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Die Ampel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Mi 09.12.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Eine Ampel schaltet alle 2 Minuten automatisch (für einen ganz kurzen Moment) auf grün. Ihre Wartezeit an der Ampel werde durch eine Zufallsvariable X modelliert, deren Dichte f eine stetige Gleichverteilung im Intervall [0,2] ist.
Wenn Sie morgens und abends an der Ampel die Straße überqueren, sind die Wartezeiten (stochastisch) unabhängig voneinander. Die Summe der beiden Wartezeiten sei eine neue Zufallsvariable Z.

a) Man gebe ein maximales Intervall an, auf dem die Dichte h der Zufallsvariablen Z positive Werte hat. Was heißt das anschaulich?

b) Man bestimme die Dichte h der Zufallsvariablen Z.

Hinweis: Für unabhängige Zufallsgrößen X,Y mit Dichten f,g hat die Zufallsgröße Z=X+Y die Dichte

[mm] h(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t)*g(x-t)dt} [/mm]

Was heißt die Dichte f ist eine stetige Gleichverteilung im intervall [0,2] ?

a)

Wenn man 2 mal zwischen 0 und 2 Minuten warten muss, dann wartet man insgesamt zwischen 0 und 4 minuten. Das Intervall ist also:

[0,4]

b)

Ich weiß nicht wie ich hier das integral

[mm] h(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t)*g(x-t)dt} [/mm]

anwenden soll, da f(t) und g(x-t) nicht gegeben sind. Außerdem verstehe ich das mit den grenzen -infty und [mm] \infty [/mm] nicht

        
Bezug
Die Ampel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Do 10.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also vorweg: Ich finde die Aufgabenstellung nicht eindeutig!
Im Detail folgendes:

> Ihre Wartezeit an der Ampel werde durch eine Zufallsvariable X modelliert, deren Dichte f eine stetige Gleichverteilung im Intervall [0,2] ist.

Das kann man jetzt auf 2 Arten verstehen:
1.) X ist gleichverteilt auf [0,2] mit Dichte f
2.) f selbst ist eine auf [0,2] gleichverteilte Zufallsvariable

Laut Text würde ich zu 2.) tendieren, in Anbetracht des Niveaus der Aufgabe glaube ich aber, dass 1.) gemeint ist.
Oder kurz: Die Aufgabe ist blöd formuliert.

Das Tolle ist aber: Eigentlich spielt das fürs Lösen der Aufgabe kaum eine Rolle. Das vorgehen ist in beiden Fällen identisch. Nur das f unterscheidet sich ein bisschen.

> a)
>  
> Wenn man 2 mal zwischen 0 und 2 Minuten warten muss, dann
> wartet man insgesamt zwischen 0 und 4 minuten. Das
> Intervall ist also:
>
> [0,4]

[ok]

> b)
>  
> Ich weiß nicht wie ich hier das integral
>  
> [mm]h(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t)*g(x-t)dt}[/mm]
>  
> anwenden soll, da f(t) und g(x-t) nicht gegeben sind.

Doch sind sie!
Zu deiner Frage: Ich gehe ja davon aus, dass der 1.) Fall oben gemeint ist.
Wie sieht also die Dichte einer Gleichverteilung auf [0,2] aus. Wenn du es nicht weißt: Ihr hattet das bestimmt in der Vorlesung, also Nachschlagen!

Gruß,
Gono

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Die Ampel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Do 10.12.2015
Autor: Rebellismus

Hallo

> Wie sieht also die Dichte einer Gleichverteilung auf [0,2]
> aus. Wenn du es nicht weißt: Ihr hattet das bestimmt in
> der Vorlesung, also Nachschlagen!
>  

Stetige Gleichverteilung im Intervall [a, b]

[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{b-a}, & \mbox{für } a\le{x}\le{b} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]

Für das Intevrall [0,2] gilt dann:

[mm] f(t)=\bruch{1}{2} [/mm]

wie bestimme ich nun g(x-t) ?

und was heißen die Integralgrenzen [mm] -\infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] beim Integral in der Aufgabenstelung? Heißt das für das Intevrall [0,4] sind sind die Integralgrenzen 0 und 4 ?

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Die Ampel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Do 10.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Stetige Gleichverteilung im Intervall [a, b]
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{b-a}, & \mbox{für } a\le{x}\le{b} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]

[ok]  

> Für das Intevrall [0,2] gilt dann:
>  
> [mm]f(t)=\bruch{1}{2}[/mm]

Korrekt. Schreibe das mal in Form einer Funktion die auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist und nicht nur auf [0,2], aber das selbe ausdrückt.

> wie bestimme ich nun g(x-t) ?

Na Y ist auch gleichverteilt, also?
  

> und was heißen die Integralgrenzen [mm]-\infty[/mm] und [mm]\infty[/mm] beim
> Integral in der Aufgabenstelung? Heißt das für das
> Intevrall [0,4] sind sind die Integralgrenzen 0 und 4 ?

Das machen wir später...

Gruß,
Gono

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Die Ampel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Do 10.12.2015
Autor: Rebellismus

Hallo,

> > Für das Intevrall [0,2] gilt dann:
>  >  
> > [mm]f(t)=\bruch{1}{2}[/mm]
>  Korrekt. Schreibe das mal in Form einer Funktion die auf
> ganz [mm]\IR[/mm] definiert ist und nicht nur auf [0,2], aber das
> selbe ausdrückt.

meinst du so ?

