mm] \forall [/mm] µ>0, das es keine Kugel um a mit dem Radius µ gibt, so dass U eine umgebung ist.
Demnach kann nach Definition von offenen Mengen U nicht offen sein. Widerspruch zu Vorraussetzung, das U offen ist. Also gitb die Behauptung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Do 28.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Beweis: Angenommen [mm]U\not= \cup^m_1[/mm] K_µ(a) wobei K_µ(a) eine
> offene Kugel ist. So gibt es ein [mm]a\in[/mm] U, so dass dessen
> Kugel nicht ganz oder nur teilweis in U liegt. Also gilt
> [mm]\forall[/mm] µ>0, das es keine Kugel um a mit dem Radius µ
> gibt, so dass U eine umgebung ist.
> Demnach kann nach Definition von offenen Mengen U nicht
> offen sein. Widerspruch zu Vorraussetzung, das U offen ist.
> Also gitb die Behauptung.
So eine Kugel gibt es für jeden Punkt einer offenen und beschränkten Menge U. Deswegen gilt deine Behauptung nicht. Ich würde eher eine Konstruktion der abzählbaren Vereinigung versuchen. Etwa mit offenen Kugeln um jede rationale Zahl in U.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Do 28.06.2007 | | Autor: | makw |
Gut. Dann will ich es direkt versuchen. Sei U eine offene Menge in [mm] \IR^n. [/mm] Wegen der Dichtigkeit liegen eine endliche Anzahl von rationalen Zahlen in der Menge U. Nun kann man µ so waehlen, das jede Kugel mit diesem Radius um eine rationale Zahl alle weiteren Nachbarelemente der Menge U umfasst. All diese Kugel bilden eine Vereinigung, so das U= [mm] \cup^m_1 [/mm] K_µ ist. Da die endliche Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist, folgt demnach die Behauptung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:09 Fr 29.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Am Besten hört dich dein Prof nicht, wenn du so was sagst!
Erstmal eine technische Anmerkung: Dichtigkeit gibt es in der Disco. Eine Menge liegt dicht in einer Obermenge. Menge besitzen die Eigenschaft "dicht sein" nicht!
Jetzt zum Wesentlichen: Die Menge der reellen Zahlen ist NICHT endlich! Die ist abzählbar. Der Beweis geht deswegen so:
Man konstruiert um jede Rationale Zahl eine offene Kugel [mm] K_i [/mm] mit Radius, so dass [mm] K_i [/mm] noch ganz in U liegt. Das geht, weil U offen ist. Sonst muss es nicht funktionieren.
Soweit so gut. Jetzt muss man zeigen, dass die Vereinigung dieser Kugeln (das sind abzählbar viele, da die rationalen Zahlen abzählbar sind) jedes Element aus U enthält. Das funktioniert nämlich genau deswegen, weil [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] dicht liegt.
Gruß,
dormant
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