Die Drehgruppe des Würfels < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 So 29.05.2011 | | Autor: | Manu87 |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Gruppe S4 zur Drehgruppe G des
dreidimensionalen Würfels isomorph ist, und zwar wie folgt:
- G permutiert die 4 Diagonalen des Würfels. Begründen Sie (ohne zu rechnen!), dass dies (durch Nummerieren der Diagonalen) einen Homomorphismus $p : G [mm] \to [/mm] S4$ ergibt.
- Zeigen Sie, dass $p$ injektiv ist.
- Zeigen Sie, dass G und S4 gleich viele Elemente enthalten
- Folgern Sie, dass $p$ ein Isomorphismus ist. |
Hallo Leute,
Algebra ist nicht mein stärkstes Gebiet. Ich wär euch sehr dankbar wenn ihr mir auf die Sprünge helfen würdet.
"G permutiert die 4 Diagonalen des Würfels" was soll das bedeuten? Wie begründe ich die Existenz eines Homomorphismus?
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> Beweisen Sie, dass die Gruppe S4 zur Drehgruppe G des
> dreidimensionalen Würfels isomorph ist, und zwar wie
> folgt:
> - G permutiert die 4 Diagonalen des Würfels. Begründen
> Sie (ohne zu rechnen!), dass dies (durch Nummerieren der
> Diagonalen) einen Homomorphismus [mm]p : G \to S4[/mm] ergibt.
> - Zeigen Sie, dass [mm]p[/mm] injektiv ist.
> - Zeigen Sie, dass G und S4 gleich viele Elemente
> enthalten
> - Folgern Sie, dass [mm]p[/mm] ein Isomorphismus ist.
> Hallo Leute,
>
> Algebra ist nicht mein stärkstes Gebiet. Ich wär euch
> sehr dankbar wenn ihr mir auf die Sprünge helfen würdet.
>
> "G permutiert die 4 Diagonalen des Würfels" was soll das
> bedeuten? Wie begründe ich die Existenz eines
> Homomorphismus?
Hallo Manu87,
wenn dir Algebra nicht so sehr liegt, dann vielleicht
etwas Geometrie ?
Die einzelnen Elemente der Drehgruppe des Würfels
entsprechen den verschiedenen Arten, wie man einen
Würfel (mit unterscheidbaren Ecken und z.B. Seiten-
färbungen) auf ein Grundquadrat der Größe eines
seiner Seitenquadrate stellen kann. Ich würde dir
folgendes Experiment vorschlagen: Nimm (oder
mach dir) einen Würfel, bei dem du die Eckpunkte
mit A,B,C,D bezeichnest (oder meinetwegen rot,
grün, blau, schwarz markierst), und zwar jeweils zwei
durch eine Körperdiagonale verbundene Ecken gleich.
Zeichne ein Quadrat, dessen Ecken du mit 1,2,3,4
nummerierst. Dann kannst du dich vergewissern,
dass jede mögliche Art, den Würfel auf das Quadrat
zu stellen, eine Permutation der 4 Buchstaben
ergibt. Schau einfach, welche Buchstaben jene
Würfelecken haben, die auf die Ecken 1,2,3,4 des
Quadrates zu liegen kommen, und führe Protokoll.
Mach dir klar, dass jede mögliche Position des
Würfels eindeutig und vollständig charakterisiert
ist durch die Angabe der entsprechenden Permutation
und dass umgekehrt wirklich jede solche Permutation
entstehen kann.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 29.05.2011 | | Autor: | Manu87 |
Okay, also logischerweise habe ich dann 4 Permutationen pro Seite. Ich ahbe 6 Seiten mit je 2 gleichen. D.h. ich habe 12 Permutationen. Inwiefern bringt mich das nun weiter?
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> Okay, also logischerweise habe ich dann 4 Permutationen pro
> Seite. Ich ahbe 6 Seiten mit je 2 gleichen. D.h. ich habe
> 12 Permutationen. Inwiefern bringt mich das nun weiter?
Deine Antwort zeigt mir nur, dass du das vorgeschlagene
Modell nicht wirklich gemacht und damit experimentiert
hast !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 So 29.05.2011 | | Autor: | Manu87 |
Sorry habe kein bastelzeugs zur Hand. Aber mir ist im Gedankenmodell aufegfallen, dass gegenüberliegende Seite doch nicht gleich sind, denn der Drehsinn ist umgekehrt. Also habe ich doch 4 Permutationen pro Fläche. Also habe ich 4*6=24 Permutationen. Richtig?
Aber was begründet hier den Homomorphismus zu [mm] $S_4$?
[/mm]
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> Sorry habe kein bastelzeugs zur Hand.
Ich habe meinen Rubikwürfel in ein Papier eingewickelt,
mit Klebstreifen verklebt und dann drauf geschrieben.
Minimaler Aufwand also ...
> Aber mir ist im
> Gedankenmodell aufegfallen, dass gegenüberliegende Seite
> doch nicht gleich sind, denn der Drehsinn ist umgekehrt.
Richtig, das ist der Punkt.
