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Diferentialgleichungen: System von DGLn entkoppeln
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Fr 27.01.2006
Autor: kunzm

Aufgabe
Teilchen im Magnetfeld

Ein Teilchen der Ladung $q$ und der Masse $m$ bewege sich in einem Konstanten Magnetfeld [mm] $\vec{B}$ [/mm] parallel  zur $z$-Achse im Kräftegleichgewicht zwischen [mm] $F_1=m\,\dot{\vec{v}}$ [/mm] und [mm] $F_2=q\,\vec{v}\times\vec{B}$. [/mm]

a) Stelle eine Differentialgleichung für [mm] $\vec{v}$ [/mm] auf.

b) Forme diese DGL in unabhängige DGLn für die Koordinaten von [mm] $\vec{v}$ [/mm] um.

Hallo,

ich bitte um einen Tipp wie ich diese DGLn in Aufgabe b)  entkoppeln lassen kann. Zu Aufgabe a) wüsste ich gerne ob ich das richtig verstanden habe, oder jemand noch eine andere Auffassung von dieser Frage hat.

Hier was ich bis jetzt gemacht habe:

zu a)

Mit [mm] $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$, $\dot{\vec{v}}=(\dot{v_x},\dot{v_y},\dot{v_z})$, $\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)$ [/mm] und der Aussage der Angabe kann man schreiben

[mm] $m\,\dot{\vec{v}}-q\,\vec{v}\times\vec{B}=0$, [/mm]

und erhält eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung für [mm] $\vec{v}$. [/mm]

zu b)

[mm] $m\,\dot{v_x}-q\,(v_yB_z-v_zB_y)=0$, [/mm]
[mm] $m\,\dot{v_y}-q\,(v_zB_x-v_xB_z)=0$, [/mm]
[mm] $m\,\dot{v_z}-q\,(v_xB_y-v_yB_x)=0$ [/mm]


[mm] $m\,\dot{v_x}-qv_yB_z+qv_zB_y=0$, [/mm]
[mm] $m\,\dot{v_y}-qv_zB_x+qv_xB_z=0$, [/mm]
[mm] $m\,\dot{v_z}-qv_xB_y+qv_yB_x=0$ [/mm]

[mm] $v_y=\frac{m\,\dot{v_x}}{q\,B_z}\,+\,\frac{v_zB_y}{B_z}$, [/mm]
[mm] $v_z=\frac{m\,\dot{v_y}}{q\,B_x}\,+\,\frac{v_xB_z}{B_x}$, [/mm]
[mm] $v_x=\frac{m\,\dot{v_z}}{q\,B_y}\,+\,\frac{v_yB_x}{B_y}$. [/mm]

und hier ist mein Versuch diese Gleichungen durch wiederholtes Einsetzen zu entkoppeln dahingegend gescheitert, dass ich letztendlich nur noch die Ableitungen der Komponenten [mm] $v_i$ [/mm] übrig hatte:


[mm] $v_y=\frac{m\,\dot{v_x}}{q\,B_z}\,+\,\left(\frac{m\,\dot{v_y}}{q\,B_x}\,+ \,\frac{v_xB_z}{B_x}\right)\frac{B_y}{B_z}$ [/mm]
[mm] $v_z=\frac{m\,\dot{v_y}}{q\,B_x}\,+\,\left(\frac{m\,\dot{v_z}}{q\,B_y}\,+ \,\frac{v_yB_x}{B_y}\right)\frac{B_z}{B_x}$ [/mm]
[mm] $v_x=\frac{m\,\dot{v_z}}{q\,B_y}\,+\,\left(\frac{m\,\dot{v_x}}{q\,B_z}\,+ \,\frac{v_zB_y}{B_z}\right)\frac{B_x}{B_y}$ [/mm]

und nochmal einsetzten.... und dann bleiben nur noch die Ableitungen übrig. Wie macht man das denn richtig?

