Diff.gl. mit Separation der V. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und geben Sie den Definitionsbereich der Lösung an.
[mm] y*y'+x^{-2}=0, x\not=0 [/mm] |
Ich habe folgendes berechnet:
[mm] y'=-\bruch{1}{x^{2}*y}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}= -x^{-2}*\bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{\bruch{1}{y}}= -x^{-2}dx
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{y dy}=\integral_{}^{}{-x^{-2} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{y^{2}}{2}+c=\bruch{1}{x}+k
[/mm]
[mm] \bruch{y^{2}}{2}=\bruch{1}{x}+(k-c) [/mm] Umbenennung (k-c)=a a<0
[mm] \bruch{y^{2}}{2}=\bruch{1}{x}+a
[/mm]
[mm] y^{2}=\bruch{2}{x}+a
[/mm]
[mm] y=\wurzel{\bruch{2}{x}+a}
[/mm]
Stimmt das soweit? Wie bestimmt man den Definitionsbereich?
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Hallo Aucuba,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung und geben Sie den Definitionsbereich
> der Lösung an.
> [mm]y*y'+x^{-2}=0, x\not=0[/mm]
> Ich habe folgendes berechnet:
> [mm]y'=-\bruch{1}{x^{2}*y}[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{dx}= -x^{-2}*\bruch{1}{y}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{\bruch{1}{y}}= -x^{-2}dx[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{y dy}=\integral_{}^{}{-x^{-2} dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{y^{2}}{2}+c=\bruch{1}{x}+k[/mm]
> [mm]\bruch{y^{2}}{2}=\bruch{1}{x}+(k-c)[/mm] Umbenennung (k-c)=a
> a<0
> [mm]\bruch{y^{2}}{2}=\bruch{1}{x}+a[/mm]
> [mm]y^{2}=\bruch{2}{x}+a[/mm]
> [mm]y=\wurzel{\bruch{2}{x}+a}[/mm]
Genau genommen ergeben sich hier 2 Lösungen:
[mm]y=\blue{+}\wurzel{\bruch{2}{x}+a}[/mm]
und
[mm]y=\blue{-}\wurzel{\bruch{2}{x}+a}[/mm]
> Stimmt das soweit? Wie bestimmt man den
> Definitionsbereich?
Ja, das stimmt soweit.
Für die Bestimmung des Definitionsbereiches betrachte
[mm]y^{2}=\bruch{2}{x}+a[/mm]
Da die linke Seite [mm]}\ge 0[/mm], muß das auch für die rechte Seite gelten.
Daher ergibt sich der Definitionsbereich aus der Ungleichung
[mm]\bruch{2}{x}+a \ge 0[/mm]
Natürlich ist de Definitionsbereich von der Konstanten a abhängig.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
Vielen Dank für Deine Hilfe! =)
Gruss Aucuba
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