Diff.-barkeit komplexer Fkten. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mi 14.09.2011 | | Autor: | Enton |
| Aufgabe | | Ist die komplexe Funktion f(z)=sin(z)/z regulär bzw. differenzierbar auf der komplexen Zahlenebene? |
Ich habe eine Frage zu Grenzwerten.
Wenn ich die komplexe Funktion f(z)=sin(z)/z habe, dann kann ich folgende Grenzwerte bilden:
f'(0) = lim z->0 von (f(z)-f(0))/(z-0) = lim z->0 von ((sin(z)/z)-0)/z = lim z->0 von [mm] sin(z)/(z^2) [/mm] = lim z->0 von cos(z)/2z = unendlich
demnach gehe ich davon aus, dass sin(z)/z an der Stelle z=0 keine Ableitung besitzt.
Allerdings kann ich zeigen, dass f(z)=sin(z)/z an der Stelle z=0 einen Grenzwert hat. Also lim z->0 von sin(z)/z = lim z->0 von cos(z)/1 = 1
Man kann sin(z)/z als Potenzreihe schreiben: 1 - [mm] (1/3!)*z^2 [/mm] + [mm] (1/5!)*z^4.....
[/mm]
Solch eine Potenzreiche lässt sich immer differenzieren, wenn sie nur einen Regulärteil hat, so wie diese hier.
Demnach müsste sin(z)/z eine reguläre Funktion sein und somit auch differenzierbar. Warum bekomme ich dann in meinem oben beschriebenen Beispiel keinen Grenzwert für f'(0) ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Mi 14.09.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo Enton,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ist die komplexe Funktion f(z)=sin(z)/z regulär bzw.
> differenzierbar auf der komplexen Zahlenebene?
> Ich habe eine Frage zu Grenzwerten.
> Wenn ich die komplexe Funktion f(z)=sin(z)/z habe, dann
> kann ich folgende Grenzwerte bilden:
>
> f'(0) = lim z->0 von (f(z)-f(0))/(z-0) = lim z->0 von
> ((sin(z)/z)-0)/z = lim z->0 von [mm]sin(z)/(z^2)[/mm] = lim z->0 von
> cos(z)/2z = unendlich
> demnach gehe ich davon aus, dass sin(z)/z an der Stelle
> z=0 keine Ableitung besitzt.
Die Funktion ist in z=0 überhaupt nicht definiert. Oder fehlt da noch was in der Aufgabenstellung?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:39 Do 15.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Wgen [mm] \limes_{z\rightarrow 0}f(z)=1, [/mm] kannst Du definieren:
f(0):=1.
Damit hast Du f auf ganz [mm] \IC [/mm] fortgesetzt. Der Differenzenquotient in z=0 lautet dann:
[mm] \bruch{f(z)-1}{z}.
[/mm]
Nun berechne mal
[mm] \limes_{z\rightarrow 0} \bruch{f(z)-1}{z}.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Do 15.09.2011 | | Autor: | Enton |
Okay, vielen Dank.
Ich habe den Grenzwert von (sin(z)/z - 1)/z an der Stell 0 wie folgt gebildet:
Nenner und Zähler wären 0 => Nenner und Zähler abgeleitet
Der Nenner ist jetzt 1 => bleibt nur noch die Ableitung des Zählers, die wieder ein Bruch ist, der im Nenner und Zähler 0 wird wenn z gegen 0 geht:
(cos(z)*z - [mm] sin(z))/z^2
[/mm]
Also wieder Zähler und Nenner abgeleitet:
-sin(z)/2 entsteht und das ist 0 für z=0, also ist die Ableitung von sin(z)/z an der Stelle z=0 deshalb 0, richtig?
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Hallo Enton,
> Okay, vielen Dank.
> Ich habe den Grenzwert von (sin(z)/z - 1)/z an der Stell 0
> wie folgt gebildet:
> Nenner und Zähler wären 0 => Nenner und Zähler
> abgeleitet
> Der Nenner ist jetzt 1 => bleibt nur noch die Ableitung
> des Zählers, die wieder ein Bruch ist, der im Nenner und
> Zähler 0 wird wenn z gegen 0 geht:
> (cos(z)*z - [mm]sin(z))/z^2[/mm]
> Also wieder Zähler und Nenner abgeleitet:
> -sin(z)/2 entsteht und das ist 0 für z=0, also ist die
> Ableitung von sin(z)/z an der Stelle z=0 deshalb 0,
> richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das stimmt im Ergebnis, ist aber reichlich umständlich.
Außerdem bleibt die Frage an dich:
Gilt die Regel von de l'Hôpital denn überhaupt im Komplexen? Kann man sie 1:1 aus dem Reellen übertragen?
Weitaus einfacher und vieeel eleganter ist es m.E., die Potenzreihe (zumindest deren "Anfang") für den Sinus einzusetzen in [mm]\frac{\frac{\sin(z)}{z}-1}{z}[/mm]
Dann kürzt sich doch so einiges weg und man kann sehr bequem [mm]z\to 0[/mm] laufen lassen ...
Gruß
schachuzipus
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