> Also habe ich doch 4 Permutationen pro Fläche. Also habe
> ich 4*6=24 Permutationen. Richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das heißt zunächst einmal, dass die Drehgruppe G des
Würfels und die Permutationsgruppe [mm] S_4 [/mm] gleich viele
Elemente haben, nämlich $\ 6*4\ =\ [mm] 4\,!\ [/mm] =\ 24$
> Aber was begründet hier den Homomorphismus zu [mm]S_4[/mm]?
Geometrisch betrachtet ist ja klar, dass bei den
betrachteten Drehungen des Würfels jede Körper-
diagonale stets wieder auf eine Körperdiagonale abge-
bildet wird. Die 4 Körperdiagonalen können wir so
wie die Ecken auch einfach mit A,B,C,D oder mit
a,b,c,d bezeichnen. Jedes der 24 Elemente der
Gruppe D bestimmt also eine ganz bestimmte
Permutation der Körperdiagonalen a,b,c,d .
Damit haben wir eine Abbildung [mm] f:\,G\to{S_4}
[/mm]
Jetzt ist natürlich noch zu begründen, dass diese
Abbildung verknüpfungstreu ist. Vielleicht macht
man sich das zuerst an einem typischen Beispiel
klar, notiert dieses in geeigneter Form und zeigt
dann, dass die Würfeldrehungen genau so ver-
knüpft werden wie die Permutationen der Körper-
diagonalen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Manu87 |
Okay dieser Homomorphismus ist nun angekommen. Aber ich weiß nicht wie ich ihn formal definieren soll. Geht das so in die Richtung:
"Also habe ich (G = {(A,A'),(B,B'),(C,C'),(D,D')}, $*_G$ <vertauschungsoperator>) und [mm] ($S_4$ [/mm] = {1,2,3,4}, [mm] $*_S_4$ [/mm] <vert.op.>). Eine Drehung $*_G$ durch A und A' (Diagonale) Permutiert alle anderen Diagonalen. Das ist wie wenn ich (1234) zu (1342) permutiere( [mm] $*_S_4$ [/mm] ). Das scheint mir wie eine Abbildung [mm] $p(*_S_4) [/mm] = *_G$ zu sein."
Weiterhin habe ich mir die frage nach dem Neutralen und dem Inversen gestellt. Neutrales ist $id$ und das inverse ist die Drehung in die andere Richtung. Richtig so?
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> Okay dieser Homomorphismus ist nun angekommen. Aber ich
> weiß nicht wie ich ihn formal definieren soll. Geht das so
> in die Richtung:
>
> "Also habe ich (G = {(A,A'),(B,B'),(C,C'),(D,D')}, [mm]*_G[/mm]
> <vertauschungsoperator>) und ([mm]S_4[/mm] = {1,2,3,4}, [mm]*_S_4[/mm]
> <vert.op.>). Eine Drehung [mm]*_G[/mm] durch A und A' (Diagonale)
> Permutiert alle anderen Diagonalen. Das ist wie wenn ich
> (1234) zu (1342) permutiere( [mm]*_S_4[/mm] ). Das scheint mir wie
> eine Abbildung [mm]p(*_S_4) = *_G[/mm] zu sein."
Ja, gutes Beispiel.
Hallo Manu,
für den Nachweis muss man wohl gar nicht in die Details
gehen. Auch aus dem Aufgabentext geht dies klar
hervor. Dass G und S4 gleich viele Elemente haben
müssen, ist schon gezeigt, denn den Würfel kann man
auf 6*4=24 Arten auf das Quadrat stellen, also ist
|G|=24 , und |S4|=4!=24 ist auch klar.
Jedes Element von G bewirkt eine gewisse Permuta-
tion der 4 Körperdiagonalen, welche durch ein
Element von S4 dargestellt wird. Ob wir nun Permu-
tationen der 4 Körperdiagonalen oder Permutationen
von 4 abstrakten Elementen betrachten, sie werden
jedenfalls auf dieselbe Weise verknüpft, nämlich durch
Nacheinander-Ausführung der entsprechenden Permu-
tationen. Die Abbildung $ [mm] f:\,G\to{S_4} [/mm] $ muss also
wenigstens ein Gruppenhomomorphismus sein.
Wenn du nun noch zeigen kannst, dass diese Abbildung
$ [mm] f:\,G\to{S_4} [/mm] $ injektiv ist, so muss sie sogar (wegen
|S4|=|G| ein Gruppenisomorphismus sein. Wenn du
magst, kannst du hier statt Injektivität auch die
Surjektivität zeigen (weshalb?).
> Weiterhin habe ich mir die frage nach dem Neutralen und dem
> Inversen gestellt. Neutrales ist [mm]id[/mm] und das inverse ist die
> Drehung in die andere Richtung. Richtig so?
Natürlich. Drehung in die andere Richtung natürlich
stets um dieselbe Drehachse und um den gleichen
Winkel im entgegengesetzten Drehsinn.
Es ist bestimmt auch lehrreich (obwohl in der Aufgabe
nicht verlangt) , sich alle verschiedenen Drehachsen
mit ihren zugehörigen möglichen Drehwinkeln zu
vergegenwärtigen inkl. Bezug zu den entsprechenden
Permutationsabbildungen. Zu jeder möglichen Drehachse
gehört eine Untergruppe von G bzw. S4 .
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Manu87 |
Kommt etwas spätaber trotzdem vielen Dank, Al-(Ch)wissender!
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