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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:24 Do 24.09.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | ...
consider the functions
$\ f: [mm] \IR \mapsto \IR, [/mm] \ x [mm] \mapsto x^2 [/mm] $
$\ g: [mm] \IR \mapsto \IR_{>0}, [/mm] \ x [mm] \mapsto x^2 [/mm] $
Strictly speaking, these are two different functions. One obvious difference is that all elements
in the range of g do have a preimage, while there are elements in the range of f which do
not have a preimage (-1 for example). So the statement “All elements in the range have a
preimage.” is true for g and false for f. |
Hallo,
ich glaube fast, dass ich das soweit verstanden habe, bin mir aber noch ein wenig unsicher.
Sehe ich das richtig, dass in Funktion $\ g $ eine Abbildung von $\ [mm] \IR [/mm] $ auf $\ [mm] \IR_{>0} [/mm] $ derart stattfindet, dass jedem $\ x [mm] \in \mathbb [/mm] D $ nur positive $\ y [mm] \in \IW [/mm] ,\ y > 0 $ zugeordnet werden?
Das würde bedeuten, dass es in $\ g $ für alle $\ x [mm] \in \IR [/mm] $ nur positive Funktionswerte $\ f(x) [mm] \in \IR_{>0} [/mm] $ gibt.
Doch wie versteht es sich, dass für $\ f $ nicht jedes Element aus $\ [mm] \IW [/mm] $ ein $\ x [mm] \in \IR [/mm] $ (Urbild) hat, wie z.b. $\ x = -1 $ ?
Liegt es daran, dass $\ [mm] x^2 [/mm] > 0 $ für alle $\ x [mm] \in \IR [/mm] $ gilt?
Ich glaube, wie gesagt, dass ich es im Wesentlichen verstanden habe.
Im Ganzen bin ich mir aber nicht sicher 
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Do 24.09.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich glaube, dass ich es nun auch im Ganzen verstehe.
Der Grund, weshalb in $\ f $ nicht jedes Element der Wertemenge ein Urbild hat, liegt nur daran, dass die Wertemenge ganz $\ [mm] \IR [/mm] $ ist, doch wegen $\ [mm] x^2 [/mm] > 0 $ für jedes $\ x [mm] \in \IR$ [/mm] haben nur die $\ f(x) [mm] \in \IR [/mm] $ ein Urbild, für die gilt $\ f(x) > 0 $.
Da in $\ g $ hingegen die Wertemenge durch $\ [mm] \IR_{>0} [/mm] $ nach unten beschränkt ist, und somit jedes Element ohnehin positiv ist (also alle $\ y = f(x) > 0 $ gilt, hat auch jedes Element in $\ g $ aus $\ [mm] \IW [/mm] = [mm] \IR_{>0} [/mm] $ ein Urbild.
Stimmt das?
Ich wollte dies hier erst als Mitteilung verfassen, da es im Grunde nur ein eigener Gedanke ist, wie die Frage auf die Antwort lauten könnte.
Doch irgendwie wurde es dann doch zu einer Frage.
Falls meine 2. Frage stimmt, kann man ja beide Fragen als beantwortet markieren. Wäre nett!
Viele Grüße & schönen Abend noch,
ChopSuey
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Stimmt vom Gedanken her wohl...
Ist allerdings grauenhaft formuliert!!!!!!!!!
Und mit grauenhaft meine ich falsch.
"Der Grund, weshalb in $ \ f $ nicht jedes Element der Wertemenge ein Urbild hat, liegt nur daran, dass die Wertemenge ganz $ \ [mm] \IR [/mm] $ ist, doch wegen $ \ [mm] x^2 [/mm] > 0 $ für jedes $ \ x [mm] \in \IR [/mm] $ haben nur die $ \ f(x) [mm] \in \IR [/mm] $ ein Urbild, für die gilt $ \ f(x) > 0 $. "
x² [mm] \ge [/mm] 0,
f(0)=0 hat auch ein Urbild, und davon abgsehen sind alle f(x) [mm] \ge [/mm] 0
Aber wie gesagt, du meinst vermutlich das Richtige...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:01 Do 24.09.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Ja, stimmt. $\ [mm] x^2 \ge [/mm] 0 $ natürlich.
Glaube ich hab's.
Vielen Dank.
Grüße
ChopSuey
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