[mm] f:\IR{\to}\IR, t\to{\begin{cases} \bruch{1}{2}, & \mbox{für } 0\le{t}\le{2} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}} [/mm]

> > wie bestimme ich nun g(x-t) ?
>  Na Y ist auch gleichverteilt, also?


[mm] g:\IR{\to}\IR, t\to{\begin{cases} \bruch{1}{2}, & \mbox{für } 2\le{t}\le{4} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}} [/mm]

Wie löse ich nun das folgende integral:

[mm] h(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t)*g(x-t)dt} [/mm]

? bzw. was sind die integralgrenzen?

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Die Ampel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Do 10.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

meinst du so ?

>  
> [mm]f:\IR{\to}\IR, t\to{\begin{cases} \bruch{1}{2}, & \mbox{für } 0\le{t}\le{2} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}}[/mm]

Nein!
es ist $f(x) = [mm] \frac{1}{2}1_{[0,2]}(x)$ [/mm]
Damit ist f die Dichte von X auf [mm] \IR [/mm]

> [mm]g:\IR{\to}\IR, t\to{\begin{cases} \bruch{1}{2}, & \mbox{für } 2\le{t}\le{4} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}}[/mm]

Nein, wie kommst du darauf?
Es gilt $g(x) = f(x)$, da Y und X gleichverteilt sind!


> Wie löse ich nun das folgende integral:
>  
> [mm]h(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t)*g(x-t)dt}[/mm]
>  
> ? bzw. was sind die integralgrenzen?

Wenn du jetzt f und g sauber einsetzt, dann wird dein Integrand in bestimmten Bereichen Null :-)

Gruß,
Gono

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Die Ampel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Do 10.12.2015
Autor: Rebellismus

Hallo,

>  Es gilt [mm]g(x) = f(x)[/mm], da Y und X gleichverteilt sind!

sollte es nicht heißen g(t)=f(t) ?

Wenn es gilt: [mm] g(t)=f(t)=\frac{1}{2} [/mm] für [mm] t\in[0,2] [/mm]

was ist dann g(x-t)? ich weiß nicht was der unterschie dzwischen g(t) und g(x-t) ist




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Die Ampel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:31 Fr 11.12.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> >  Es gilt [mm]g(x) = f(x)[/mm], da Y und X gleichverteilt sind!

>  
> sollte es nicht heißen g(t)=f(t) ?

Das ist doch schnuppe wie man die Variable bezeichnet ! Die Funktionen f und g sind gleich ! Also

   f(x)=g(x) für alle x [mm] \in \IR [/mm]

oder

   f(t)=g(t) für alle t [mm] \in \IR [/mm]

oder

    f(otto)=g(otto) für alle otto [mm] \in \IR [/mm]

oder
..........

>  
> Wenn es gilt: [mm]g(t)=f(t)=\frac{1}{2}[/mm] für [mm]t\in[0,2][/mm]
>  
> was ist dann g(x-t)? ich weiß nicht was der unterschie
> dzwischen g(t) und g(x-t) ist

Es geht um das Integral

$ [mm] h(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t)\cdot{}g(x-t)dt} [/mm] $

Wir halten x zunächst fest.

Da f(t)=0  für t>2  oder t<0 ist haben wir

$ [mm] h(x)=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2}{g(x-t)dt} [/mm] $



Es ist  g(x-t)=1/2, falls 0 [mm] \le [/mm] x-t [mm] \le [/mm] 2 und sonst =0, also

     g(x-t)=1/2 , falls x-2 [mm] \let \le [/mm] x und sonst =0.

Jetzt bist Du wieder dran.

FRED

>  
>
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Die Ampel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Fr 11.12.2015
Autor: Rebellismus

Hallo,

ich weiß immer noch nicht was g(x-t) ist bzw. was der unterschied zwischen g(t) und g(x-t) ist. Ich komme mit diesen variablen total durcheinander

> Es geht um das Integral
>  
> [mm]h(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t)\cdot{}g(x-t)dt}[/mm]
>  
> Wir halten x zunächst fest.
>  

was meinst du mit x festhalten?

> Da f(t)=0  für t>2  oder t<0 ist haben wir
>  
> [mm]h(x)=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2}{g(x-t)dt}[/mm]

okay wir betrachten das integral zwischen den grenzen 0 und 2. Dann gilt für [mm] f(t)=\bruch{1}{2} [/mm]
Das verstehe ich soweit

>
>
> Es ist  g(x-t)=1/2, falls 0 [mm]\le[/mm] x-t [mm]\le[/mm] 2 und sonst =0,
> also

Was ist denn jetzt bitte g(x-t) ?

wir haben ja herausgefunden, dass folgendes gilt:

[mm] f(t)=g(t)=\bruch{1}{2} [/mm] für [mm] t\in[0,2], [/mm] sonst f(t)=g(t)=0

jetzt steht aber im Integral g(x-t) und nicht g(t) und das verwirrt mich


> g(x-t)=1/2 , falls x-2 [mm]\let \le[/mm] x und sonst =0.
>  

fehlt hier irgendwas? Was heißt "falls x-2 x" ?

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Die Ampel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Fr 11.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> jetzt steht aber im Integral g(x-t) und nicht g(t) und das verwirrt mich

na g(x-t) ist gerade g(t) an der y-Achse gespiegelt und um x nach links verschoben.

Mach dir das mal an einem Beispiel klar, bspw. für x=5
Dann hast du $g(5-t)$, das sieht jetzt wie aus?

Gruß,
Gono

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