Vielen Dank schon mal, Martin

        
Bezug
Diferentialgleichungen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Sa 28.01.2006
Autor: MathePower

Hallo kunzm,

> Teilchen im Magnetfeld
>  
> Ein Teilchen der Ladung [mm]q[/mm] und der Masse [mm]m[/mm] bewege sich in
> einem Konstanten Magnetfeld [mm]\vec{B}[/mm] parallel  zur [mm]z[/mm]-Achse
> im Kräftegleichgewicht zwischen [mm]F_1=m\,\dot{\vec{v}}[/mm] und
> [mm]F_2=q\,\vec{v}\times\vec{B}[/mm].
>  
> a) Stelle eine Differentialgleichung für [mm]\vec{v}[/mm] auf.
>  b) Forme diese DGL in unabhängige DGLn für die Koordinaten
> von [mm]\vec{v}[/mm] um.
>  
> Hallo,
>
> ich bitte um einen Tipp wie ich diese DGLn in Aufgabe b)  
> entkoppeln lassen kann. Zu Aufgabe a) wüsste ich gerne ob
> ich das richtig verstanden habe, oder jemand noch eine
> andere Auffassung von dieser Frage hat.
>  
> Hier was ich bis jetzt gemacht habe:
>  
> zu a)
>  
> Mit [mm]\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)[/mm],
> [mm]\dot{\vec{v}}=(\dot{v_x},\dot{v_y},\dot{v_z})[/mm],
> [mm]\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)[/mm] und der Aussage der Angabe kann man
> schreiben
>  
> [mm]m\,\dot{\vec{v}}-q\,\vec{v}\times\vec{B}=0[/mm],
>  
> und erhält eine lineare homogene Differentialgleichung 1.
> Ordnung für [mm]\vec{v}[/mm].
>  
> zu b)
>  
> [mm]m\,\dot{v_x}-q\,(v_yB_z-v_zB_y)=0[/mm],
>  [mm]m\,\dot{v_y}-q\,(v_zB_x-v_xB_z)=0[/mm],
>  [mm]m\,\dot{v_z}-q\,(v_xB_y-v_yB_x)=0[/mm]
>  
>
> [mm]m\,\dot{v_x}-qv_yB_z+qv_zB_y=0[/mm],
>  [mm]m\,\dot{v_y}-qv_zB_x+qv_xB_z=0[/mm],
>  [mm]m\,\dot{v_z}-qv_xB_y+qv_yB_x=0[/mm]
>  
> [mm]v_y=\frac{m\,\dot{v_x}}{q\,B_z}\,+\,\frac{v_zB_y}{B_z}[/mm],
>  [mm]v_z=\frac{m\,\dot{v_y}}{q\,B_x}\,+\,\frac{v_xB_z}{B_x}[/mm],
>  [mm]v_x=\frac{m\,\dot{v_z}}{q\,B_y}\,+\,\frac{v_yB_x}{B_y}[/mm].
>  
> und hier ist mein Versuch diese Gleichungen durch
> wiederholtes Einsetzen zu entkoppeln dahingegend
> gescheitert, dass ich letztendlich nur noch die Ableitungen
> der Komponenten [mm]v_i[/mm] übrig hatte:
>  
>
> [mm]v_y=\frac{m\,\dot{v_x}}{q\,B_z}\,+\,\left(\frac{m\,\dot{v_y}}{q\,B_x}\,+ \,\frac{v_xB_z}{B_x}\right)\frac{B_y}{B_z}[/mm]
>  
> [mm]v_z=\frac{m\,\dot{v_y}}{q\,B_x}\,+\,\left(\frac{m\,\dot{v_z}}{q\,B_y}\,+ \,\frac{v_yB_x}{B_y}\right)\frac{B_z}{B_x}[/mm]
>  
> [mm]v_x=\frac{m\,\dot{v_z}}{q\,B_y}\,+\,\left(\frac{m\,\dot{v_x}}{q\,B_z}\,+ \,\frac{v_zB_y}{B_z}\right)\frac{B_x}{B_y}[/mm]
>  
> und nochmal einsetzten.... und dann bleiben nur noch die
> Ableitungen übrig. Wie macht man das denn richtig?

schreibe zunächst das System von DGLen so:

[mm]\dot{\vec{v}}\;=\;A\;\vec{v}[/mm]

Bestimme dann die []Eigenwerte der Matrix A mit den zugehörigen Eigenvektoren.

