Die Binomialreihe2 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wir betrachten für s $ [mm] \in \IR [/mm] $ die Potenzreihe
f(x)= $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}x^{n} [/mm] $
mit den verallgemeinerten Binomialkoezienten $ [mm] \vektor{s \\ n}. [/mm] $ Zeigen Sie:
(c) [mm] (1+x)^{s}= \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}x^{n} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] (-1,1)
Anleitung: Zeigen Sie, dass (1+x)*f'(x) = s*f(x) auf (-1, 1) und folgern Sie, dass die Funktion
g(x):= [mm] f(x)*(1+x)^{-s} [/mm] konstant gleich 1 ist.
also f'(x) ist ja [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n*\vektor{s \\ n}x^{n-1}
[/mm]
also [mm] (1+x)*f'(x)=\summe_{n=1}^{\infty}n*\vektor{s \\ n}x^{n-1}*(1+x)=\summe_{n=1}^{\infty}\vektor{s \\ n}x^{n-1}*(n+nx)=\bruch{s*(s-1)*...*(s-n+1)*(n+xn)}{n!}
[/mm]
nun komme ich nicht weiter :-( hat jemand eine idee wie ich weiter umformen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> also [mm](1+x)*f'(x)=\summe_{n=1}^{\infty}n*\vektor{s \\ n}x^{n-1}*(1+x)[/mm]
$=f'(x) + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] \vektor{s \\ n}x^n [/mm] = f'(x) + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(s-(n-1)) \vektor{s \\ n-1}x^n [/mm] $
Kommst nun weiter?
Gruß,
Gono.
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ehrlich gesagt kann ich deine rechenschritte nicht ganz nachvollziehen :-( wieso taucht denn das f'(x) jetzt auf beiden seiten der formel auf???
bin hier gerade echt am verzweifeln :-(
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Hiho,
> ehrlich gesagt kann ich deine rechenschritte nicht ganz nachvollziehen :-( wieso taucht denn das f'(x) jetzt auf beiden seiten der formel auf???
na du hast doch angefangen mit:
$(1+x)f'(x) = f'(x) + xf'(x) = f'(x) + [mm] \summe_{n=1}^\infty [/mm] n [mm] \vektor{s \\ n}x^n [/mm] = f'(x) + [mm] \summe_{n=1}^\infty (s-(n-1))\vektor{s \\ n-1} x^n$
[/mm]
Nun du weiter.
Gruß,
Gono.
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(1+x)f'(x) = f'(x) + xf'(x) = f'(x) + [mm] \summe_{n=1}^\infty [/mm] n [mm] \vektor{s \\ n}x^n [/mm] = f'(x) + [mm] \summe_{n=1}^\infty (s-(n-1))\vektor{s \\ n-1} x^n=\summe_{n=1}^\infty (s-(n-1))\vektor{s \\ n-1} x^{n-1}+\summe_{n=1}^\infty (s-(n-1))\vektor{s \\ n-1} x^n=(s-(n-1))*(\summe_{n=1}^\infty \vektor{s \\ n-1} x^{n-1}+\summe_{n=1}^\infty \vektor{s \\ n-1} x^n)
[/mm]
ich weiss leider garnicht wie ich da voran kommen kann...und wie bekomme ich denn den index der summe wieder auf 0 ?
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Hiho,
lass das f'(x) doch vorne mal so stehen und forme nur den hinteren Teil um.
Wir haben also:
$f'(x) + [mm] \summe_{n=1}^\infty (s-(n-1))\vektor{s \\ n-1} x^n$
[/mm]
> und wie bekomme ich denn den index der summe wieder auf 0 ?
Indexverschiebung!
Und zwar genau jetzt und dann die Summe weiter auseinander ziehen, dann fällt das f'(x) auch raus.
Gruß,
Gono.
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ok ich hab noch nie so eine indexverschiebung gemacht...wenn ich den index auf 0 setze addiere ich ja in der summe noch einen summanden größer..also muss ich den zum ausgleich auch wieder abziehen?
f'(x) + [mm] \summe_{n=1}^\infty (s-(n-1))\vektor{s \\ n-1} x^n=f'(x) [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^\infty (s-(n-1))\vektor{s \\ n-1} x^n-(s-(0-1))\vektor{s \\ 0-1} x^0
[/mm]
aber das kann ja nicht hin hauen :-(
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Hiho,
> ok ich hab noch nie so eine indexverschiebung gemacht...wenn ich den index auf 0 setze addiere ich ja in der summe noch einen summanden größer..also muss ich den zum ausgleich auch wieder abziehen?
