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Wir betrachten für s [mm] \in \IR [/mm] die Potenzreihe
f(x)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}x^{n}
[/mm]
mit den verallgemeinerten Binomialkoezienten [mm] \vektor{s \\ n}. [/mm] Zeigen Sie:
(a) Für s [mm] \not\in \IN0 [/mm] gilt: Der Konvergenzradius der Reihe ist R = 1
also ich nehme dir Formel [mm] R=\limes_{x\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
[mm] R=\limes_{x\rightarrow\infty} |\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+2)*(n+1)!}{s*(s-1)*...*(s-n+1)*n!}| [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] |(s-n+2)(n+1)|
da kommt ja auf jeden fall nicht 1 raus :-( was mache ich falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Mo 03.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Wir betrachten für s [mm]\in \IR[/mm] die Potenzreihe
>
> f(x)= [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}x^{n}[/mm]
>
> mit den verallgemeinerten Binomialkoezienten [mm]\vektor{s \\ n}.[/mm]
> Zeigen Sie:
>
> (a) Für s [mm]\not\in \IN0[/mm] gilt: Der Konvergenzradius der
> Reihe ist R = 1
>
> also ich nehme dir Formel [mm]R=\limes_{x\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm]
Das ist falsch, denn es gilt für den Konvergenzradius $R$:
[mm] R:=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|
[/mm]
> [mm]R=\limes_{x\rightarrow\infty} |\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+2)*(n+1)!}{s*(s-1)*...*(s-n+1)*n!}|[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] |(s-n+2)(n+1)|
Du hast die Klammern vergessen beim letzten Produkt!
DieAcht
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ok, ich hab die formel jetzt so umgestellt...leider komme ich da nicht auf ein brauchbares ergebnis :-( wo liegt denn der fehler?
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{s*(s-1)*...*(s-n+1)}{n!}
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{s*(s-1)*...*(s-n+2)}{(n+1)!}
[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+1)}{n!}}{\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+2)}{(n+1)!}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+1)*n!*(n+1)}{s*(s-1)*...*(s-n+2)*n!}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{(n+1)}{(s-n+2)}|
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> ok, ich hab die formel jetzt so umgestellt...leider komme
> ich da nicht auf ein brauchbares ergebnis :-( wo liegt denn
> der fehler?
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+1)}{n!}[/mm]
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+2)}{(n+1)!}[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+1)}{n!}}{\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+2)}{(n+1)!}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+1)*n!*(n+1)}{s*(s-1)*...*(s-n+2)*n!}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{(n+1)}{(s-n+2)}|[/mm]
Wo ist das Problem ?
Es ist [mm] \lim_{n\to\infty}|\bruch{(n+1)}{(s-n+2)}|=1
[/mm]
FRED
>
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wie kommst du denn da sofort auf 1???
also oberhalb geht doch [mm] (n+1)\to\infty [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
und was s-n+2 ergibt ist doch auch überhaupt nicht klar ???
bzw. ich bräuchte da wohl noch einen zwischenschritt um das nachvollziehen zu können...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> wie kommst du denn da sofort auf 1???
>
> also oberhalb geht doch [mm](n+1)\to\infty[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> und was s-n+2 ergibt ist doch auch überhaupt nicht klar
Im fraglichen Quotienten dividiere Zähler und Nenner durch n.
FRED
> ???
>
> bzw. ich bräuchte da wohl noch einen zwischenschritt um
> das nachvollziehen zu können...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mo 03.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> ok, ich hab die formel jetzt so umgestellt...leider komme
> ich da nicht auf ein brauchbares ergebnis :-( wo liegt denn
> der fehler?
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+1)}{n!}[/mm]
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+2)}{(n+1)!}[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+1)}{n!}}{\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+2)}{(n+1)!}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+1)*n!*(n+1)}{s*(s-1)*...*(s-n+2)*n!}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{(n+1)}{(s-n+2)}|[/mm]
>
Ich muss meinem Vorredner widersprechen.
Natürlich gilt folgendes:
[mm] \lim_{n\to\infty}|\bruch{(n+1)}{(s-n+2)}|=1
[/mm]
Der Rechenweg ist aber falsch,
denn für das letzte Produkt muss dort stehen:
[mm] \frac{1}{\frac{s-(n+1)+1}{n+1}}=\frac{1}{\frac{s-n}{n+1}}=\frac{n+1}{s-n}
[/mm]
Damit folgt:
[mm] $|\frac{a_n}{a_{n+1}}|\to 1$,n\to\infty
[/mm]
Allgemeiner gilt folgendes:
[mm] \vektor{s \\ n}:=\produkt_{j=1}^{n}\frac{s-j+1}{j}
[/mm]
Wir setzen [mm] f(j):=\frac{s-j+1}{j}, [/mm] damit gilt:
[mm] |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=|\frac{\produkt_{j=1}^{n}f(j)}{\produkt_{j=1}^{n+1}f(j)}|=|\frac{1}{f(n+1)}|=|\frac{1}{\frac{s-(n+1)+1}{n+1}}|=|\frac{n+1}{s-n}|\to 1,n\to\infty
[/mm]
Gruß
DieAcht
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klammern vergessen....so ein mist...ich habs jetzt korriegiert das auch meinen herleitung stimmen sollte....
[mm] \lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{\bruch{s\cdot{}(s-1)\cdot{}...\cdot{}(s-n+1)}{n!}}{\bruch{s\cdot{}(s-1)\cdot{}...\cdot{}(s-n+2)}{(n+1)!}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{s\cdot{}(s-1)\cdot{}...\cdot{}(s-n+1)\cdot{}n!\cdot{}(n+1)}{s\cdot{}(s-1)\cdot{}...\cdot{}(s-(n+1)+1)\cdot{}n!}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{(n+1)}{(s-n)}|=1
[/mm]
s [mm] \not\in \IN0 [/mm] wird gefordert da sonst [mm] \vektor{s \\ n} [/mm] = 0 also division durch 0 richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Mo 03.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> klammern vergessen....so ein mist...ich habs jetzt
> korriegiert das auch meinen herleitung stimmen sollte....
> [mm]\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{\bruch{s\cdot{}(s-1)\cdot{}...\cdot{}(s-n+1)}{n!}}{\bruch{s\cdot{}(s-1)\cdot{}...\cdot{}(s-n+2)}{(n+1)!}}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{s\cdot{}(s-1)\cdot{}...\cdot{}(s-n+1)\cdot{}n!\cdot{}(n+1)}{s\cdot{}(s-1)\cdot{}...\cdot{}(s-(n+1)+1)\cdot{}n!}|=\lim_{n\to\infty}|\bruch{(n+1)}{(s-n)}|=1[/mm]
Der zweite Term ist noch immer falsch, aber ich denke,
dass du das dem copy&paste zu verschulden ist.
> s [mm]\not\in \IN0[/mm] wird gefordert da sonst [mm]\vektor{s \\ n}[/mm] = 0
> also division durch 0 richtig?
Wo wird denn durch $0$ dividiert?
Der Binomialkoeffizient ist definiert für [mm] n\in\IC [/mm] und [mm] k\in\IZ_0^{+} [/mm] mit:
[mm] \vektor{n \\ k}:=\produkt_{j=1}^{k}\frac{n-j+1}{j}
[/mm]
Wenn $k$ negativ ist, dann erhalten wir $0$.
Gruß
DieAcht
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