Dies ergibt dann eine Transformationsmatrix C, welche sich aus den Eigenvektoren aufbaut.

Mit der Transformation

[mm]\vec{v}\;=\;C\;\vec{w}[/mm]

ergibt sich das DGL-System

[mm]\dot{\vec{w}}\;=\;C^{-1}\;A\;C\;\vec{w}[/mm]

Dieses DGL-System hat jetzt eine Gestalt, welche einfacher zu lösen ist.

Danach muss allerdings wieder die Transformation rückgängig gemacht werden.

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Diferentialgleichungen: einfacher?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Sa 28.01.2006
Autor: kunzm

Hallo,

danke für den Tipp aber wenn ich das ernsthaft mache, dann passiert folgendes:

a) Stelle eine Differentialgleichung für [mm] $\vec{v}$ [/mm] auf.

Mit [mm] $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$, $\dot{\vec{v}}=(\dot{v_x},\dot{v_y},\dot{v_z})$, $\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)$ [/mm] und der Aussage der Angabe kann man schreiben

[mm] $m\,\dot{\vec{v}}-q\,\vec{v}\times\vec{B}=0$, [/mm]

und erhält eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung für [mm] $\vec{v}$. [/mm]

b) Forme diese DGL in unabhängige DGLen für die Koordinaten von [mm] $\vec{v}$ [/mm] um.

Man kann die DGL aus a) Koordinatenweise schreiben

[mm] $m\,\dot{v_x}=q\,(v_yB_z-v_zB_y)$ [/mm]
[mm] $m\,\dot{v_y}=q\,(v_zB_x-v_xB_z)$ [/mm]
[mm] $m\,\dot{v_z}=q\,(v_xB_y-v_yB_x)$ [/mm]

und sieht den Zusammenhang

[mm] $m\left(\begin{matrix}\dot{v_x}\\\dot{v_y}\\\dot{v_z}\end{matrix}\right)=q\left(\begin{matrix}0&B_z&-B_y\\-B_z&0&B_x\\B_y&-B_x&0\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\end{matrix}\right):=q \textbf{A} \vec{v}$ [/mm]

Um die DGLen zu entkoppeln berechne ich die Eigenwerte von [mm] \textbf{A}: [/mm]

[mm] $\det\textbf{A}=-\lambda^3-\lambda(B_x^2+B_y^2+B_z^2)$ [/mm]

[mm] $-\lambda^3-\lambda(B_x^2+B_y^2+B_z^2):=0$ [/mm]
[mm] $\lambda_{1/2}=\pm [/mm] i [mm] \sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}\,\,$, [/mm]
[mm] $\lambda_3=0$ [/mm]

Die dazugehörigen Eigenvektoren sind:

[mm] $E_1=(B_x,B_y,B_z)$ [/mm]

[mm] $E_2=\left(\frac{-B_xB_y+B_z\sqrt{-B_x^2-B_y^2-B_z^2}}{-B_yB_z-B_x\sqrt{-B_x^2-B_y^2-B_z^2}},\frac{-B_x^2-B_z^2}{B_yB_z+B_x\sqrt{-B_x^2-B_y^2-B_z^2}},1\right):=(k_1,k_2,k_3)$ [/mm]

[mm] $E_3=\left(\frac{B_xB_y+B_z\sqrt{-B_x^2-B_y^2-B_z^2}}{B_yB_z-B_x\sqrt{-B_x^2-B_y^2-B_z^2}},\frac{-B_x^2-B_z^2}{B_yB_z-B_x\sqrt{-B_x^2-B_y^2-B_z^2}},1\right):=(l_1,l_2,l_3)$ [/mm]

Sein nun:

[mm] $\textbf{C}=\left(\begin{matrix}B_x&k_1&l_1\\B_y&k_2&l_2\\B_z&k_3&l_3\end{matrix}\right)$,sowie $\vec{v}=\textbf{C}\,\vec{w}$ [/mm]

Dann ist [mm] $\dot{\vec{w}}=\textbf{C}^{-1}\textbf{A}\textbf{C}\,\vec{w}$ [/mm] und es folgt:

eine mittelprächtige Katastrophe die Mathematica zwar willig berechnet, auf deren Formatierung in TEX ich aber gerne verzichten würde.
Hab ich das falsch verstanden oder sollte ich stur mit meinen ks und ls weitermachen, also Invertieren.....?

