Die 5. Einheitswurzeln < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Fr 27.04.2012 | | Autor: | anon2 |
Benutze das Theorem von MOivre.
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Ist [mm]\zeta[/mm] eine 5. Einheitswurzel, so gilt [mm]\zeta^4=\zeta^{-1}[/mm]
Desweiteren ist [mm]\zeta_n^k = x_k + \mathrm i\, y_k[/mm] mit [mm]x_k = \cos (2\pi k/n) = \cos (360^\circ \cdot k/ n )[/mm] und [mm]y_k = \sin (2\pi k/n) = \sin (360^\circ \cdot k/ n )[/mm]
Setzt doch mal alles ein und vereinfache.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Ah okay, aus [mm] \zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1} [/mm] wird [mm] \zeta^6 [/mm] + [mm] \zeta^4 [/mm] und daraus [mm] \zeta [/mm] + [mm] \zeta^4.
[/mm]
Nun benutze ich die Formeln:
[mm] \zeta^1 [/mm] = cos(72°) + i*sin(72°)
[mm] \zeta^4 [/mm] = cos(288°) + i*sin(288°)
[mm] \Rightarrow \zeta [/mm] + [mm] \zeta^4 [/mm] = cos(72°) + cos(288°) + i*sin(72°)+ i*sin(288°)
Aber wie soll ich nun vereinfachen? Habe mir schon ein paar Additheoreme angeschaut, aber noch nichts passendes gefunden.
Grüße
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> Ah okay, aus [mm]\zeta[/mm] + [mm]\zeta^{-1}[/mm] wird [mm]\zeta^6[/mm] + [mm]\zeta^4[/mm] und
> daraus [mm]\zeta[/mm] + [mm]\zeta^4.[/mm]
> Nun benutze ich die Formeln:
> [mm]\zeta^1[/mm] = cos(72°) + i*sin(72°)
> [mm]\zeta^4[/mm] = cos(288°) + i*sin(288°)
>
> [mm]\Rightarrow \zeta[/mm] + [mm]\zeta^4[/mm] = cos(72°) + cos(288°) +
> i*sin(72°)+ i*sin(288°)
Hallo,
bedenke: 288°=-72°, nutze die Symmetrien von cos und sin.
LG Angela
>
> Aber wie soll ich nun vereinfachen? Habe mir schon ein paar
> Additheoreme angeschaut, aber noch nichts passendes
> gefunden.
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Natürlich, habe ich total vergessen, danke!
Dann erhalte ich:
cos(72°) + cos(288°) + i*sin(72°)+ i*sin(288°) = cos(72°) + cos(-72°) + i*sin(72°) + i*sin(-72°)
= cos(72°) + cos(72°) + i*sin(72°) - i*sin(72°)
= 2*cos(72°)
Damit wäre also w = [mm] \zeta [/mm] + [mm] \zeta^4 [/mm] = 2*cos(72°)
So, aber nun habe ich wieder Probleme die p,q-Formel zu lösen. Die wäre ja [mm] w_{1,2} [/mm] = - [mm] \bruch{w}{2} \pm \wurzel{\bruch{w^2}{4} + 1}. [/mm]
Wenn ich nun 2*cos(72°) einsetzte erhalte ich [mm] w_{1,2} [/mm] = -cos(72°) [mm] \pm \wurzel{cos(72°)^2 + 1}.
[/mm]
Da frage ich mich wie ich auf die - [mm] \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{5}{4}} [/mm] kommen soll.
Ich sehe grade, dass man auf das Ergebnis kommen würde, wenn man w = 1 setzt, aber das hat bestimmt nichts damit zu tun, oder?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Fr 27.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
setze statt w x dann hast du [mm] x^2+x-1=0 [/mm] und bei x= kommt sicher kein x vor. kurz du ast die pq formel falsch benutzt!!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Oh man, du hast natürlich Recht. Da stande ich total auf dem Schlauch!
Vielen Dank an alle die mir geantwortet haben!
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