Das ist keine Indexverschiebung.
Eine Indexverschiebung ist folgendes: Verschiebst du den Index um -1 musst du im Gegenzug den Laufindex in der Summe um eins erhöhen.
Oder anders ausgedrückt: Verringere den Index um 1 und ersetze n durch n+1 (bzw. n-1 durch n, was das selbe ist!)
Und wenn du das noch nie gemacht hast, solltest du das üben.
Gruß,
Gono.
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ok das war eindeutiger mist...ist es dann so richtig?
[mm] \summe_{n=1}^\infty (s-(n-1))\vektor{s \\ n-1} x^n=f'(x)+\summe_{n=0}^\infty (s-n))\vektor{s \\ n} x^{n+1}
[/mm]
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Hiho,
> [mm]\summe_{n=1}^\infty (s-(n-1))\vektor{s \\ n-1} x^n=f'(x)+\summe_{n=0}^\infty (s-n))\vektor{s \\ n} x^{n+1}[/mm]
wie auch immer das f'(x) da nun rein kommt, davon steht links nämlich nix. Aber die Indexverschiebung sieht erstmal gut aus, nun noch ein bisschen umformen, dann steht eigentlich alles da.
Stelle nur gerade fest, dass es wohl übersichtlicher bleibt, wenn man nur mit f'(x) anfängt, anstatt mit (1+x)f'(x), aber letztlich ist es egal, sollte beide Male ja was Wahres rauskommen 
Kannst du ja selbst mal ausprobieren.
Gruß,
Gono.
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soooo ich habs jetzt auch lieber hintenrum gemacht^^ ich hoffe mal das ist so richtig
[mm] f'(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\vektor{s \\ n}*n*x^{n-1}=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n+1}*(n+1)*x^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}*(s-n)*x^{n}=s*\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}*x^{n}-(\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}*n*x^{n-1})*x=s*\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}*x^{n}-f'(x)x
[/mm]
und
[mm] f'(x)=s*\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}*x^{n}-f'(x)x
[/mm]
[mm] \gdw f'(x)+f'(x)x=s*\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}*x^{n}
[/mm]
[mm] \gdw f'(x)*(1+x)=s*\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}*x^{n}
[/mm]
jetzt fehlt mir nur noch eine idee wie ich folgern kann, dass die Funktion
g(x):= $ [mm] f(x)\cdot{}(1+x)^{-s} [/mm] $ konstant gleich 1 ist.
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Hiho,
> jetzt fehlt mir nur noch eine idee wie ich folgern kann, dass die Funktion g(x):= [mm]f(x)\cdot{}(1+x)^{-s}[/mm] konstant gleich 1 ist.
Ableiten!
Gruß,
Gono.
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ok wenn ich das ableite bekomme ich da
d/dx [mm] g(x)=(x+1)^{-s-1}*(f'(x)*(x+1)-s*f(x))
[/mm]
also g'(x)=0
und f(0)=1 also auch g(0)=1 und da die steigung g'(x)=0 ist die funktion konstant 1
hab ich das so richtig verstanden?
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Hiho,
> also g'(x)=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und f(0)=1 also auch g(0)=1 und da die steigung g'(x)=0 ist die funktion konstant 1
> hab ich das so richtig verstanden?
Scheint so.
Nach f umstellen und du bist fertig.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Di 04.02.2014 | | Autor: | gogogo125 |
also:
[mm] f(x)*(1+x)^{-s}=1
[/mm]
[mm] \gdw f(x)*\bruch{1}{(1+x)^{s}}=1 |*(1+x)^{s}
[/mm]
[mm] \gdw f(x)=(1+x)^{s}
[/mm]
und erledigt :-D:-D:-D
vielen vielen dank für die hilfe...ohne dich hätte ich es nicht hin bekommen...die letzten zettel vor der klausur sind aber auch ne harte nuss...zumindest für mich 
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