Gruß, Martin

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Diferentialgleichungen: B in z-Richtung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:34 So 29.01.2006
Autor: leduart

Hallo Martin
Du hast die wichtigste Bemerkung in der Aufgabe übersehen :Magnetfeld parallel zur z Achse, d.h. [mm] B_{x}=B_{y}=0 [/mm]
damit vereinfachen sich deine Dgl. unglaublich. Die Koordinatentrennung machst du dann, indem du die v noch mal differenzierst und dann für die 2 Koordinaten der Geschw. in x und y Richtung je eine Dgl.2. Ordnung rauskriegst. in z-Richtung v'=0
Die Lösung gibt Eine Schraubenlinie Kreis in x-yRichtung, konstante Geschw. in z- Richtung. Da du Physik machst, wirst du das wohl auch wissen.
Im anderen Fall hättest du einfach bei konstantem Magnetfeld eine Geschw. in Feldrichtung genommen und dann ausgerechnet. d.h. das Koordinatensystem gedreht.
Wenn man die Physik dahinter sieht, braucht man nicht so schreckliche allgemeine Matrixoperationen!(Da würd ich auch aussteigen, aber auch die Mathe sagt ja, dass wenn v teilweise senkrecht B ist das einfacher wird!) Physik ist schööön!
Gruss leduart

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Diferentialgleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 So 29.01.2006
Autor: kunzm

...bewegt sich in einem konstanten Magnetfeld B parallel zur z-Achse...

Ich dachte jetzt doch glatt das Teilchen "bewege sich parallel" zur z-Achse in einem B-Feld, was natürlich jegliche normale Lösung ausschließt. Bin offensichtlich schlimm überlastet im Moment... Der Wald und die Bäume...

Thanks, M.

Bezug
                                
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Diferentialgleichungen: Es kreiselt, aber..
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 So 29.01.2006
Autor: kunzm

Hallo,

ich schon wieder.Jetzt kann das auch ich durchrechnen, nur ein Problem tut sich mir auf. Gemäß den Gesetzten der Vektoralgebra passt das nicht.

Wenn das B-Feld nur eine z-Komponente hat, dann kann sich das Teilchen in z-Richtung nicht ungestört ausbreiten. Es muss alternieren in z und x oder z und y (wenn man rechtwinklige Systeme betrachtet). Nicht aber in x und y. Und genau das passiert bei mir. Wo ist da der Wurm drin?

Teilchen im Magnetfeld

Ein Teilchen der Ladung $q$ und der Masse $m$ bewege sich in einem konstanten Magnetfeld [mm] $\vec{B}$ [/mm] parallel zur $z$-Achse im Kräftegleichgewicht zwischen [mm] $F_1=m\,\dot{\vec{v}}$ [/mm] und [mm] $F_2=q\,\vec{v}\times\vec{B}$. [/mm]

a) Stelle eine Differentialgleichung für [mm] $\vec{v}$ [/mm] auf.

Mit [mm] $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$, $\dot{\vec{v}}=(\dot{v_x},\dot{v_y},\dot{v_z})$, $\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)$ [/mm] und der Aussage der Angabe kann man schreiben

[mm] $m\,\dot{\vec{v}}-q\,\vec{v}\times\vec{B}=0$, [/mm]

und erhält eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung für [mm] $\vec{v}$. [/mm]


b) Forme diese DGL in unabhängige DGLen für die Koordinaten von [mm] $\vec{v}$ [/mm] um.

Man kann die DGL aus a) Koordinatenweise schreiben

[mm] $m\,\dot{v_x}=q\,(v_yB_z-v_zB_y)$ [/mm]
[mm] $m\,\dot{v_y}=q\,(v_zB_x-v_xB_z)$ [/mm]
[mm] $m\,\dot{v_z}=q\,(v_xB_y-v_yB_x)$ [/mm]


Da das B-Feld parallel zur $z$-Achse liegt vereinfachen sich die Gleichungen zu:

[mm] $m\,\dot{v}_x=q\,v_yB_z$ [/mm]
[mm] $m\,\dot{v}_y=-q\,v_xB_z$ [/mm]
[mm] $m\,\dot{v}_z=0$ [/mm]

Nochmaliges Ableiten liefert:

[mm] $m\,\ddot{v}_x=q\,\dot{v}_yB_z$ [/mm]
[mm] $m\,\ddot{v}_y=-q\,\dot{v}_xB_z$ [/mm]
[mm] $m\,\ddot{v}_z=0$ [/mm]

Einsetzten liefert weiter:

[mm] $m\,\ddot{v}_x=-v_x\frac{q^2B_z^2}{m}$ [/mm]
[mm] $m\,\ddot{v}_y=-v_y\frac{q^2B_z^2}{m}$ [/mm]
[mm] $\ddot{v}_z=0$ [/mm]

Integration über t mit der Voraussetzung [mm] $\dot{x}=v$ [/mm] und dem Wissen, dass ich keine Konstanten "wegdifferenziert" habe ergibt:

[mm] $m\,\ddot{x}_x=-x_x\frac{q^2B_z^2}{m}$, [/mm]
[mm] $m\,\ddot{x}_y=-x_y\frac{q^2B_z^2}{m}$, [/mm]
[mm] $\ddot{x}_z=0$ [/mm]


[mm] $x_x\,=-\frac{m^2}{q^2B_z^2}\ddot{x}_x$ [/mm]
[mm] $x_y\,=-\frac{m^2}{q^2B_z^2}\ddot{x}_y$ [/mm]
[mm] $x_z=c_1\,t+c_2$ [/mm]


c) Rate eine [mm] $\vec{v}$ [/mm] Lösung des Problems aus b), verifiziere sie und beschreibe die Bahn in Worten.

Hat man den Exponentialansatz im Hinterkopf, so könnte eine Lösung sein:

[mm] $x_x(t)=\sin(\omega [/mm] t)$,
[mm] $x_y(t)=\cos(\omega [/mm] t)$,
[mm] $\omega=\frac{m}{q\,B_z}$ [/mm]

Ich verifiziere:

[mm] $\dot{x}_x(t)=\omega \cos(\omega [/mm] t)$,
[mm] $\dot{x}_y(t)=-\omega \sin(\omega [/mm] t)$

[mm] $\ddot{x}_x(t)=-\omega^2 \sin(\omega [/mm] t)$,
[mm] $\ddot{x}_y(t)=-\omega^2 \cos(\omega [/mm] t)$

Und Vergleich mit den Bewegungsgleichungen aus b) liefert den Beweis. Die Trajektorie des Teilchens im Feld beschreibt eine kreisförmige Schraubenlinie, da die Bewegung in zwei Dimemsionen phasenverschoben alterniert und in der Dritten unverändert bleibt. Eine Initialgeschwindigkeit in dieser Richtung sei allerdings vorausgesetzt.

Danke, Martin

Bezug
                                        
Bezug
Diferentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 So 29.01.2006
Autor: leduart

Hallo
alles soweit richtig, nur die Aufgabenstellung sagt ne Lösung für v, nicht für x finden. und es fehlen Konstanten, um das an Anfangsbed. anzupassen!
alsoz. Bsp: [mm] v_{x}=Asin(wt+\phi) [/mm] usw.  [mm] x(t)=......+x_{0} [/mm]
was die eFkt da zu suchen hat, versteh ich nicht, durch y''=-y sind die trig. Fkt. definiert!
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
Diferentialgleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 So 29.01.2006
Autor: kunzm

Ok,

alles klar, aber was meinst Du mit e Funktion?

G.M.

Bezug
                                                        
Bezug
Diferentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 So 29.01.2006
Autor: leduart

Hallo
Dein satz
Hat man den Exponentialansatz im Hinterkopf! Stell mir den dadrin vor! immer noch besser als ...
Gruss leduart

Bezug
                                                                
Bezug
Diferentialgleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:05 Mo 30.01.2006
Autor: kunzm

na gut, wo du recht hast..

L.G.M.

Bezug
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